truly part of me

> Although it isn't a particularly surprising story if you've spent your life on the anonymous internet (certainly nothing actually said on MJR was more shocking than anything you'd find on 4chan or some other alt-right message board), a lot of people, myself…

в телеграмме наконец-то можно делать нормальные посты и даже вставлять формулы, но только с премиумом вход в расширенный редактор появляется в верхнем уголке при вводе более 50 символов

О оказывается в природе есть видео Гротендика https://youtu.be/KNNKu4tYjQ4?is=6tzR-ok4RgwdgKfB

https://youtu.be/nowJvVYHqiY?si=vUv6AEgRim0DmSMK если вдруг кто еще не подписался на канал

В последние недели на ВШМ обсуждают негомеоморфность ленты Мёбиуса и цилиндра Это задача из листочка по топологии-1, которую всем хочется решить в терминах количества компонент связности края. Но чтобы определить край, необходимо показать, что R^n и замкнутое полупространство R^n_+ негомеоморфны для n = 2. При n = 1 это очевидно по аргументу через выкидывание точки и связность. Но чтобы мерить дырки коразмерности больше 1, нужна алгебраическая топология. Связанные утверждения: - негомеоморфность R^n и R^m (теорема об инвариантности размерности) - вложенная замкнутая кривая на плоскости разбивает её на две компоненты связности, а незамкнутая не разбивает (теорема Жордана) визуально очевидны, но являются классическими следствиями теории сингулярных гомологий (впрочем, у Жордана есть историческое элементарное доказательство, которое ещё хуже). Неочевидность визуально очевидных утверждений говорит о том, что непрерывные функции — более дикое понятие, чем наши геометрические ожидания. Поэтому их тяжело контролировать и, в частности, строить инварианты, различающие пространства. The foundations of topology are inadequate is manifest in the form of false problems [..., which] include the existence of wild phenomena (space-filling curves, etc.) that add complications which are not essential (с) Grothendieck Я пришел к этим мыслям где-то в 2021, в том числе (помимо уже сказанного) спровоцированный долгими размышлениями об исправлении того факта, что все непрерывные вложения S^1 в R^3 изотопны (в смысле связаны путем в пространстве непрерывных вложений), то есть, что все узлы развязываются. Просто скиньте весь узел на окружности в маленький шарик (выпрямив остальное) и сжимайте его пока он не станет точкой (so-called bachelor' unknotting). Хуже уже не будет? Ну... если только вам не попался дикий узел... для которых (в отличие от реализумых конечными ломанными) изотопность тривиальному это известная открытая проблема. Тогда я действительно полюбил дифференциальную геометрию, внезапно исправляющую одновременно всё. 1. В современной парадигме геометрии, вдохновленной Гротендиком, (с гладкими локусами и пучками на них) понятие гладкого пространства примарно и достаточно обще, чтобы не ограничиваться многообразиями и выступать как полноценная основа в топологии, теории гомотопий, геометрии и анализе. (в то время как в алгебраической геометрии мы просто повторяем тот же паттерн с аффинными схемами как по определению дуальными к коммутативным кольцам, также не нуждаясь в подлежащем понятии топологического пространства). 2. R^n и R^m не изоморфны, потому что касательные пространства имеют разную размерность как векторные. 3. Как следствия теоремы Сарда - Не существует сюръективных отображений M -> N для dim M < dim N (в частности, тех самых кривых заполняющих пространство) - Теорема Жордана 4. Внутренняя точка определяется как та, в которой все касательные векторы могут быть продолжены проходящими через них кривыми (-eps, eps) -> M. В точках границы продолжимые векторы образуют собственное подпространство (касательных к границе dM \subman M), а его дополнение распадается на компоненты связности векторов, направленных внутрь и наружу (определенных как те, что продолжаются путями [0, eps) и (-eps, 0] соответственно). Все это элементарно и непосредственно отвечает геометрической интуиции. 5. Компоненты связности пространства гладких вложений Emb(S^1, R^3) — это узлы. Для непрерывности пути в Emb, сходиться должна не только функция, но и все её производные, которые при сжатии взрываются. Поэтому пространство гладких вложений справедливо называют пространством узлов. И всякий гладкий узел изотопен узлу реализованному конечной (сглаженной) ломанной (нет диких вложений). 6. Все интересное, как правило, (кусочно) гладкое и в то же время пучки на локусах достаточно общи, чтобы красиво говорить о всяких негладких броуновских движениях, аттракторах и т.д.

> Higher algebra and higher geometry are like air: they are everywhere -- even if often you may only notice it when a storm comes up. It's the sea rising.

Упражнение. Пусть F: C -> D <- E: G финитно доступные и правые сопряженные функторы, а все категории в диаграмме локально конечно представимы. Верно ли, что C x_D E локально представима? (ответы под спойлером, конечно) P.S. Строгий 2-пулбэк категорий (в смысле просто подлежащих множеств) -- это (само по себе) бессмысленное понятие. Типа {0} : 1 -> Set <- 1 : {1} "контрпример" тогда, поскольку это "разные" объекты.

Да, кстати, введение в бесконечность-категории, написанное инвариантным языком: https://runegha.folk.ntnu.no/naivecat_web.pdf Чистое и содержательное. Возможно, лучший вводный текст на сегодняшний день (написан весной 2025). Узнал о нём от Игната.

