Man of Spade

Продолжаю обожать норвежский язык, свою любимую математику и жизнь вообще. В общем, я тут готовлю материалы для ЦУ где мы решили вести факультатив по общей топологии + алгебраическая. К тому же начнём с теории множеств, где я сначала расскажу про наивную теорию множеств Кантора, а уже потом - ZFC. Я проделал большую работу чтобы подготовить материал для ZFC (=акисоматика Цермело-Френкеля + аксиома выбора), но Бурбаков не осилил (знающие поймут). На помощь пришли видео лекции Ричарда Бордерса где, Бордердс, как всегда всё сделал элегантно и прекрасно. Так что я их конспектировал, обдумывал и переосмысливал ну и получилось то, что получилось (я не могу выкладывать тут сам файл, потому что ЦУ будет против). Так вот, а норвежский тут вот причём, на норвежском есть фраза Å snakke over hodet på noen которая дословно переводится так - Говорить поверх чьей-то головы. Означает говорить с кем-то на непонятном, сложном языке. Виноватым в этом случае чувствуете себя вы, а не слушатели. Так что боюсь что это будет актуально, но всё же я попробую. Ну а ещё я тут приступил к вычислению когомологии для алгебры Темплерлей Либа и там классно! Так вот провожу лето на шикарном диване с математикой и лекциями Бордчердса

Я тут у себя на Родине (=Дальний Восток) и провожу исследования алгебр Темперлей—Либа (=TLm). В общем, для неё (вернее для quiver path algebra которая Морита эквивалентна TLm) была построена минимальная бимодульная резольвента. И я такой — хммммм, это ж хорошо, ибо она минимальна! Но....когда я вник в её структуру....в общем, на картинке это образующие цепей....короче жесть... Так что придётся мне строить по своему. Хорошо что я когда был в Китае, то овладел секретами кунг-фу резольвенты Аника и алгебраической дискретной теории Морса....вот так провожу лето Кстати, Аник (резольвента в честь него названа) очень интересный человек. Он окончил MIT и хотел там остаться, но ему не дали такой возможности, и он обиделся и...решил пойти в доктора, который человеческие доктора (как доктор Хаос), и вот, отучился (после того как в MIT отучился и получил PhD) и стал MD (доктор медицины)

Вот и закончился очередной академический год в Вышке! Надеюсь что всем моим ствудентам как в ЦУ так и в Вышке было интересено и не очень скучно! По крайней мере я очень старался! Успехов вам ребята! Там куда я ухожу - Весна! Я знаю что вы сможите меня найти.... p.s. Привожу подборку того, что студенты рисовали или писали на письменном экзамене -- это прекрассно! p.s.s не всё смог вспомнить (простите)

Дорогие мои студенты Вышки, у нас начался отбор ассистентов! Очень буду рад Вас видеть! 📢 Старт набора учебных ассистентов на 1–2 модули 2026/2027 Комиссия по поддержке образовательных инициатив ФКН открывает приём заявок на участие в проекте «Учебный ассистент». Чем занимается учебный ассистент? Помогает преподавателю в проведении занятий и консультаций, участвует в разработке заданий, проверке работ и подготовке учебных материалов. Условия работы: 💰С оплатой: 6 000 руб./мес. за одну позицию (максимум — две позиции одновременно) 🤝Без оплаты: зачёт практики или проектной работы ✅ Требования: • Оценка по дисциплине — не ниже 6 баллов; • Отсутствие академических задолженностей и дисциплинарных взысканий; • Дисциплина не входит в ваш ИУП на 2026/2027 уч. год; • Отсутствие совмещения с преподавательской деятельностью в ВШЭ (включая ГПХ). ⏳ Сроки: • Подача анкеты — до 22 июня 2026 года • Подача документов (для работы с оплатой) — строго до 12 июля 2026 года ⚠️ Документы можно подгрузить сразу при заполнении анкеты или позже — главное успеть до 12 июля. Без полного пакета документов Комиссия не сможет утвердить кандидата. 🔗 Подать заявку Подробности — на сайте проекта. Вопросы? Пишите: obkom.cs@hse.ru #приемная_кампания #учебные_ассистенты_ФКН

