Агька

Когда я учился в (достаточно сильной) физико-математической школе, нам на последней лекции по алгебре в 10 классе пришёл студент и начал вкратце пробегаться по основным определениям высшей алгебры, в частности, дал определение матрицы и определил сложение и умножение. Мне тогда оба эти определения (второе в большей степени) показались какими-то странными и немотивированными, но со временем я стал всё больше поражаться тому, как почти во всех учебных пособиях по высшей математике вводятся матрицы - просто начиная с сухих определений, практически без мотивировок. Представьте себе следующие определения в курсе школьной алгебры. Парой чисел называется запись (m, n), где m, n - числа. 1. Назовём две пары целых чисел (a, b), (c, d) эквивалентными по Евклиду, если b != 0, d != 0 и ad = bc. Определим для двух пар целых чисел (a, b) и (c, d) таких, что b != 0 и d != 0, сложение по Евклиду: (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) и умножение по Евклиду: (a, b)(c, d) = (ac, bd). По традиции принято записывать такую пару как a/b. 2. Определим для пар произвольных вещественных чисел сложение по Эйлеру: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) и умножение по Эйлеру: (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc). По традиции принято записывать такую пару в таком контексте как a + bi. 3. Назовём строчкой произвольную последовательность чисел (a_0, a_1, ..., a_n), в которой последнее число не равно нулю. Назовём степенью строчки её длину, уменьшенную на единицу. Суммой двух строчек одинаковой длины назовём строчку, полученную почленным сложением каждого из слагаемых, и удалением в конце нулей, если нужно. Суммой двух строчек разной длины назовём строчку, полученную сложением более длинной строчки с более короткой, в конце которой дописаны нули, чтобы дополнить её по длине до длинной строчки. Произведением двух строчек a и b степеней соответственно m и n, где m > n, назовём строчку длины m + n со следующим правилом образования членов: (ab)_i = — a_0 * b_i + a_1 * b_{i-1} + ... + a_i * b_0, если i <= n; — a_{i–n} * b_n + a_{i–n+1} * b_{n-1} + ... + a_i * b_0, если n < i <= m; — a_{i–n} * b_n + a_{i–n+1} * b_{n-1} + ... + a_m * b_{i–m}, если m < i <= m + n. Легко ли угадать, что за темы предлагается объяснять таким образом? 1. Дроби 2. Комплексные числа 3. Многочлены от одной переменной Будет ли хорошей идеей рассказывать эти темы школьникам именно в таком виде? А ведь сложение и умножение матриц в вузах вводится именно так, причём с первых же лекций вчерашним школьникам. Кто-то скажет, что как раз в вузах так объяснять вполне приемлемо, ведь туда всё же пришли уже мотивированные люди. На самом деле и дроби вводить в вузе таким образом вполне приемлемо, и так и делают в теории коммутативных колец, когда по области целостности строят её поле частных; но как раз тем, кто до этого дошёл, так можно объяснять потому, что они уже видели этот сюжет два раза — при построении обычных дробей из целых чисел и при построении алгебраических дробей из многочленов. С матрицами никакого такого образа нет даже близко. Но его как раз можно сначала создать, причём так, что понятно будет даже школьникам — просто нужно вовремя вбросить нужный образ, а именно образ растяжения-сжатия пространства. Представим себе журавлика, нарисованного по координатам — каждой вершине соответствует две координаты, как ряд и место в зрительном зале. А теперь попробуем каждую горизонтальную координату увеличить в 2 раза, или уменьшить в 2 раза, или каждую вертикальную координату увеличить в 2 раза, или у каждой вертикальной координаты поменять знак на противоположный, или к горизонтальной координате прибавить вертикальную. Что получится? Получатся растяжение, сжатие, отражение, скос. А теперь попробуйте применить произвольное преобразование вида x' = ax + by, y' = cx + dy. А теперь попробуйте провести сначала одно преобразование, а потом другое. Что получится, если свести их в одно? Что будет, если переменных три? Теперь гораздо яснее видно, откуда берётся правило умножения матриц, не правда ли?

