Математика как практика

Как войти в математику • Вход в проективную геометрию • Вход в дифференциальную геометрию • Вход в алгебраическую геометрию • Вход в алгебраическую топологию • Вход в теорию Галуа • Вход в комплексную геометрию • Вход в алгебраическую теорию чисел • Вход в теорию модулярных форм • Вход в гиперболическую геометрию • Вход в голоморфную динамику • Вход в теорию гомологий • Вход в двумерную топологию • Вход в теорию групп • Вход в математический анализ • Вход в геометрическую (маломерную) топологию @geomtop24

перевод рецензии на книги (а сами книги — следующим сообщением): Возможно, первый совет, который я получил от своего научного руководителя в аспирантуре по поводу занятий математикой, звучал так: «Доказывать что-либо всегда легче, когда знаешь, что это правда». Для меня это утверждение подчеркивает разницу между тем, как большинство из нас занимается математикой, и тем, как мы её представляем. Когда мы публикуем доказательство, мы часто напоминаем фокусника, демонстрирующего свой последний трюк — гладкое, отточенное и красивое представление, которое (надеемся) впечатляет зрителей, вызывает у них восхищение зрелищем и уважение к нашему таланту. Мы движемся логическим крещендо от определений к леммам и затем к основной теореме, всегда следуя вперёд и вверх. Однако на самом деле мы не занимаемся математикой таким образом. Наоборот, вероятно, точнее будет сказать, что мы начинаем с теоремы и работаем в обратном направлении: «У меня есть результат, но я пока не знаю, как его получить». — К. Ф. Гаусс Все математики развивают своё интуитивное понимание задач и объектов, изучая примеры. Когда эта интуиция становится достаточно сильной, мы знаем результат ещё до того, как у нас есть его доказательство. А как только теорема сформулирована, мы приступаем к её доказательству. Можно утверждать, что математика давно устроена именно так: хотя она отличается от других областей знания своей доказательной строгостью, как практики мы не застрахованы от того, чтобы «испачкать руки» экспериментами — хотя мы обычно неохотно признаём это и стараемся, если возможно, скрыть. Главный посыл этих двух книг заключается в том, что настало время принять эксперимент как часть математики, а не скрывать его. И теперь это возможно, потому что компьютер сделал широкомасштабный и систематический эксперимент реальностью.

Глубокая работа: как достичь пика эффективности 00:00 История Кэла Ньюпорта, PhD CS MIT 01:26 Почему вам нужна глубокая работа 03:07 Наладьте своё рабочее пространство 03:56 Выстройте таймбокс концентрации и не ломайте его 05:39 Объедините задачи одного когнитивного типа 06:20 Начните глубокую работу утром 06:26 Подготовьте буфер, чтобы не прерывать работу 06:37 Зафиксируйте ритуал начала глубокой работы 07:16 Научитесь спокойно сидеть в тишине 08:28 Совместите рутинные задачи с умственными 09:16 Выберите одну важную тему и работайте только над ней 09:38 Запишите все несущественные мысли и забудьте о них 09:57 Следуйте тактике: один вопрос + подвести итог 10:10 Откажитесь от неважных дел в пользу важных 10:38 Определите, что для вас важно 10:53 Научитесь распознавать малозначительные задачи 11:48 Заканчивая глубокую работу, составьте список дел и план 12:22 Чтобы отдохнуть, переключитесь на другой поток (источник + перевод)

