Not very difficult problems

Концепция Саввы, говоришь? Всем хорошо известно, как устроены все взаимно простые пифагоровы тройки a^2+b^2=c^2: c=x^2+y^2, a=x^2-y^2, b=2xy, x и y натуральные Многие слышали, что это частный случай известного уравнения Ферма a^n+b^n=c^n, которое не имеет решений при n>2, и все знают, что это дико сложная технически и идейно задача уже даже при n=3. Однако, оказывается, что при n=4 (а значит и при всех n, кратных 4) это посильная восьмикласснику задача. Мы покажем, что невозможно даже такое равенство: a^4+b^4=c^2. Положим что так бывает, из всех таких положительных троек {a,b,c} выберем ту, в которой c наименьшее. В частности, отсюда следует что {a,b,c} взаимнопросты. Понятно, что a^2,b^2,c образуют пифагорову тройку, а значит есть взаимнопростые m и n такие, что c=m^2+n^2, a^2=2mn и b^2=m^2-n^2. Посмотрим на уравнение для b. Получаем, что {b,n,m} - тоже пифагорова тройка, при этом b нечетно (покуда a четно). Значит есть взаимнопростые p и q такие, что m=p^2+q^2, n=2pq, b=p^2-q^2 вытащим отсюда m=p^2+q^2, n=2pq, подставим в a^2=2mn. Получим, что (a/2)^2=pq(p^2+q^2). Из взаимной простоты p и q получим, что p, q, p^2+q^2 - это точные квадраты, то есть p=x^2, q=y^2, p^2+q^2=z^2. Ну то есть x^4+y^4=z^2. Осталось проверить, что z<c, тогда мы получим противоречие с минимальностью. Но c^2 = a^4+b^4 > a^4 >= (a/2)^2 = pq(p^2+q^2) >= p^2+q^2 = z^2 Проблема только в предпоследнем знаке, мы хотим, чтобы p и q были ненулевыми, но если кто-то из них 0 - тогда a тоже ноль, а значит b^4=c^2, это тривиальный случай. Ещё в начале строгий знак, так как b не ноль. Отсюда мы получили, что c^2>z^2, то есть "спустились". Аналогичным способом можно получить, что a^4-b^4=c^2 не имеет нетривиальных решений. (Сделайте это!) При этом x^4+y^4+z^4=t^4 уже имеет нетривиальные решения, равно как и x^5+y^5+z^5+t^5=w^5: 2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4 133^5+110^5+84^5+27^5=144^5 Это является контрпримером к такой попытке обобщения уравнения ферма Эйлером: a_1^n+a_2^n+...+a_(n-1)^n=b^n (при n=3 это ровно уравнение Ферма) Любознательному читателю предлагается потренироваться в использовании этой теоремы на примере следующих задачек: Решите в целых числах 1) x^4-2y^2=1 2) 8x^4+1=y^2 3) x^4+(x^2+1)^2=y^2 4) (2x^2-1)^2=2y^2-1 5) 1+x+x^2+x^3=y^2 6) x^2y^2=z(z-x^2-y^2)

Написал методичку по поводу как можно применять тригонометрию в решении задач по геометрии , можно по ходу изменять если будут норм идеи

Чат для обсуждения геометрии Около 4 месяцев назад был закрыт чат канала Олимпиадная Геометрия, ставший большим централизованным местом для обсуждения геометрии. После закрытия того чата была предпринята попытка полного отказа от цензуры, которая не увенчалась успехом по понятным причинам, поэтому: Мы — Юсуф Нагуманов, Дима Герасимов и Петя Ким представляем Вам новый чат для обсуждения геометрии. Идея заключается в создании крупного модерируемого чата, в котором будет исключительно здравое обсуждение геометрии разного уровня. Заходите, всем будем рады: https://t.me/olympgeomchat

🙂Найдите все такие n;m € Z_+ и p - простое, что p^n+1=m^2 🙂Найдите все такие x,y,z € N, что (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=2 🟠🟠🟠🟠🟠🟠🟠🟠🟠🟠🟠🟠 Йоууууу, мы вернулись!!!!(шучу.мы переняли концепцию Саввы)

