Математика для людей | Михаил Бахадов

📜 Как человечество покоряло алгебраические уравнения 🏛 ДРЕВНИЙ МИР — квадратные уравнения. Шумеры, вавилоняне, египтяне уже умели решать задачи типа "найти сторону поля". По сути, это были квадратные уравнения. Греки — Евклид и Пифагор — решали их геометрически, чертя квадраты и прямоугольники. Но все это были частные случаи. Общей формулы ещё не существовало. Индийские математики (Брахмагупта, VII век) впервые дали общее правило для квадратных уравнений. Но без доказательств. Тогда ещё никто не знал, что впереди — огромная сложность. 🔥 XVI ВЕК — КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. В эпоху Возрождения математики сошли с ума по кубическим уравнениям. Все искали формулу. Это был вопрос престижа, денег и славы. Сципионе Дель Ферро находит решение кубического уравнения около 1515 года. Но он никому не говорит. В те времена математики держали свои открытия в секрете, чтобы использовать их на публичных диспутах и выигрывать деньги. Перед смертью он передаёт тайну своему ученику — Фиоре. Фиоре вызывает на математический поединок Никколо Тарталью (заикающегося самоучку из бедной семьи). Тарталья за 8 дней до диспута самостоятельно открывает формулу и побеждает Фиоре. Джироламо Кардано — гениальный врач, астролог, игрок и математик — уговаривает Тарталью раскрыть секрет. Клянётся, что никому не расскажет. Кардано узнаёт формулу... и в 1545 году публикует её в своей книге «Ars Magna» («Великое искусство»). С указанием, что авторы — Дель Ферро и Тарталья, но формулу в истории назовут ФОРМУЛОЙ КАРДАНО.  Кардано понимает: раз есть решение для кубического уравнения — значит, должно быть и для четвёртой степени. Его ученик — 23-летний гений Лудовико Феррари — решает эту задачу. Он сводит уравнение четвёртой степени к кубическому (так называемая резольвента) и получает формулу. В 1545 году в той же книге «Ars Magna» появляется МЕТОД ФЕРРАРИ. Уравнение 4-й степени покорено. Казалось бы, прогресс бесконечен. Если есть 1, 2, 3, 4 — значит, скоро решат и 5-ю! Это была ловушка... ❓ XVIII – XIX ВЕК — ПОПЫТКИ РЕШИТЬ КВИНТИКУ. Три века математики безуспешно пытаются найти формулу для уравнений 5-й степени. Эйлер, Лагранж, Гаусс — все пробовали. Ничего. Лагранж в 1770 году пишет огромный труд, где анализирует все известные методы для 2, 3 и 4 степеней. Он подозревает: возможно, для 5-й степени формулы просто НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Но доказать не может. Все ломали голову. Это стало главной загадкой математики XVIII–XIX веков. ▪️Паоло Руффини (1799) — итальянский врач и математик. Пишет доказательство невозможности решения уравнений 5-й степени в радикалах. Его работа — более 500 страниц! Но она сложна и содержит ошибки. Коллеги игнорируют. ▪️Нильс Хенрик Абель (1824) — норвежский гений, который умер в 26 лет от туберкулёза, но успел совершить революцию. Он публикует строгое доказательство: Уравнения степени 5 и выше НЕ имеют общего решения в радикалах. Абель доказывает, что невозможно выразить корни через коэффициенты с помощью плюсов, минусов, умножений, делений и извлечения корней. Но даже Абель не до конца объяснил. ▪️Эварист Галуа (1832) — французский гений, который живёт всего 20 лет и погибает на дуэли. За ночь до дуэли он пишет письмо другу, в котором излагает гениальную теорию. Он создаёт ТЕОРИЮ ГРУПП — абсолютно новый язык математики. Галуа доказывает: — Для уравнений 2, 3, 4 степени группа Галуа разрешима. Теория Галуа стала основой современной алгебры. — Для уравнений 5-й степени группа Галуа — это S₅, которая НЕ разрешима. — Значит, решения в радикалах НЕТ и НЕ МОЖЕТ БЫТЬ. Если формулы нет — как решают уравнения 5-й степени? ▫️ Способ 1 — Численные методы. Ньютон, метод секущих, метод Лагера. Находят корни с любой точностью. ▫️ Способ 2 — Специальные функции. В 1858 году Эрмит показал: корни квинтики можно выразить через эллиптические функции. Но это уже не "школьные" радикалы — это высшая математика. #математика #высшая_математика #математический_анализ #maths #mathematics #math #алгебра #теория_групп 💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

