Математический рок-н-ролл

Две симметрии Наглядная демонстрация того, чем две зеркальные симметрии отличаются от симметрии вращения 4-го порядка. #арт #симметрия x x x

#math Чуть-чуть оснований математики. Когда-то давно Гильберту надоели парадоксы теории множеств, и он решил положить этому конец, переведя арифметику с уровня разрозненных утверждений на аксиоматику, а потом доказать непротиворечивость (то есть что в этой теории нельзя вывести одновременно утверждение и его отрицание) и полноту (то есть что любое утверждение либо истинно, либо ложно) этой аксиоматики. В 1930 году в Кенигсберге проходит научный конгресс по основаниям математики, на котором Гедель двумя теоремами доказывает, что план Гильберта обречен на провал. Первая теорема Геделя утверждает, что любая формальная теория арифметики либо противоречива, либо неполна, то существует утверждение, которое в этой системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Вторая теорема Геделя утверждает, что доказать непротиворечивость какой-нибудь формальной теории арифметики нельзя, не используя факты вне в этой теории. Доказательства эти опираются на то, что строится утверждение P, которое эквивалентно утверждению "P невыводимо" — аналог парадокса лжеца. Для этого конструируется квайн, то есть выражение, указывающее на само себя. Грубо говоря, рассматривается выражение: Пусть строка s := "Пусть строка s := . Тогда следующее выражение невыводимо: s[:18] || кавычка || s || кавычка || s[-85:].". Тогда следующее выражение невыводимо: s[:18] || кавычка || s || кавычка || s[-85:]. Как легко понять подстановкой, это выражение утверждает, что невыводимо выражение Пусть строка s := "Пусть строка s := . Тогда следующее выражение невыводимо: s[:18] || кавычка || s || кавычка || s[-85:].". Тогда следующее выражение невыводимо: s[:18] || кавычка || s || кавычка || s[-85:]. То есть оно само, что и требовалось. И вот что удивительно. Соревнования по написанию квайнов начались годах в шестидесятых у программистов, чисто как развлечение. А тут вдруг оказывается, что математики в совсем отдаленной отрасли долгое время бились над похожей проблемой, а решение понятно больше программистам, чем математикам. Так что вполне возможно, кто-то из вас, развлекаясь с Rust'ом, однажды докажет противоречивость ZFC. :)

Придумал новый подход изложения математики для инженеров Главный принцип - как можно меньше запоминать. Короткие простые для запоминания, но сложные в доказательстве утверждения принимаются за исходные, все остальное выводится из них очень просто. Приведу пример из линейной алгебры, курс который обычно излагается на более чем 200 страницах и содержит, порой, огромные по размеру доказательства на нескольких страницах, которые сложно понять и запомнить. Берём за основу три утверждения: 1. Определение детерминанта через формулу Лейбница, это та которая сумма произведений элементов из каждой строки со знаком, зависящим от числа перестановок. 2. Определение детерминанта через разложение Лапласа - на основе алгебраических дополнений элементов строки или столбца. 3. Определение детерминанта, как ориентированный гиперобъем параллелотопа (со знаком), построенного на векторах из столбцов или строк матрицы. Доказательство, что эти три определения эквивалентны занимает очень много страниц и достаточно тяжело для изучения, но сами эти определения легко запомнить. Если их принять за исходные, то дальше весь курс линейной алгебры умещается в 30 страниц, с очевидными доказательствами максимум на 3 строчки. Например, что будет с определителем, если две строки одинаковы? Очевидно, что фигура построенная на таких векторах будет иметь нулевую толщину по одному из направлений, соответственно нулевой объем и определитель будет равен нулю. P.S. Видимо, лучше исходных утверждений всё-таки сделать чуть больше, например, можно добавить мультипликативность определителя, там тоже доказательство большое.