"Один человек из аудитории спросил меня, являются ли математики скорее «изобретателями» — то есть творцами нового мира, созданного их воображением,— или же «первооткрывателями» предсуществующей реальности. Я ответил, что, как и почти все математики, я скорее склоняюсь к платонизму и воспринимаю математику как реальность, независимую от нас, которая существовала в нас, но была сокрыта, укрыта покровом, и наша задача — обнажить её. Однако, поразмыслив, я прихожу к выводу, что для характеристики деятельности математика (или, в более широком смысле, учёного, ищущего истину) существует слово более точное и куда более глубокое, чем «изобретатель» или «первооткрыватель», слово также полностью библейское, которое появляется в конце длинного отрывка из Гротендика, процитированного мною: математик — это слуга. Слуга — это тот, кто заботится о чём-то ином, а не о себе: так же и математик, который в моменты погружения в математику теряет даже сознание собственного «я». Слуга не решает: математик никогда не решает, что является истинным, но постоянно натыкается на сопротивление истины. Он прилагает усилия к истине, но не может её исказить, кроме как немедленно введя себя в заблуждение; он может лишь прилепиться к ней, повиноваться. Слуга — это один из многих, и более того, он, по слову Христа, «раб неключимый»: то, что он делает, другой мог бы сделать на его месте. Точно так же математик чувствует себя крошечным перед лицом огромной традиции математики, лишь ничтожную часть которой он знает и которую ему было бы не под силу выстроить самостоятельно. Лучшее, на что он может надеяться, — это продвинуть её чуть-чуть вперёд, в то же время осознавая, что его работа будет быстро превзойдена, что многие другие способны сделать то же самое не хуже него и что они неизбежно сделают это однажды, если он сам не приложит к этому руку. Он также знает, что даже самые сложные проблемы покажутся лёгкими и перестанут впечатлять, как только будут решены в первый раз, так что любой прогресс, которого он добивается, растворяет, стирает и заставляет забыть о трудности, которую пришлось преодолеть. Слуга не говорит, он слушает. Математик должен замолкнуть внутренне и прислушаться, напрячь своё существо, чтобы услышать столь тонкий и деликатный голос вещей, каковы они есть, и позволить руке бежать под их диктовку. Как это ни странно, но именно становясь слугой математических реальностей и их голосом, их переводчиком, математик реализует себя. Величайшие математические тексты одновременно и самые безличные — в том смысле, что каждый, читая их, испытывает глубокую эмоцию, видя, как из тумана невысказанного, строка за строкой, появляется нечто, что он всегда в себе носил, что жаждало быть высказанным и до сих пор не могло обрести выражения, — и самые личные — в том смысле, что сразу узнаёшь почерк их автора" Лоран Лафорг (перевод с французского)

@geomtop24

Как я написал математическую статью 00:00 Начало работы 01:00 Взаимодействие с соавтором 02:54 Процесс написания 03:45 Тема статьи (цифровые топологические группы) 04:44 Ожидания и реальность 06:41 Отправка статьи в журнал 07:38 Рецензирование и доработка 09:43 Публикация (источник + перевод)

Посещайте математические форумы Участие в математических форумах — это ещё один хороший способ присмотреть активных ученых, творчество которых вам по душе. Такие интернет-пространства предназначены для изучения, обсуждения и создания современной математики. Наиболее знаменитым форумом профессиональных математиков является сайт вопросов и ответов MathOverflow. Изучая оставленные там ответы, вы можете не только существенно развить свой математический кругозор, но и ознакомиться с личными качествами и индивидуальным взглядом на математику их авторов. Со временем вы наберётесь достаточно знаний и опыта, чтобы подключаться к дискуссиям, и тем самым выведите своё взаимодействие с потенциальными научными руководителями на новый уровень MathModern — рускоязычный Telegram-форум для математиков

Прислушивайтесь к старшим товарищам Студенты старших курсов и аспиранты вашего факультета сталкивались с теми же проблемами поиска научного руководителя, что и вы. Вы можете попросить их рассказать о своей текущей ситуации, спросить о результатах работы со своими руководителями и попросить совета в установлении контактов. Кроме того, наиболее опытные товарищи, разделяющие ваши научные интересы, могут во многом заменить вам научного руководителя Летний математический лекторий — курсы, ваши и для вас