Найдите все такие многолчены с целыми коэффициентами P(x), что при всех достаточно больших n P(n) делит n^(n-1)-1 ск#123 #91

#92 Совсем легкая… ск#122 Кстати, если вы хотите что-то постить, то напишите, пожалуйста, мне в лс)

#93 1) Для каких k существует k попарно различных натуральных чисел таких, что их сумма кратна каждому из них? 2) Докажите, что для всех k существует k попарно различных натуральных чисел таких, что сумма любых двух из них делится на их разность 3) Докажите, что каждое натуральное n, за исключением конечного их количества, представимо в виде n=a1+a2+...+a2025, где a_i делит a_(i+1) при всех 1≤i≤2024, все ai различны ск#121

#94 ск#120

#95 Давайте ещё попроще.... Покажите, что C из 2n по n кратно n+1 ск#119

#96 Возвращаемся в учебный ритм) Пусть n - такое натуральное число, кратное 81, что если его переписать задом наперёд - оно всё равно будет кратно 81. Докажите, что тогда сумма цифр числа n кратна 81. Верно ли обратное? ск#118

#97 давайте скажем что праздничная) Однажды ученик Иван, после трёх лет обучения в храме геометрии, был допущен до финального испытания для получения звания геометр. Мастер Вадим К. предложил ему закрыть глаза и ответить на вопрос: «У меня в руке палка. Скажешь, что она у меня есть, — я тебя ударю, и ты вылетишь с курса. Скажешь, что её нет, — я тебя ударю, и ты вылетишь. Скажешь что-то постороннее — я тебя ударю, и ты вылетишь». Как же следует ответить Ивану, чтобы стать геометром? ск#117

Всех с первым сентября! Успехов, а главное удачи в новом учебном году!

#98 Что-то оно напоминает… ск#116 И да я добавил новые реакции 🥀

Задачи нет, просто напоминаю, что задачи из прошлый двух постов следует порешать😈

Как бы высоко ты ни летал, не забывай, с кем ты ползал Предлагается всем поупражняться в решении задачек с нодом: -1) Fn=2^(2ⁿ)+1. Тогда (Fn, Fm)=1 при m≠n 0) Решить в натуральных 2(x³-x)=y³-y при (x, y)=1 1) (a^n-b^n, a^m-b^m)=a^(n, m)-b^(m, n) при (a, b)=1 2) Дано натуральное число n. Определите все m такие, что 2^m-1 кратно (2ⁿ-1)² 3) Конечно ли количество таких чисел n, что n!+1 делит (2012n)! Также есть парочка простых задачек с Cшками: 0) (m, n) (C из n по m) кратно n 1) Покажите, что следующие Cшки взаимно просты в совокупности: (из n по k), (из n+1 по k),..., (из n+k по k) при натуральных n≥k 2) Покажите, что (C из n по k) и (C из n по m) НЕ взаимно просты при n>k≥m>0 #99 ск#115

