math_field

Закончилась летняя школа Л2Ш. Выкладываю мои листики и матбой, который мы составили 9 классам.

Claude Fable построил контрпример к гипотезе Якобиана. Напомню, что гипотеза о якобиане утверждает следующее. Пусть дано полиномиальное отображение ℂ^n → ℂ^n, определитель матрицы Якоби которого является ненулевой константой. Тогда это отображение должно иметь полиномиальное обратное отображение. https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture Впервые эта гипотеза была сформулирована для случая двух переменных Людвигом Краусом в 1884 году, а затем в полной общности — Отто-Генрихом Келлером в 1939 году. Гипотеза о якобиане занимает 16-е место в списке «Математические задачи следующего столетия», составленном Стивеном Смейлом в 1998 году. Левент Альпёге — американо-турецкий математик, специалист по теории чисел, диофантовой геометрии и арифметической статистике. Ранее он был Junior Fellow в Harvard Society of Fellows, а затем оставил стандартную академическую карьеру и перешёл в Anthropic, где занимается искусственным интеллектом. https://alpo.ge/ 20 июля Альпёге опубликовал в социальной сети X явный контрпример к гипотезе, который был найден при помощи Claude Fable: https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566 Контрпример построен в размерности n=3 и задаётся полиномиальным отображением: ( (1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) , y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy) , 2 x - 3 x^2 y - x^3 z ) Определитель матрицы Якоби этого отображения равен −2. Однако отображение не является инъективным, поскольку его значения совпадают на следующих трёх точках: (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), (-1, 3/2, 13/2).

#разминка Пусть R - ассоциативное кольцо с 1. Докажите, что если число элементов R является квадртом простого числа, то R коммутативное.

#задача Пусть V - конечномерное пространство над алгебраически замкнутыми полем. Опишите с точностью до матричного сопряжения (a) Нильпотентные операторы, имеющие конечное число инвариантных подпространств. (б) Пары коммутирующих нильпотентных операторов, имеющих конечное число общих инвариантных подпространств.

В этом году я вёл кружок по геометрии для 9 классов в Л2Ш, поэтому прилагаю файлик со всеми листиками. Я старался убирать опечатки, но скорее всего они там все еще есть.

#разминка Покажите, что локальное кольцо не может быть представлено в виде прямого произведения нескольких ненулевых колец. P.s. под кольцом подразумевается ассоциативное, коммутативное с единицей.

Хорошие задачки по мотивам недавнего экзамена по алгебре в НМУ: (источник Г. Нидеррайтер, Р. Лидл "Конечные поля")

Красная точка - точка велосипедистов зеленых окружностей (для прямых через оранжевую точку). Тогда красные отрезки равны. Я это замечательное утверждение не знал, рассказал его мне @AndrewShishko.

Не очень сложная, но, на мой взгляд, красивая теорема.

задача из экзамена! Найдите сумму ряда

Смешное утверждение, если кто-то придумает доказательство без индукции, объясняющее почему так происходит будет здорово. Есть n видов пар скобок - открывающиеся и закрывающиеся. Докажите что для любой произвольной скобочной последовательности S минимальное число скобок, нужное чтобы дополнить S(скобки можно вставлять в начало, конец и между уже выписанных скобок) до правильной скобочной последовательности, равно минимальному числу скобок, которое нужно удалить из S чтобы получить правильную скобочную последовательность.

Не очень сложная задача с древней ММО. На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.

Задача от С. Кузнецова Верно ли, что в канторовом множестве есть всюду плотное подмножество гомеоморфное Q?

Забавное утверждение из нашего листика по матану. Докажите, что любое метрическое пространство можно изометрически вложить в некоторое банахово пространство.

Поскольку в этом астрономическом году больше не предвидится олимпиад, на которых будут мои задачи, я постарался собрать все мои задачи, которые когда-либо где-либо всплывали.

Симпатичная и не очень сложная задача из одной из наших домашек. Существует ли такое семейство подмножеств натуральных чисел, что одновременно выполнены следующие условия: (а) пересечение любых двух различных множеств в этом семействе конечно; (б) мощность семейства — континуум?