Посещайте научные школы и конференции Краткосрочные научные мероприятия — это центр притяжения действующих ученых, прибывающих со всех концов страны и мира. Участие в научных школах и конференциях позволяет как получить представление об уникальных математических направлениях из первых рук, так и расширить свои социальные связи. Неформальная атмосфера, сопровождающая такие мероприятия, позволит вам пообщаться с широким спектром математиков и обдумать вашу потенциальную совместимость с ними в плане научного руководства ПОМИ РАН — математические мероприятия Петербурга

Изучайте недавние научные результаты Не все хорошие учёные являются хорошими руководителями, но все хорошие руководители являются хорошими учёными. Они активно публикуют результаты своих исследований в Интернете, поэтому просмотр статей последних лет — это отличный способ поиска научного руководителя, разделяющего ваши научные интересы. Изучая статьи по захватывающим вас направлениям, вы не только развиваете свои компетенции и математический кругозор, но и присматриваете математиков, творчество которых привлекает. В дальнейшем вы сможете связаться с ними, чтобы представиться, выразить свой интерес и обсудить возможность научного руководства

Посещайте научные семинары Существенная часть ученых-математиков, не обременённых преподавательской нагрузкой, регулярно посещает научные семинары, относящиеся к их исследовательской деятельности. Активное участие в таких семинарах — это не только возможность познакомиться с множеством различных областей современной математики и построить ментальную карту того, что люди изучают в настоящее время, но и воочию увидеть выступления действующих ученых. Это отличный шанс присмотреться к потенциальным руководителям, позволяющий естественным образом влиться в научную среду, расширить свой круг общения, сформировать научные интересы и цели и, в конце концов, стать принятым математиком

Где искать научного руководителя Выбор правильного научного руководителя имеет решающее значение для успеха начинающих математиков, однако многие из них даже не догадываются о том, что существенная часть потенциальных руководителей скрыта от глаз студентов. Прибиться к случайной группе, решающей упражнения из стандартного учебника под руководством лектора с вашего потока, — это далеко не единственный рабочий вариант! #выборнаучногоруководителя Вот несколько эффективных подходов, которые помогут вам составить список потенциальных научных руководителей, соответствующих вашим научным интересам. Научное руководство — это, в первую очередь, традиция передачи знаний и опыта от сложившихся ученых начинающим. По существу, научным руководителем может быть любой достаточно компетентный и готовый к этому математик. Вот где их взять: • Посещайте научные семинары • Изучайте недавние научные результаты • Посещайте научные школы и конференции • Прислушивайтесь к старшим товарищам • Посещайте математические форумы (источник)

Мой глупый вопрос Саган отмечает, что «есть наивные вопросы, скучные вопросы, неверно сформулированные вопросы, вопросы, заданные после неадекватной самокритики. Но каждый вопрос — это призыв понять мир. Не существует такого понятия, как глупый вопрос», т. е. любой вопрос — это не свидетельство отсутствия ума (глупость), а лишь незнание и желание устранить это незнание. Однако часто мы слышим фразу, ставшую, по сути, идиомой: «Не задавай глупых вопросов». Так есть или нет понятие «глупый вопрос»? Можно ли охарактеризовать его признаки? Какую функцию он выполняет в процессе коммуникации? (источник) Вопрос — грусть или радость? Ответ — обретение или утрата?

Мифы и рабочие методы эффективного обучения 00:00 Стили обучения и теория VARK: визуалы, кинестетики и тп 03:07 Экспериментальная проверка теории 07:52 Важность персонализированного обучения 11:02 Как использовать мультимодальный подход 12:00 Как сделать своё обучение активным Когда речь заходит про обучение, в какой-то момент обязательно вспоминают теорию о стилях обучения: некоторым удобнее воспринимать информацию на слух, кто-то лучше запоминает визуальные образы, а кому-то обязательно попробовать сделать всё самостоятельно. В новом видео Дерек расскажет, откуда взялась эта идея и есть ли ей научное подтверждение. (источник)