Claude Fable построил контрпример к гипотезе о якобиане. Напомню, что гипотеза о якобиане утверждает следующее. Пусть дано полиномиальное отображение ℂ^n → ℂ^n, определитель матрицы Якоби которого является ненулевой константой. Тогда это отображение должно иметь полиномиальное обратное отображение. https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture Впервые эта гипотеза была сформулирована для случая двух переменных Людвигом Краусом в 1884 году, а затем в полной общности — Отто-Генрихом Келлером в 1939 году. Гипотеза о якобиане занимает 16-е место в списке «Математические задачи следующего столетия», составленном Стивеном Смейлом в 1998 году. Левент Альпёге — американо-турецкий математик, специалист по теории чисел, диофантовой геометрии и арифметической статистике. Ранее он был Junior Fellow в Harvard Society of Fellows, а затем оставил стандартную академическую карьеру и перешёл в Anthropic, где занимается искусственным интеллектом. https://alpo.ge/ 20 июля Альпёге опубликовал в социальной сети X явный контрпример к гипотезе, который был найден при помощи Claude Fable: https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566 Контрпример построен в размерности n=3 и задаётся полиномиальным отображением: ( (1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) , y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy) , 2 x - 3 x^2 y - x^3 z ) Определитель матрицы Якоби этого отображения равен −2. Однако отображение не является инъективным, поскольку его значения совпадают на следующих трёх точках: (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), (-1, 3/2, 13/2).

У довольно многих теорем плоской геометрии (теорема синусов, теорема косинусов, теорема Менелая) есть сферические аналоги, где длинам сторон соответствуют либо синусы соответствующих дуг, либо хорды (как, например, в теореме Птолемея). Какие-то из этих аналогов тривиальны, какие-то доказываются центральной проекцией или с помощью сферической тригонометрии; какие-то тривиальны, какие-то были известны ещё в поздней античности и на арабском Востоке, но в любом случае все они доказываются с помощью достаточно прямолинейных элементарных соображений, поскольку всё равно достаточно вложить всю конструкцию в трёхмерное пространство. Но у этих теорем есть и аналоги в геометрии Лобачевского, причём во всех случаях длинам отрезков соответствуют их гиперболические синусы, а косинусам дуг соответствуют их гиперболические косинусы! Дело в том, что когда видишь эти теоремы, кажется, как будто их магически перенесли с одной геометрии на другую, заменив обычные синусы и косинусы на гиперболические, когда речь идёт о дугах, и начинаешь сильно сомневаться, можно ли доказать это более строго, опираясь, например, на модель на одной из полостей двуполостного гиперболоида? Это сделать можно, но видно, что это не так просто сделать без привлечения особых вариантов скалярного и векторного произведений; но самое обидное, что теряется очевидная связь со сферическим случаем. И тем не менее идея переноса явлений с одного пространства на другое в итоге нашла своё строгое обоснование в нестандартном анализе Робинсона. Дело в том, что поскольку любой вывод использует лишь конечное число шагов, любая система аксиом, в которой любое конечная подсистема непротиворечива, сама непротиворечива; это приводит к тому, что мы можем взять просто все утверждения, верные для множества действительных чисел, и добавить к ним константу, которая больше любого натурального числа (счётное число утверждений c > n). Ясно, что любое конечное подсемейство непротиворечиво (в качестве c можно взять N + 1, где N — максимальное n из встречающихся в подсистеме утверждений вида c > n), поэтому непротиворечиво и всё семейство; поэтому для любой функции имеется её нестандартный бесконечный аналог. Но это уже логически завершённый и проработанный перенос; а первый существенный шаг в сторону таких идей был сделан на 100 лет раньше, как раз в геометрии Лобачевского.

В 7 классе у меня были трудности с геометрией, поскольку я в упор не мог понять, какой факт из двух одинаково очевидных действительно очевиден, а какой нужно доказывать (и как учитель настолько преисполнился в познании, что ему стало очевидно, какой факт очевиден).…

Почти общепринято считать, что история математики как доказательной науки, а не как набора рецептов решения разных задач, началась с Фалеса Милетского, и всегда в популярных статьях это было утверждение сопровождается рассказами о том, что Фалес первым додумался…

Все мы читали в энциклопедиях о том, что Галилей и Ньютон совершили радикальный переворот в физике, опровергнув прежнюю физику Аристотеля, а затем Эйнштейн и Бор, в свою очередь, опровергли Ньютона, придумав первый СТО и ОТО, а второй (вместе со многими другими…