Хорошо и интересно рассказано

КАК НАЙТИ РЕПЕТИТОРА Написал статью из личного опыта и длительных размышлений. Написал крупным мазком, без всех деталей, но если есть вопросы, отвечу в комментариях. PS: это не реклама. Сейчас все места заняты уже. Однако готов поддержать начинающих репетиторов. https://vc.ru/education/2328910-kak-vybrat-luchshego-repetitora-dlya-svoego-rebenka

Эту песню помнят не все. Но все кто помнят, увидят в новом качестве 😂

ОШИБКА ВЫЖИВШЕГО ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ Одна из ошибок мышления, которая рассматривается в книге "Как не ошибаться" Задача о самолетах и броне США, 2-я мировая война. Вы не хотите, чтобы вражеские истребители сбивали ваши самолеты, поэтому покрываете их броней. Но броня делает самолет более тяжелым, что снижает его маневренность и увеличивает расход топлива. Если на самолете слишком много брони — это проблема; если брони слишком мало — это тоже проблема. Где-то в интервале лежит оптимальное решение. Чтобы вычислить этот идеальный вариант, военные собрали команду лучших математиков. Военные представили данные, которые, по их мнению, могли бы помочь в решении задачи. Когда американские самолеты выходили из воздушных боев над Европой, они были покрыты дырами от пуль. Однако повреждения распределялись по корпусу самолета не равномерно. Пробоин на фюзеляже было больше, чем на двигателе. Данные выглядели примерно так: Двигатель: 1,11 отверстий на квадратный фут Топливная система: 1,55 отверстий на квадратный фут Фюзеляж: 1,73 отверстий на квадратный фут Остальная часть самолета: 1,8 отверстий на квадратный фут Представители командования увидели возможность повысить эффективность использования самолетов, обеспечив защиту в уязвимых местах. Для этого требовалось правильно распределить количество брони, делая ее слой толще там, где самолет получает больше всего пробоин. Но сколько именно брони следует устанавливать на этих частях самолета? С просьбой найти нужное решение военные обратились к математику Абрахаму Вальду. И получили совсем неожиданный ответ. Броню следует укреплять не там, где больше всего пробоин, а там, где их нет — то есть на двигателе. Вальд задался вопросом: где находятся недостающие пробоины? Именно в этом проявилась его проницательность — в простоте поставленной задачи. Речь шла о тех самых отверстиях от поражающих средств, которые покрывали бы кожух двигателя, если повреждения были бы распределены равномерно по всему самолету. В ответе на свой вопрос Вальд не сомневался ни на йоту. Причина, почему на двигателях уцелевших самолетов было меньше повреждений, только одна: в случае прямого попадания в двигатель самолет просто не возвращался из боя. Однако многие самолеты прилетали на базу с фюзеляжем, похожим на швейцарский сыр — убедительный довод в пользу того, что корпус можно (а значит, и нужно) оставить без дополнительной брони. Простая аналогия В военном госпитале вы встретите гораздо больше раненных не в грудь, а в ноги. Но причина не в том, что люди не получают ранений в грудь — просто после таких ранений они, как правило, не выживают. Далее уже не Элленберг, а мои мысли: Поэтому, когда кто-то из старшего поколения нам говорит, что их в детстве не водили на массажи, не наблюдали так у врачей, и ничего - выросли же, то стоит подумать, сколько из детей их года рождения не дожили до 3-х лет, хотя при современных возможностях медицины могли бы. А потому здоровье нашего старшего поколения в детстве без врачей — это именно счастливое исключение, а не правило. Тех, кто с этим не справился, мы не услышим. Можно развить мысль и дальше. В каком-то смысле, когда человек жив, более-менее здоров, закончил школу, есть работа — это счастливейшее исключение, потому что у многих людей ничего этого нет. Однако мы о них никогда не узнаем, потому что редко встречаемся с теми, кто сильно болен, кто не имел возможности учиться, у кого нет друзей и нет работы. Мы - счастливое исключение и общаемся с такими же исключениями. И есть основание благодарить за каждый день, который мы прожили! Интересно? Перечитай, поставь 🔥 и поделись с другом! Как не ошибаться НА ГЛАВНУЮ Об авторе #книги