x x x

Группы бордюра используют в компьютерной графике для кодирования протяженного повторяющего паттерна: кирпичной кладки, рядов окон на здании, орнаментов на ткани. Это сильно экономит память, так как вместо всего паттерна, мы храним его элемент и правила преобразования. Также их применяют в архитектуре и в магистратуре матфака на экзаменах. Однако настоящему математику такие тривиальные случаи использования алгебраического объекта -- скучны. Ну что тут интересного? Вот орнамент на ковре, а вот на заборе -- наслаждайтесь. Но если копнуть глубже, то концепция одномерной периодической симметрии неожиданно всплывет в непростых разделах современной математики. Об этом и поговорим в следующий раз. ↓

Нотация Конвея. Для обозначения групп симметрий используют несколько систем нотаций. Одна из них, представленная выше, состоит из заглавных латинских букв, обозначающих конкретные преобразования. Другую придумал Джон Конвей. Прочие мы (пока) рассматривать не будем. В нотации Конвея каждая группа получила имя, связанное с типом следов, которые оставляет человек, идущий вдоль стены. Этот человек может прыгать на одной ноге (hop), на двух ногах (jump), просто идти (step) или идти боком (sidle). Также он может подпрыгнуть и развернуться в воздухе (spinning), а потом сделать один из типовых шагов. И так бесконечное число раз. Конвей придумал удобную систему, опирающуюся на визуальные образы: hop -- скакать на одной ноге -- это сдвиг -- T, sidle -- идти боком -- TV, step -- просто идти -- TG, jump -- прыгать на двух ногах -- THG, spinning hop -- скакать на одной ноге с поворотом -- TR, spinning sidle -- скакать боком с поворотом -- TRVG spinning jump -- прыгать с поворотом — TRHVG ↓

Всего существует семь групп фриза. Давайте предположим, что наш фриз вписан в бесконечно протяженный прямоугольник, вытянутый в горизонтальном направлении. Тогда, каждая группа обязательно содержит преобразование сдвига и может дополнительно включать: отражение относительно длинной (горизонтальной) оси прямоугольник, отражение относительно короткой (вертикальной) оси прямоугольника, отражение скольжения и поворот на 180°. Комбинация этих преобразований образует все группы фриза. T -- сдвиг; TV -- сдвиг и вертикальное отражение; TG -- сдвиг и отражение скольжения; THG -- сдвиг, горизонтальное отражение и отражение скольжения; TR -- сдвиг и поворот на 180°; TRVG -- сдвиг, поворот на 180°, вертикальное отражение и отражение скольжения; TRHVG -- сдвиг, поворот на 180°, горизонтальное отражение, вертикальное отражение и отражение скольжения. ↓

Группа фриза "Только не фриза, а бордюра. И не просто группа, а группа симметрий. И не сейчас, а в 1971 году." Давайте сегодня рассмотрим Группу (симметрий) бордюра. В английском языке она называется Frieze group -- Группа фриза. Следует отметить, что это название звучит вполне поэтично и мне оно нравится больше бордюра с поребриком. Поэтому его и возьмем в качестве основного. В математике фризом (бордюром или поребриком, у питерских математиков) называется плоский паттерн, который повторяется только в одном направлении. Формально этот паттерн был описан Коксетером в 1971 году, а не формально был известен и до него. Группа фриза -- это математическая группа, которая описывает все виды симметрий узора, бесконечно повторяющегося в одном направлении. Когда квалифицированный дорожный рабочий укладывает бордюр -- он думает о групповых преобразованиях и решает нетривиальную задачу о том, как бесконечную симметрию бордюра свести к простому повторению элементарных действий. #алгебра : #группа ↓

Как в очень вежливой форме показать человеку, что он ничерта не смыслит в математике? Вот так 😮 #матмем #алгебра x x x

Перерыв В публикациях возник временный перерыв, вызванный: трехдневной температурой администратора (температура поднималась до 38,6 °C), недельной жарой (до 35 °C), а также невозможностью выехать к чистому морю для отдыха из-за высокой стоимости топлива (до 200 рублей за литр). На данный момент два пункта из трех нормализуются. И скоро вернусь к обычному ритму публикации заметок. Спасибо за терпение. #новости x x x