Я обожаю «Джона Уика»!!! И его костюм — отдельная история. Оказывается, он пепельно-серый не случайно: так художники фильма показали его скорбь и разбитое сердце. Броня, в которую зашита боль! Потрясающе!!! А потом я подумал и пришёл к выводу, что у меня на лекциях — свой «Континенталь». Те же строгие правила, та же концентрация, то же уважение к ремеслу. И я всегда читаю их в костюме. Не ради пафоса. А чтобы подчеркнуть: то, что мы делаем, — серьёзная эстетика! Так что ходите ко мне на лекции, друзья! Никакой стрельбы, конечно. Но матрицы и интегралы здесь идут по кодексу.

простых модулей. 🔹 Если rad(A) = 0, то Φ — вложение. Алгебра «сидит» внутри прямого произведения колец эндоморфизмов своих простых модулей: элементы A представляются как согласованные семейства линейных отображений. Пример. Для A = Mₙ(F) (rad=0) простой модуль S = Fⁿ. End_Z(S) огромно, но λ_S(A) — это просто все левые умножения на матрицы. Образ Φ — это подкольцо End_F(S) ≅ Mₙ(F). Фактически Φ — изоморфизм A → Mₙ(F). Так матричная алгебра восстанавливается из своего единственного простого модуля. 🔹 5. Теорема Веддербарна–Артина: полная классификация полупростых Теперь предположим, что A — артинова (например, конечномерна над полем) и rad(A) = 0. Тогда происходит чудо: Вложение Φ «затягивается» до изоморфизма на образах: образ A в End_Z(S) для каждого простого S — это в точности все эндоморфизмы S как правого векторного пространства над своим телом Эндоморфизмов D = End_A(S) (лемма Шура, D — тело). * Таких неизоморфных S конечное число (S₁,...,Sᵣ). * Каждый образ изоморфен полному матричному кольцу M_{n_i}(D_iᵒᵖ), где n_i = dim_{D_i}(S_i). В итоге: A ≅ M_{n1}(D1) × M_{n2}(D2) × ... × M_{nr}(Dr). и вот это имба! это одно из самых красивых в алгебре результатов! Пример. Для конечномерной полупростой алгебры над алгебраически замкнутым полем (скажем, ℂ) все D_i = ℂ, и A ≅ M_{n1}(ℂ) × ... × M_{nr}(ℂ) — произведение полных матричных колец. Это и есть «разложение Фиттинга для алгебры»: полупростая алгебра распадается в прямую сумму простых компонент, каждая из которых устроена как полное кольцо матриц над телом — аналог обратимого «хорошего» куска. А нильпотентная «нулевая» часть остаётся целиком в радикале, который мы вырезали переходом к A/rad(A). Но ведь тогда всё можно обобщить, не удивительно что так и сделали в теории категорий. 🔹 6. Категорный взгляд На языке категорий: радикал Джекобсона — это пересечение аннуляторов всех простых объектов в категории A-Mod (левых модулей над A). * Переход к фактор-алгебре A/rad(A) даёт полупростую категорию, в которой каждый объект раскладывается в прямую сумму простых. * Гомоморфизм Φ — это представление алгебры в «произведение колец эндоморфизмов простых», то есть аналог embedding’а в категорию эндоморфизмов. * Теорема Веддербарна–Артина говорит: артинова полупростая категория модулей эквивалентна конечной прямой сумме категорий конечномерных векторных пространств над телами. Таким образом, радикал Джекобсона — это инструмент, отрезающий «нильпотентный шум», чтобы осталась только регулярная, хорошо разложимая структура. В линейной алгебре это делает лемма Фиттинга для одного оператора, в теории колец — факторизация по радикалу и теорема Веддербарна–Артина, а в сердце всего лежит идея: разделяй на атомы и властвуй. Кому интересно углубиться: лемма Фиттинга, радикал Джекобсона, теорема плотности Джекобсона и категорные версии — всё это части одной прекрасной картины. вот так классно я провожу выходные, обожаю свою жизнь!