ПАРАДОКСЫ ВОСПРИЯТИЯ https://youtu.be/KUD1IlCaVYM?si=bCnIV-2lxTTaWhsU Парадоксы есть не только в математике, но и в родственной ей музыке. В этом видео, всё довольно концентрированно и по делу. 13,5 минут Например, вы поймете, почему один звук мы слышим по-разному. И даже если ты знаешь, что что-то иллюзия, её все равно очень трудно разгадать.

КАК НЕ ОШИБАТЬСЯ Я очень люблю читать книги. За это сейчас надо бороться, просто чтобы взять и почитать, так как все жужжалки и светилки пытаются предложить почитать их, но мы не сдаёмся :) Первая математическая книга о которой расскажу: Джордан Элленберг "Как не ошибаться. Сила математического мышления". Я читал эту книгу довольно долго. Если вы сравните названия постов в моем канале, то поймете, что изначально вдохновился именно стилем Джордана этой книги. Основные идеи, которые довольно сухи конспективно, но очень живы в тексте: ⚫️ Математика — это не столько числа, сколько способ мышления о закономерностях ⚫️ Линейное мышление может быть опасным, потому что не всё растёт по прямой (редко что так растёт) ⚫️ Корреляция не означает причинность. Например, в одном исследовании заметили любопытную связь: чем больше в городе установлен Wi-Fi-роутеров, тем выше уровень рождаемости. Роутеры повышают рождаемость? Может быть это великая тайна, а может дело в другом. Дело же в том, что города с растущей экономикой одновременно инвестируют и в цифровую инфраструктуру, и привлекают молодых людей, у которых выше вероятность заводить семьи. Скорее всего есть третий фактор, который влияет на первый и второй. ⚫️ Бритва Оккама в статистике: простые объяснения часто лучше сложных Пример: аналитик строит модель для предсказания цены квартир. Он добавляет в неё десяток факторов: цвет стен, марку лифта, год установки почтовых ящиков, расстояние до ближайшего киоска. Но модель с тремя базовыми признаками — метраж, район, состояние дома — даёт такую же или лучшую точность. В итоге если простая модель объясняет данные не хуже сложной, то усложнение — лишь шум. ⚫️ Ошибка выжившего: почему учиться у Великих надо аккуратно, а студенту из Краснодара бесполезно выходить из зоны комфорта по книге бизнес-тренера из Флориды ⚫️ Почему не стоит сразу паниковать, если анализ показал положительный результат на редкую болезнь (об этом обязательно будет отдельный пост). Очень рекомендую книгу! Вы не прочитаете её быстро, но если прочитаете, получите немало удовольствия и сможете видеть больше. НА ГЛАВНУЮ Об авторе #книги