Современные методы искусственного интеллекта МФТИ приглашает в дорогую онлайн магистратуру, рассчитанную на 2 года обучения. Они же выложили в открытом доступе материалы к читаемым курсам. С хорошим списком рекомендованной литературы. Занятия в магистратуре и основные материалы написаны на английском. #ии #нереклама x x x

Инструкция о том как паять и чинить микроэлектронику от американских военных. 900 страниц с подробными иллюстрациями и фотографиями. Покрыты даже совсем маргинальные темы типа «как починить сломанную пополам плату». В общем, это вам не туториалы по пайке от Ледиады и даже не знаменитый комикс «Паять просто». Пролистывания по-диагонали мне хватило чтобы убедиться, что я вообще не умею паять, а тамошние инструкторы поставили бы моим поделкам 3/10 и то если бы были в хорошем настроении. Полное название документа STANDARD MAINTENANCE PRACTICES MINIATURE/MICROMINIATURE (2M) ELECTRONIC ASSEMBLY REPAIR (USAF TO 00-25-259). Я публикую его потому что на титульнике написано "Approved for public release; distribution is unlimited."

Гениальное в своей простоте толкование всей теоретической физики. Именно так фундаментальная наука объясняет строение вещества и все процессы во Вселенной.

Сегодня необычный выпуск #девкилюбяткниги, в котором речь пойдёт не совсем про «Sci-Fi литература». Задача этой записи не рассказать всё, а заинтересовать и побудить к изучению. Генрих Саулович Альтшуллер (1926–1998) - советский инженер и писатель. Писал научную фантастику под псевдонимом Генрих Альтов: livelib, fantlab, bookscafe, akniga, официальный сайт. С его научной фантастикой я не знаком, но прекрасно осведомлён с его главной работой - идеальный научпоп, который ещё и несёт пользу: ❗️ Теория Решения Изобретательских Задач (ТРИЗ) или как научиться изобретать. Альтшуллер проанализировал десятки тысяч патентов и выявил закономерности: оказалось, что многие изобретения строятся на одних и тех же приёмах. На базе этих закономерностей он создал систему, которая помогает находить сильные решения без долгих переборов вариантов. ❗️Ключевые идеи ТРИЗ: ➖Идеальный конечный результат (ИКР). Это ситуация, когда нужный эффект достигается «сам собой», без лишних затрат и побочных проблем. Например: «система сама предотвращает поломку» вместо «мы тратим ресурсы на ремонт». ➖Противоречия как основа задачи. В ТРИЗ не пытаются сгладить противоречие компромиссом, а ищут решение, которое его снимает. Выделяют три типа противоречий: ▪️Административное: «надо сделать, но непонятно как». ▪️Техническое: улучшение одного параметра ухудшает другой. ▪️Физическое: объект должен одновременно обладать противоположными свойствами. ➖Ресурсы системы. ТРИЗ учит использовать то, что уже есть: материалы, энергию, информацию, время, даже «вредные» эффекты. Идея в том, чтобы не привлекать лишнее, а грамотно задействовать имеющееся. ❗️Что стоит прочесть в первую очередь (книги Альтшуллера): ➖«Найти идею: введение в теорию решения изобретательских задач» — самая известная книга Альтшуллера и хорошее начало в изучении метода. Яндекс Книги | Литрес | Читай-Город ➖«Творчество как точная наука» — более глубокий разбор инструментов ТРИЗ и законов развития технических систем. ВК | URSS | Livelib | Ozon ➖«Алгоритм изобретения» — практическое руководство с примерами. Читай-Город | Royallib | ВК Метод получил развитие и в других областях, но меня они меньше интересуют. Рекомендую ознакомиться с ними самостоятельно. ❗️Матрица противоречий в ТРИЗ (матрица Альтшуллера) Главный «навигационный» инструмент классической технической ТРИЗ. Она помогает перейти от конкретной инженерной проблемы к одному из 40 изобретательских приёмов, которые с высокой вероятностью дадут сильное решение. Матрица в PDF и расшифровка к ней. Существует интерактивная версия: Русский язык | English language. Совет по использованию матрицы: номера приёмов на пересечении — это не жёсткое правило, а статистическая подсказка (какие приёмы чаще всего помогали решить похожие противоречия в реальных изобретениях). Поэтому после того, как матрица подсказала номера, обязательно «переведите» их в конкретные идеи под вашу задачу — иногда имеет смысл взять 2–3 приёма и комбинировать их. ❗️Примеры: ▪️Ситуация: необходимо сделать ледокол, эффективно ломающий лёд без потери мореходных качеств. ▪️Противоречие: ледокол классического типа наваливается на лёд мощной носовой оконечностью, но такая форма оконечности была неэффективна в управлении и создавал дифферент. ▪️Решение: изменить форму носовой оконечности и сделать её клинообразной (как у ледокола «Ермак»). Ледокол не наваливается на лёд сверху, а разрезает его, т.е. лёд «проходит» под корпусом, а не толкает судно вверх или в сторону.  ▪️ИКР: судно эффективно преодолевает ледяные преграды, не жертвуя другими параметрами. ▪️Ситуация: станок с ЧПУ эффективнее человека, но в процессе работы забивается стружкой. ▪️Противоречие: человек на обычном станке брал щётку-смётку и убирал стружку, но у станка нет такой функции. ▪️Решение: перевернуть резец вокруг оси шпинделя на 180 градусов. ▪️ИКР: стружка под действием гравитации падает сама. Любой инженер или конструктор на производстве часто неосознанно применяет этот метод. Знаю по опыту. Дальше я вам предоставляю свободу самим погрузиться в тему. Инженер специально для девок.