Чем интересны математические исследования 0:00 В чём истинный смысл работы математика 0:53 Как найти задачу для исследования 4:46 Как начать работу над проектом/задачей 7:10 Что делать, если я застрял: приёмы и методы 9:49 В чём польза возврата к старому материалу (источник + перевод) @geomtop24

Счастливая карьера в математике 00:00 Как Рави стал алгебраическим геометром 03:56 В чём важность школьных учителей 06:37 Как поставить себе задачу для исследования 12:16 Как написать письмо любимому профессору 18:32 О страсти к математике и том, как правильно испугаться 25:01 Как выстроить вокруг себя сообщество 28:54 Математика в СССР: сказка или антисемитизм 31:33 Что важнее: целостная картина или детали 39:15 Как изучать математику, отталкиваясь от задач 41:05 Как разные профессии и навыки высвобождают пар 48:20 Кому стоит присмотреться к прикладной математике 52:35 Как слушать математические доклады 59:18 Три совета начинающим математикам (источник + перевод) @geomtop24

Руководство для исследователя: чему учит опыт PhD • Упражняйтесь во внешнем цикле • Развивайте вкус • Заготовьте плодородную почву • Соответствуйте интересам и сильным сторонам вашего руководителя • Будьте амбициозны: сублинейный рост сложности • Амбициозность не без подхода к задаче • Человек, который сделал X • Негативные примеры • Ценные навыки • Пример: моя диссертация • Не играйте по правилам (источник)

Чем интересны науки об обучении У исследовательских вопросов есть структура в виде нескольких слоёв. В традиционном образовании эти слои сжимаются вместе и представляются ученику одновременно, что создаёт нетерпеливое решение задачи. Важно соблюдать данную структуру. По моему опыту, умение работать с этими слоями является мощным предиктором усвоения материала. Когда мы задаём себе правильные вопросы перед тем, как получить на них ответы, нам существенно проще запомнить, понять и применить сами ответы На втором видео дан крутой пример того, как можно на практике естественным образом обеспечивать сохранность данной структуры (источник)

Искусство задавать себе правильные вопросы Изучение математики — это не про запоминание фактов. Это про понимание идей. Один из самых мощных приёмов, который перенесёт вас из пассивного читателя в активного мыслителя, — это задавать правильные вопросы с самого начала. Столкнувшись с новой теоремой, сразу спросите себя: • На какой исследовательский вопрос отвечает эта теорема? • Какую проблему она закрывает? • Какую дверь в неизведанное она, наоборот, открывает? Задавая себе подобные вопросы, вы прекращаете принимать теорему как данность и начинаете оценивать её место в общей картине науки. Таким образом вы сразу переходите на пятый уровень мышления в таксономии Блума. Вы пытаетесь понять: • Какие концепции в теореме являются ключевыми, а какие второстепенными? • Что было до неё? Какой пробел она заполнила? • Почему она была революционной тогда и полезна сейчас? • Что побудило автора теоремы заниматься ей? Пример: Изучая теорему Гёделя о неполноте, спросите себя: «Какой фундаментальный вопрос о пределах познания волновал математическое сообщество во времена Гильберта? И как ответ Гёделя перевернул эти представления?» Так вы не просто выучите теорему, а поймёте её исторический контекст и философскую глубину. Итак, ваш алгоритм действий: #чтение 1. Пропустите уровень зубрёжки 2. Сразу спросите: «На какой главный вопрос это отвечает?» 3. Ищите контекст: история создания, биография автора, предшествующие работы. Это не лишнее, а ключевое! 4. Реконструируйте ход мыслей: попробуйте гипотетически восстановить тот путь, который мог бы привести к этому открытию Так вы начнёте видеть математику не как набор разрозненных фактов, а как живую, развивающуюся науку, где каждая идея — это ответ на большой вызов. Это не только глубже погружает в предмет, но и делает его изучение по-настоящему увлекательным. Попробуйте этот метод на следующей же теореме, которую встретите, и поделитесь своими открытиями в комментариях!