ПАМЯТЬ ВЫШЛА ИЗ ЧАТА Кривая забывания Эббингауза или когда делать домашку Пару недель назад я писал про три уровня памяти: узнавание, воспроизведение, применение. Теперь вопрос, как же конкретно это работает? Как мы забываем и как мы запоминаем? ГЕРМАНИЯ, 1879 год Немецкий психолог Герман Эббингауз (1850-1909), человек в 20 лет побывавший на фронте франко-прусской войны ставший доктором наук в 23 года, решил-таки выяснить, как конкретно работает "чистая" память. Он использовал 2300 карточек с бессмысленными слогам типа БОВ, ЩОД, ВЫК, ХИБ. Главное условие - они не должны вызывать ассоциации. Надо было запоминать ряды слогов. Ряд считался заученным, когда воспроизводился по памяти без ошибок. Чтобы знать, сколько повторений требуется для заучивания того или другого ряда слогов, Эббингауз пользовался ниткой шариков, наподобие монашеских чёток, передвигая эту нитку на один шарик после каждого повторения. По окончании опыта передвинутые шарики подсчитывались, и таким образом определялось число сделанных повторений. Эббингауз приступил к опытам лишь тогда, когда приобрёл посредством предварительного упражнения навык легко читать слоги и передвигать нитку с шариками установленным способом. Опыты проводились в течение двух лет, в 1879—1880 и 1883—1884 гг. Подробнее смотрите Википедию При помощи этих опытов Эббингауз пытался выяснить различные свойства памяти: время и скорость забывания , количество повторений для лучшего запоминания, время и скорость заучивания, количество информации, сохранившейся подсознательно, и некоторые другие. Когда он нанёс все данные на график, получилась знаменитая "кривая забывания". Через 20 минут после заучивания остается 60% информации Через 1 час - 45% Через 1 день - 35% Через 6 дней - чуть более 20% Через месяц - те же 20% Основной обвал происходит в первые часы. На следующий день остаётся 35%. Что остается надолго, но вот вытащить это на уровне применения не так-то просто. Вспомним школу или ВУЗ. Вчера вечером разобрали тему, всё поняли, порешали. Через два дня открываешь тетрадь — и вообще непонятно, что это и что с этим делать. Не надо пенять на "девичью память" или СДВГ. Это нормальная работа мозга, кривая забывания в действии. ЧТО ЖЕ ДЕЛАТЬ? Эббингауз обнаружил и другое: если повторять материал через определённые промежутки времени, кривая забывания становится очень пологой. Каждое повторение поднимает уровень запоминания обратно к 100%, и следующее падение происходит медленнее. Классическая схема повторений выглядит так: 1. Сразу после изучения — первое повторение 2. Через 20 минут — второе 3. Через 8 часов — третье 4. Через 24 часа — четвёртое 5. Через 3 дня — пятое 6. Через неделю — шестое 7. Через месяц — седьмое Получается, что самые критичные моменты — это первые 20 минут и первые сутки. Именно здесь происходит основная утечка знаний. И если урок в школе длится 40-45 минут и первые 20 минут после узнавания нового мы вероятно его повторим несколько раз, то потом ключевой вопрос: повторим ли мы вечером или хотя бы на следующий день? Повторим - поймали, не повторим - считай опять придется приложить много усилий, чтобы вернуть. А потому уроки в школе лучше делать так: Если у вас алгебра (или любой другой предмет) в понедельник а потом в среду, то лучше сделать домашку на среду в тот же день - в понедельник вечером (мы поймаем 8 часовое повторение). А на следующий день можно просто хотя бы проглядеть тему. Так урок в среду закрепит очередное повторение, а сделанная уже в среду вечером домашка в тот же день ещё усилит. Всегда делайте уроки в тот же день, когда их задали. Можно начать с этого. НО КАК ПРЕВРАТИТЬ ЗАПОМИНАНИЕ В ПОСТОЯННУЮ СИСТЕМУ? Об этом в следующем выпуске :) Перечитать пост Если этот пост был полезен, ставьте 🔥🔥🔥 ПЕРЕШЛИТЕ тем школьникам, студентам и всем, кому это важно (это важно всем). НА ГЛАВНУЮ Об авторе PS: клуб для 7-11 класса открываю 1 декабря.

Когда стихи для запоминания берут неожиданно высокую ноту.

Ещё одна задача посчитать. При таких ценах на творог, сколько стоит процент жирности творога за грамм в первом и во втором случае и на сколько выгодней брать 9%, если наша цель минимизировать стоимость жирности творога. О калориях речь не ведём сейчас 😂 Ответы в комментариях

А еще спрашивают, пригодится ли в жизни умение делать расчёты... Как вы думаете, что оптимальнее брать упаковку 50 шт за 1200 или 70 за 2500. Другой вопрос, почему порой что-то большего объёма продаётся дороже за штуку? В чём смысл? Делаем выводы.

Стараюсь никогда не прекращать учиться

Мне новые книги подъехали. Успел уже каждую немного посмотреть. Всё по делу, а самая многообещающая – фиолетовая: "Математика для тех, кто боится математики" Бена Орлина.