Математическая терминология -- это живой, иногда абсурдный язык. Названия математических объектов иногда совершенно не помогают понять их суть. Поэтому единственное, на что можно опираться -- это строгое формальное определение, а не смысл, подсказываемый названием. ——— Предлагаю читателям поделиться в комментариях пойманными красными селедками. x x x

Красные селедки в алгебре В математике достаточно много "красных селедок". Чаще всего их вылавливают в алгебре и теории чисел, так как исследователи этих математических разделов любят приписывать необычные свойства своим детищам. Вот несколько примеров из алгебры. Кольцо -- Ring. Это не привычное кольцо, его нельзя надеть на палец -- это множество с двумя бинарными операциями: сложением и умножением, где деление необязательно. Поле -- Field. Это не поле, где можно вырастить картошку -- это математическая среда, где работает деление. Магма -- Magma. Не имеет никакого отношения к расплавленной породе, истекающей из недр -- это простое множество с одной замкнутой бинарной операцией. Монстр -- Monster. Им нельзя напугать детишек (хотя им можно сильно напугать студентов матфака :) -- это гигантская, идеально симметричная алгебраическая конструкция, которая всплыла в классификации простых конечных групп. Пучок -- Sheaf. Это не пучок колосьев или стрел -- это инструмент в алгебраической геометрии и топологии, который связывает локальные данные с глобальными объектами. Штука -- Shtuka. Не просто какая-то штука, а расслоение на кривой над конечным полем со сдвигом по Фробениусу, из которого строятся представления Галуа для автоморфных форм. #алгебра ↓

Красная селедка в математике -- это метафора, означающая вводящее в заблуждение название. Если объект назван красной селедкой, значит его название обманывает относительно его свойств. #термин ↓

Вещественные числа — Real numbers Самый показательный пример -- это термин вещественные числа. По-английски они называются real numbers, что дословно переводится как реальные числа. На бытовом уровне у носителя английского языка слово real ассоциируется с чем-то настоящим, осязаемым. Однако в математике это строгое теоретическое множество, лишенное физической материи. Поэтому англоязычному человеку требуется определенное время, чтобы отвлечься от житейского смысла real. В русском языке слова вещественный и действительный звучат как сугубо научные категории, лишенные бытовой повседневности. Поэтому русскоязычный человек сразу воспринимает вещественные (действительные) числа как абстрактную научную номенклатуру и ему не нужно избавляться от бытовой ассоциации, как англичанину. То есть в данном случае в русском языке красная селедка исчезла. ↓