идут светлые праздники и я на всю катушка отдыхаю от преподавания и подготовки материалов и так далее (нужно много чего проверять (КР всякие и так далее) но я пока решил отложить это до завтра или послезавтра, в общем проверю). Так вот, я тут хочу понять как выглядят дифференцировия в одной алгебре ну и мне нужно изучить эквивалентность Мориты + кое что из теории представлений. В общем стал я вспоминиать теорию колец и то как её понимали класики, особенно Натан Джекобсон. И вот я подумал, а как можно более проще и более ествественнее понимать радикал Джекобсона? Ну и вот к чему я пришёл. Акт 1. От Фиттинга до Веддербарна: как алгебра разваливается на «хорошее» и «нулевое» В линейной алгебре мы умеем расщеплять пространство для одного оператора, а в теории колец — целые алгебры. Связывает их идея радикала. Давайте пройдём этот путь от простого к сложному, но с картинками. 🔹 1. Лемма Фиттинга: один оператор — два подпространства Пусть T : V → V — линейный оператор на конечномерном пространстве. Рассмотрим цепочки ker(T) ⊆ ker(T²) ⊆ ... im(T) ⊇ im(T²) ⊇ ... При некоторой степени n они стабилизируются, и тогда V = ker(Tⁿ) ⊕ im(Tⁿ). На первом слагаемом T нильпотентен (исчезает в степени), на втором — обратим (=изоморфизм). Пример. Пусть V= Span(1,x,x^2, sin x, cos x, e^x), а T -- дифференецирование, тогда V = Span(1,x,x^2) ⊕ Span(sin x, cos x, e^x), и на первом слагаемом наш оператор дифференцирования -- нильпотентен, а на втором -- изоморизм. 🔹 2. Переход к алгебрам: что считать «точками»? Теперь вместо одного T у нас целое кольцо/алгебра A с единицей, и мы смотрим на её действия — модули. «Атомы» линейной алгебры — простые модули (неприводимые представления). Хотим понять, какие элементы A ведут себя «нулевым» образом на всех этих атомах. 🔹 3. Радикал Джекобсона (rad A): всеобщее ядро Определим аннулятор модуля M: Ann_A(M) = { a ∈ A | a·m = 0 для всех m ∈ M }. Теперь радикал Джекобсона — это пересечение аннуляторов всех простых левых модулей S: rad(A) = ⋂_{S прост} Ann_A(S). 🔸 Эквивалентные описания (для колец с 1): Можно показать, что rad(A) = пересечение всех максимальных левых идеалов и что a ∈ rad(A) ⇔ для любого b ∈ A элемент (1 − ab) обратим. Последнее свойство очень похоже на нильпотентность: если aⁿ = 0, то (1−a)⁻¹ = 1 + a + a² + ... — обратим. Элементы радикала ведут себя «почти как нильпотенты», даже если сами не нильпотентны. 🔸 *Примеры.* 1. A = Mₙ(F) (все n×n матрицы над полем). Простых модулей (с точностью до изоморфизма) всего один: Fⁿ. Его аннулятор — нулевой идеал, потому что матрица, обнуляющая все векторы, обязана быть нулевой. Поэтому rad(A) = 0. 2. A = Tₙ(F) (верхнетреугольные n×n матрицы). Простых модулей много: для каждого i=1...n можно взять фактор A по максимальному левому идеалу. Их пересечение — матрицы с нулями на всей главной диагонали, то есть строго верхнетреугольные. Это rad(A). Он нильпотентен, фактор A/rad(A) ≅ Fⁿ (диагональные матрицы) — полупростое кольцо. 3. A = F[x]/(x²). Простой модуль только один: F, на котором x действует как 0. Аннулятор = (x). Значит, rad(A) = (x). А фактор A/rad(A) ≅ F — полупрост. А вот теперь как я начал про это думать, любая алгебра (ассоциативная) вкладывается в кольцо своих эндоморизмов A --> End(A), это просто, любой элемент a можно оптравить в эндоморфизм La который действует так La(x):=xa. Так вот, подумал я, рассмотрим теперь множество всех простых модулей нашей аалгебры и рассмотрим их кольца эндорморфизмов, мы же тогда можем определить отображение нашей алгебры в произвдение этих колец, ну и тогда ядро этой стрелки это же и будет радикал Джекобсона!!!! И ведь если ядро нулевое, то мы получаем полупростоту по Джекобсону!!! Мне было так хорошо! В общем по порядку. 🔹 4. Алгебра вкладывается в эндоморфизмы своих «атомов» Любой элемент a ∈ A действует умножением на простом модуле S — это Z-линейный эндоморфизм λ_S(a) : S → S, s ↦ a·s. Соберём все такие действия в прямое произведение: Φ : A → ∏_{S прост} End_Z(S), Φ(a) = (λ_S(a))_S. Ядро Φ в точности равно rad(A) — мы пересекаем аннуляторы всех

