Математика просто!

💉 Ошибки интуиции в вероятности. Часть 3 Продолжаем разбирать ситуации, где интуиция подводит. Финальный пример: медицинский тест. Он хорошо показывает, как легко обмануться, если не учитывать все условия. 🏥 Задача Пусть в популяции некоторая болезнь встречается у 0.1% людей. Иначе говоря, болен 1 человек из 1000. Существует тест, который определяет болезнь с точностью 99%: если человек болен, тест даст положительный результат в 99% случаев. Если человек здоров, тест ошибается и тоже показывает положительный результат в 1% случаев (это называется ложноположительным срабатыванием). Вы случайный человек с улицы. Вы проходите тест и получаете положительный результат. Какова вероятность, что вы действительно больны? Интуиция почти всегда подсказывает: тест точен на 99%, значит и шанс болезни — около 99%. Но на самом деле это не так. Считаем правильно Рассмотрим 100 000 случайных людей. При распространённости 0.1% больных среди них будет примерно 100 человек, а здоровых — 99 900. - Из 100 больных тест верно определит болезнь у 99 человек (99%). - Из 99 900 здоровых тест даст ложноположительный результат у 1%, то есть у 999 человек. Общее количество положительных результатов: 99 + 999 = 1098. Из них действительно больных только 99. Вероятность быть больным при положительном тесте равна 99 / 1098 ≈ 0.09, то есть примерно 9%. Разница между ожидаемыми 99% и реальными 9% колоссальна. Почему так странно работает Всё дело в том, что болезнь очень редкая. Больных людей в тысячу раз меньше, чем здоровых. И хотя тест ошибается всего в 1% случаев у здоровых, этих здоровых так много, что абсолютное число ложных срабатываний (999) оказывается значительно больше, чем число истинных положительных (99). Тест буквально находит сотни ложных больных на каждого настоящего, потому что проверил огромную толпу здоровых. Формально это описывается теоремой Байеса. Она учитывает не только точность теста, но и априорную вероятность — то есть насколько вообще вероятно быть больным до проведения теста (0.1%). Итоговая вероятность получается после пересчёта с учётом новых данных. Если априорная вероятность очень мала, то даже при хорошем тесте итоговая вероятность может оставаться низкой Априорная вероятность Это вероятность события до получения новых данных. В примере с тестом — распространённость болезни (0.1%). Она влияет на итоговый результат: если болезнь редкая, даже точный тест даёт много ложных срабатываний #углублённо

Женщина-математик разгадала алгоритм лотереи и четыре раза сорвала куш, выиграв в общей сложности около 21 млн.долларов. Это Джоан Гинтер, преподаватель математики из Техаса, которая выиграла в 1993 году $5,4 млн., в 2006 $2 млн., в 2008 $3 млн. и в 2010 $10 млн.долларов. Все это были выигрыши в мгновенной лотерее (где нужно стереть с билетика защитный слой). Алгоритм взломать, конечно, было невозможно, но она широко применяла законы матстатистики, оперируя открытой информацией и делая очень высокие ставки. У таких лотерей можно было отслеживать, сколько крупных призов еще оставалось в игре в конкретный момент времени, и в какие точки поступали крупные партии билетов. Зная это, Джоан прикидывала, когда и где открывалось окно «положительного математического ожидания», и закупала огромное число билетов – на десятки и даже сотни тысяч долларов. И четыре раза это сработало. Все ее выигрыши, разумеется, проверяли с лупой, но никаких признаков мошенничества не нашли. Коза в MAX

Из предложки