Вообще, вообще, планируемый сейчас монолог довольно пространственный, но мне он казался важным. Тех, кто хочет (а значит поставили реакты, да же?) штук 16, из 260+ подписоты, что грустно, да и два из них - Иван и Никита - явно всё это знают, считают очевидным и не особо полезным, так что моя уверенность в важности пошатнулась. И тем не менее я свой монолог напишу: Итак, зайдем издалека. Многие из вас наверняка интересовались, как определять натуральные числа, и, так или иначе, выходили к аксиомам Пеано, среди которых, в вольной интерпретации, есть аксиома индукции: "Если a следует за натуральным n и b следует за натуральным n то a совпадает с b". У неё есть эквивалентный аналог - "В каждом непустом множестве натуральных чисел есть наименьшее". И часто вас в задачах просят доказать какое-то утверждение, которое верно для всех натуральных n. Типа, сумма первых n натуральных чисел равна n(n+1)/2. И доказывать такое можно как раз пользуясь одной из форм аксиомы индукции. (Я специально использую вторую, так будет нагляднее) Предположим, что можество натуральных чисел, для которых это НЕверно, не пусто. Выберем наименьшее n в этом списке. Заметим, что 1+2+...+n=1+2+...+(n-1)+n. При n>1 имеем "n-1 - натурально и меньше n", и оно не находится в нашем рассматриваемом множестве. То есть для него 1+..+(n-1)=(n-1)n/2. Добавив к обеим частям n получим, что 1+...+n=n(n+1)/2. Противоречие. При n=1 утверждение очевидно верно. Заметьте, нам было важно проверить, что n-1 тоже натурально, и важно, что при n=1 утверждение верно. Если забыть сказать хоть что-то про n=1 получится, что у вас дыра в переходе к n-1, которая идейно стоит вам задачи. Формально вы её не решили, а просто свели к случаю n=1. Это нельзя считать решением, но может считать значительным продвижением, которое очевидно доделывается до решения. Согласно критериям, за нерешённую задачу ставится не более 4 баллов, so какой-то очевидный тейк может стоить вам важных 3 баллов. Это наверняка вариативно, но я бы не рисковал, потому что такая трактовка очевидно имеет место быть, и тут уж как повезёт. И вот на основании этой мысли решаются задачи так называемыми пряжками Виета. Разберём на примере: Пусть a и b - натуральные нечетные числа такие, что a^2+b^2+1 кратно 2ab+1. Покажите, что a=b Решение: пусть a^2+b^2+1=(2ab+1)k имеет решение при a и b нечетных, не равных, натуральных. Рассмотрим всё множество таких пар (a,b). Выберем в нём ту, у которой сумма a+b минимальна (если таких несколько-берём любую). Пусть НУО в ней a>b. Рассмотрим квадратное уравнение x^2-2bkx+b^2+1-k=0. a Является его решением. Пусть c - его второе решение. Заметим, что c=2bk-a и c=(b^2+1-k)/a. очевидно, что k>1, тогда c<(b^2+1-1)/a<a. Из первого условия следует, что c нечетно. Проверим, что c натурально. Пусть это не так, то есть c<=-1, тогда b^2+a+1<=k=(a^2+b^2+1)/(2ab+1)<(2a^2+b^2)/2ab<=a+b^2, противоречие. Последнее, что надо проверить, что c не совпало с b. Это проверяется подстановкой (выйдет, что k=1). То есть мы, используя квадратное уравнение, нашли новую пару (c, a), удовлетворяющую всем условиям, у которой сумма меньше. Противоречие. Написано довольно сухо и строго, но мотивация прослеживается - основным является рассмотрение кв.уравнения и доказательство того, что второй его корень нам подойдёт. Иногда для этого стоит брать большее из чисел, иногда меньшее. Также замечу, что константа k, которая получается при переписывании кратности в равенство, сохраняется при таких действиях. Такой трюк называется "прыжок по виету", и во всех следующих задачах основным для решения является именно он. Итак, к решению предлагаются: 1)ab делит a^2+b^2+1. Тогда частное равно 3 2)ab-1 делит a^2+b^2. Тогда частное равно 5 3)a^2+b^2+c^2+1 кратно abc. Тогда частное равно 4 4)Найдите все пары (m, n), что mn-1 делит m^2+n^2 5)Найдите все пары (m, n), что mn-1 делит (n^2-n+1)^2 6)Найдите все решения уравнения a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=(n+t)a_1a_2...a_n. Все переменные везде натуральны. Полезно помнить, что если a<b при натуральных a и b то a<=b-1 #100 ск#114

#101 У меня есть какой-то набор не очень сложных задач на одну старую добрую тему. Накидайте 20 лайков - и я скину сотым постом) А пока, для хорошего сна, предлагается доброе упражнение, как раз на неё: Пусть a и b - натуральные нечетные числа такие, что a^2+b^2+1 кратно 2ab+1. Покажите, что a=b ск#113

#102 мне эту задачу на почту прислали #ск112

#103 для @Feyerbabah Пусть P(n) - многочлен с целыми коэффициениами такой, что P(n)>n Определм последовательность: a_1=1, a_(i+1)=P(a_i) Оказалось, что для каждого натурального m в этой последовательности найдётся кратный m элемент. Докажите, что P(n)=n+1. ск#111