Математика для олдов

Каждой точке плоскости приписали действительное число. Докажите, что найдутся две точки, для которых разница приписанных чисел будет меньше расстояния между ними

Пусть a, b, c, d, e, f — натуральные числа такие, что S = a + b + c + d + e + f делит оба числа ab + bc + ca − de − ef − fd и abc + def . Докажите, что S составное.

Имеется n + 1 непустое подмножество n-элементного множества. Докажите, что ненулевую часть из них можно покрасить в красный или синий цвет так, чтобы объединение красных подмножеств совпадало с объединением синих

Существует ли 2 четырёх-мерных симплекса, во внутренности каждого из которых находятся 3 вершины другого?

Назовём разбиение доски 49 × 49 на фигурки 1 × 2 и 1 × 3 странным, если фигурки нельзя пронумеровать числами от 1 до m (m — число фигурок в конкретном разбиении) так, что любая фигурка, кроме первой в этой нумерации, хотя бы одной своей короткой стороной прилегает к фигурке с меньшим номером. Докажите, что число странных разбиений делится на 49.

Дима и Саша занимаются двумя на первый взгляд совершенно разными делами. У Димы есть фигура «хромой король» — она умеет ходить на 1 клетку вверх или вправо, а также на 1 клетку по диагонали вправо-вверх. Пусть A — количество путей хромого короля по доске n на n из левого нижнего угла в правый верхний, которые никогда не поднимаются выше главной диагонали. А у Саши есть бумажный квадрат n на n и резак, которым он может проводить горизонтальные или вертикальные разрезы «от края до края». Саша отметил n минус один узлов клеток, лежащих внутри квадрата на его главной диагонали, и каждый очередной разрез делает по одному из отмеченных узлов, по которому ещё разрез не проводился (разрез проводится от края до края того куска бумаги, на котором расположен выбранный на данном ходу узел). Пусть B — количество способов так разрезать квадрат (способы, отличающиеся только порядком разрезов, считаются одинаковыми). Докажите, что A равно B.

Возвращать лекции? Вести будут несколько ребят. Например, я буду вести алгебру, а Лева - геометрию

Интересный факт. До 10^8 число 6 является единственным "замечательным"

Пусть p – простое число. Набор из  p + 2  натуральных чисел (не обязательно различных) назовём “умопомрачительным”, если сумма любых p из них делится на каждое из двух оставшихся чисел. Найдите все умопомрачительные наборы.

Назовём натуральное число "замечательным", если сумма кубов его делителей делится на его квадрат. Например, число 6 является "замечательным": 1^3+2^3+3^3+6^3=252, а 36|252. Конечно или бесконечно множество "замечательных" чисел?

Назовём натуральное число "интересным", если сумма квадратов его делителей делится на него. Конечно или бесконечно "интересных" чисел?

Как вы думаете, бесконечна ли математика? Что я имею ввиду: Для упрощения возьмем раздел математики - геометрия. Допустим мы изучили все геометрию (скажем, мы знаем абсолютно все верные утверждения Евклидовой геометрии). Получится некоторого рода ультимативная геометрия в картинках. Либо этих утверждений конечное количество, либо бесконечное (причем даже не факт, что счетное). Давайте не будем учитывать частные случаи, если у них есть обобщения (теоремы Пифагора не будет в списке, так как будет теорема косинусов, ну, только если ей не найдется какое то обобщение). Как вы думаете, конечен ли такой список? Очень интересно также послушать, как вы себе объясняете свое предположение.

Докажите что "р составное над кольцом Z[i]" равносильно "(-1) = квадровычет по р"

Существует ли полином Р(х) не являющийся квадратом (<=> не существует Q так что (Q(x))² = P(x)), но при этом Р(Р(х)) является квадратом

Дано натуральное число n, большее 2. Докажите, что если число n!+n³+1 — простое, то число n²+4 представляется в виде суммы трех простых чисел.

Мой любимый тип пределов: Найдите lim (n->inf): [ √1(n-1) + √2(n-2) + ... + √(n-1)1 ] / n² (Квадратные скобки не дробная часть, а просто скобки чтоб не запутаться)

Изначально все клетки доски 8 × 8 покрашены либо в белый, либо в черный цвет. Разрешается выбрать любой квадрат 3 × 3 или 4 × 4 и перекрасить все его клетки в противоположный цвет. Верно ли, что при любой первоначальной раскраске можно в итоге весь квадрат покрасить в черный цвет?

Купившему головку сыра весом 1 кг магазин предлагает призовую игру. Покупатель режет головку на 4 куска, а продавец выбирает из этих кусков один или несколько и раскладывает их на одну или на обе чаши весов. При неравновесии продавец обязан за счет магазина добавить призовой кусок сыра, уравновешивающий чаши. Продавец старается сделать приз поменьше, а покупатель – побольше. Найдите вес призового куска при наилучших действиях сторон.

Докажите что число на рисунке - целое