Главный научный сотрудник факультета и коллега профессора Фарджуна Роман Михайлов объясняет, почему стоит посетить семинар:

⚡️ Уважаемые коллеги! 9 сентября состоится совместный коллоквиум Международного математического института им. Л. Эйлера и факультета МКН.    Профессор Эммануэль Дрор Фарджун (Институт математики Эйнштейна, Еврейский университет в Иерусалиме, Израиль) выступит с докладом по теме "The Bousfield Kan completion as an infinity terminal monad": We give a universal property of the well-known Bousfield-Kan R-homology completion functor. Further, it turns out  that in any nice infinity category one can associate with every monad M, a completion functor which is characterized as a terminal monad that preserves the image of the give monad M. In addition, we consider the concept of M-nilpotent objects, and pro-M-nilpotent completion.  This extends the main properties of the classical BK construction to generalized homology theories, equivariant homology  and beyond. 🔖 9.09, 17:30 14-я линия В.О., 29, ауд. 201 Подключение к Zoom Приглашаются все желающие! Для прохода на факультет с собой необходимо иметь паспорт.

I was an nLab holdout for saying that really should be called the Yoneda lemma. Whether you think of Yoneda as saying that hom-bimodules are units for the biclosed structure on bimodules, or for the tensor structure on bimodules -- that's a distinction which doesn't need to be made IMHO, since a unit for one is clearly the unit for the other. But it seems I lost that terminological battle, alas. Todd Trimble +, не понимал этой дистинкции всегда

Hi Mike. This is what's often called the Density Formula, or (at the n-Lab) the coYoneda Lemma (I think), or (by Australian ninja category theorists) simply the Yoneda Lemma. (But Australian ninja category theorists call everything the Yoneda Lemma.) Tom Leinster

Случайно наткнулся на странице Розенблюма только что https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/ https://arxiv.org/abs/2405.03599 https://arxiv.org/abs/2405.03648

A very good interview in French with former Bourbaki members Jean-Pierre Serre, Pierre Cartier and Jacques Dixmier, where the date is given [Dixmier]: So we have spoken about how we became members [of Bourbaki], let's talk about others. Grothendieck was enlisted as a member of Bourbaki when he was in Nancy. [Serre]: No, he was not a member of Bourbaki when he was in Nancy, he was a student of a member, that is not the same thing. [Dixmier]: He was a student of Schwartz and Dieudonné, they said immediately: He is amazing. [Serre]: Still, this is a very different thing, one did not consider taking him on as a member right away. [Dixmier]: Well, I would say that he was recruited in 1955, after you [Cartier]. [Serre]: I would say that as well. [Cartier]: Around the same time. by MathOverflow "When did Grothendieck join Bourbaki?" Напоминаю за счёт Серра, что под любым видео на ютуб можно включить автоматические субтитры и затем их автоматический перевод (за редкими загадочными исключениями)

Хорошо известно что Unfortunately, there is no reasonable proof theory for second-order logic with standard semantics. More precisely, there is no deductive system which is simultaneously - sound — every statement which is provable is valid in all models; - complete — every statement which is valid in all models is provable; and - effective — the validity of a proof can be checked by an idealized computer (or an idealized human). By contrast, first-order logic has all three of these properties. Это фундаментальное свойство логики высшего порядка и причина почему логика первого порядка монополизировала математический рынок (начиная с нашей общей крыши — с ZFC). Включение в язык кванторов по предикатам, хоть и выглядит удобно, делает его слишком выразительным и потому плохим. ...так мне всегда говорили... The undesirable properties of higher-order logic are created by an insufficient notion of model. That is, we cannot have all three, soundness, completeness and effectivness (decidability of proof checking), if we insist that formulas be interpreted in the "standard" set-theoretic way. Henkin semantics does not suffer from this defficiency. What this says is not that something is wrong with higher-order logic, but that something is wrong with those who refuse to look at semantic models, even when they are right in front of their faces, because these models are "unintended", "philosophically unacceptable", "not what mathematicians think", etc. This phenomenon of refusing to accept new interpretations of old theories is quite persistent, and always very harmful. Didn't someone stall progress in noneuclidean geometry because it was unthinkable that there would be strange new models? Aren't imaginary numbers so called because they were unthinkable and did not "really exist"? Doesn't higher-order classical logic suffer because it is being denied its natural notion of models on the grounds that they are non-standard? The natural notion of model for intuitionistic higher-order logic (IHOL) is that of a topos. With respect to topos semantics, it is a standard result that IHOL enjoys soundness, completeness and effectivness. We may specialize this standard fact to classical higher-order logic (CHOL). The result then is that, with respect to Boolean topos semantics, CHOL enjoys soundness, completeness and effectivness. From here on, we may prove various technical theorems which allow us to cut down on the class of Boolean toposes which is stil sufficient for completeness. And then it is not much of a surprise that we cannot cut down just to a single topos known as classical sets, which is called "Paradise" by its prisioners. Andrej Bauer Это не случайность. Насмотревшись и того, и другого, я уже привык, что всякий раз, когда заходит речь о направлениях в основаниях математики (логике / теории множеств), которые до сих пытаются игнорировать теорию категорий, у меня немедленно потухают глаза.

https://mathoverflow.net/questions/88184/what-is-the-significance-of-non-commutative-geometry-in-mathematics