Давно не писал, и вот повод, замечательный человек и просто крутой мужик Влад Пимкин решил сделать вот что. Друзья, всем привет! Приглашаю студентов, аспирантов и молодых исследователей на молодёжную конференцию Центрального университета «Научный телеграф». Отдельно буду рад видеть ребят, которым интересна математика — и чистая, и прикладная. На конференции будет секция «Математика: от абстракций к приложениям»: про идеи, задачи и вопросы, в которых математика играет главную роль. Не обязательно приходить с большим и уже полностью оформленным исследованием. Подойдут курсовая, часть будущей ВКР, самостоятельный проект или просто хорошая математическая идея, которую хочется обсудить с профессиональным сообществом. Уверен, для молодых математиков это очень правильный формат: попробовать рассказать о своей идее вслух, получить содержательную обратную связь и оказаться среди людей, которым действительно интересно думать о математике всерьёз. Когда: 17 мая Где: кампус Центрального университета, Москва, ул. Гашека, 7 Дедлайн подачи тезисов: 3 мая, 23:59 по Москве Подробности и регистрация: https://cu.ru/science/scientific-telegraph Буду рад, если вы придёте сами или передадите это приглашение сильным студентам и аспирантам, которым такой формат может быть полезен. Влад Пимкин Академический руководитель направления «Математика» в Центральном университете

Представьте себе самую безумную библиотеку в мире. Не библиотеку книг, а библиотеку всех возможных слов. Математик Ян Стюарт предложил идею «Гипервебстера» — словаря, в котором в строгом лексикографическом порядке записаны все слова. Давайте сделаем то же самое с русским языком. 33 буквы. Мы начинаем выписывать: А, АА, ААА, АААА... (тома бесконечных «А»), потом АБ, АБА, АБАА... И так до самого конца: Я, ЯЯ, ЯЯЯ... Это не просто скучный список. Это нечто чудовищное и великолепное! В этом словаре есть ВСЁ. Здесь записана вся ваша жизнь, слово за словом. Здесь записан разговор, который вы никогда не вели. Здесь лежит текст нерожденного романа. Здесь же находится точное описание вашего завтра... и тут же, через строчку, описание того, что вы не далали вчера!. Этот словарь содержит судьбу Вселенных. Всех возможных Вселенных. В нём есть правда обо всем, что случится, и обо всем, что никогда не произойдет, потому что сочетания букв бесконечны. И вот тут начинается настоящее колдовство! Допустим, мы издали этот словарь. Он огромен — 33 тома (по тому на каждую первую букву). Но если мы задумаемся, то поймем удивительную вещь: нам не нужны все 33 тома. Достаточно всего одного! Возьмите том на букву «А». Выбросьте эту первую «А» из каждого слова. Что вы получите? Вместо «АМБАР» вы получите «МБАР». Вместо «ААА» вы получите «АА». Вы получили ВСЕ слова, которые начинаются на любые другие буквы! Из одного тома прорастает весь остальной язык. Это великолепное свойство бесконечности: часть равна целому. Судьба всего мира спрессована в одну единственную книгу. Нужно лишь суметь её прочитать.