Curious Maths — О математике

описание

Телеграм-канал Curious Maths. YouTube: youtube.com/c/CuriousMaths314 VK: vk.com/max_arkhangelov Написать админу: t.me/maxerr0 Бустануть: t.me/boost/curious_maths

← к каналу @curious_maths

156

подписчиков

Охват к подписчикам

434,0%

ERR

Реакции к просмотрам

1,69%

290 на 29 постов

Пересылки к просмотрам

0,30%

Постов в день

0,1

всего 29

Где отзываются чаще

доля реакций к просмотрам

17:41без подписи44,44%
1 апр. 2023 г.⚡️ Важные связи в ромбе (Вывод) Существует такой вид четырехугольников, как ромб. Среди всех известных видов, на которые принято разделять четырёхугольники, этот обладает уникальным свойством — в любой ромб можно вписать окружность, причём только одну. Почему? Потому что геометрическое место точек, равноудалённых от каждой из сторон углов ромба (биссектрисы) полностью совпадают с диагоналями ромба, которые, очевидно, пересекаются всегда. Точка их пересечения и будет центром единственной вписанной в ромб окружности. Отсюда и следуют разные полезные и важные связи между стороной ромба, диагоналями и радиусом вписанной окружности. P.S.: В связях, где участвует множитель sin α не важен выбор между острым или тупым углом ромба. Т.к. их сумма всегда 180°, а синусы углов, сумма которых равна 180°, не отличаются, это никак не повлияет на sin α #планиметрия@curious_maths9,88%
15 июл. 2025 г.➡️ Друзья, создание таких постов занимает большое количество времени и сил. И дело не в том, чтобы понять и решить задачу, а в том, чтобы доходчиво объяснить её Вам — чтобы максимальное число читающих смогло понять материал. Поэтому если вам по душе подача или материалы, то я буду очень благодарен за Ваши ⭐️Звёздные реакции и ⚡ Бусты Спасибо ✊8,88%
15 июл. 2025 г.🧱 Задача про мост из кирпичей (Неожиданное сочетание физики с математикой) 💬 Представим, что нам необходимо построить мост из кирпичей без использования цемента. С какими трудностями мы можем столкнуться? Оказывается, всё завязано на принципе центра тяжести — некой воображаемой точке, где сосредотачивается вес всего тела. Если проекция центра тяжести находится над ровной поверхностью, то тело не рухнет вниз, по направлению силы тяжести Земли. 💡 Значит, можно первый кирпич можно своей серединой поставить на край воображаемой пропасти — и он не упадёт. При установке 2-го кирпича необходимо, чтобы выполнились условия: 1️⃣🅰️ Центр тяжести верхнего кирпича находится над поверхностью нижнего; 2️⃣🅰️ Центр тяжести объединённой системы находится над ровной поверхностью. 💭 Наша задача — получить максимально длинный мост, поэтому выгодно выбрать установку верхнего кирпича своим центром тяжести именно на край нижнего. Другими словами, выбираем такое критическое положение, при котором движение в одну из сторон на ∀ε>0 влечёт обрушение конструкции. Таким образом, проекции центров тяжести двух кирпичей будут находится на расстоянии ровно L=x/2, где x — выбранное ребро для проектирования точек (расстояние от середины кирпича до его края на одной из его граней) ➡️ При совмещении двух кирпичей наблюдаем следующее явление: новый (объединённый) центр тяжести передвигается ровно в середину отрезка L, т.е. на x/4. ❗️ Таким образом, для удержания конструкции над пропастью, нужно сдвинуть нижний кирпич на x/4 в воздух, а верхний — ещё на x/2 в этом же направлении уже на нижнем кирпиче. Всего над пропастью будет находится: x/2+x/4 = 3x/4 Далее будем называть эту величину повиснувшей частью. 🌸 Продолжим строить мост. Теперь нужно добавить 3-й кирпич. Общий центр тяжести двух верхних кирпичей — в 2 раза менее подвижный, а значит при объединении с 3-им кирпичом по такому же механизму, как мы делали ранее, отрезок L разделится на части, обратно пропорциональные массам двух объектов: третьему кирпичу и объединению первых двух. То есть, итоговый центр тяжести сместится ещё на (x/2)*(1/3) = x/6 от предыдущего положения. ✅ Аналогично при 4-х кирпичах центр тяжести сместится ещё на x/8, а общая свисающая часть над пропастью составит: x/2 + x/4 + x/6 + x/8 = x/2 * (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) При n кирпичах повиснувшая часть составит: x/2 * Σ_{k=1}^n {1/k} = x/2 * Hₙ За Hₙ обозначается n-ое гармоническое число как Hₙ = Σ_{k=1}^n {1/k} ⛔️ Гармонический ряд расходится, т.е. lim_{n —> ∞) Hₙ = ∞, см. доказательство на странице 4. ⚡️ Это свойство суммы Σ_{k=1}^∞ {1/k} позволяет сделать вывод о том, что свисающая часть при добавлении новых кирпичей может расти неограниченно. Причём, так как Σ_{k=1}^n {1/k} ∈ O(log n) 👍 Для того, чтобы перебросить мост через Гранд-Каньон в самом узком его месте — 180 м, понадобится не менее 10⁶²⁵ стандартных кирпичей (длиной 250 мм). Для сравнения, в наблюдаемой Вселенной порядка 10⁸⁰ атомов. ❌ Однако, такой замысел в реальных условиях нереализуем. Только в абстрактном математическом мире можно идеально совмещать центры тяжести с границами кирпичей. Да и использовать этот мост в реальности было бы невозможно — малейшее нарушение баланса ведёт к разрушению всей конструкции. #математическийанализ@curious_maths #алгебра@curious_maths5,27%
4 янв.🔥🔵🟨 Теорема Эйлера в теории чисел + Малая теорема Ферма (пояснения, примеры и доказательства) 🎄🎁 С наступившим Новым годом, дорогие друзья! А мы с вами сегодня продолжаем исследовать математику. Сегодня поговорим про одну из самых важных теорем в теории чисел, которая используется не только для упрощения вычислений и счёта, но и очень широко применяется в современных алгоритмах криптографии (не только RSA, но и p-1-метод Полларда, ECM, метод квадратичного решета и очень многие другие) ➡️ Возможно, вам когда-нибудь задавалось наблюдать за тем, как ведут себя натуральные степени некоторого натурального числа по некоторому модулю. То есть, удавалось распознать какую-то закономерность, паттерн, которому подчиняются остатки при делении этих степеней на некоторое известное число. И правда: степени рано или поздно зацикливаются! Но с чем это связано, почему соблюдается такая структура? ➡️ Всё кроется в теореме Эйлера (для теории чисел), тесно связанной с функцией Эйлера, которую мы уже рассматривали ранее. Оказывается, если рассмотреть все взаимно простые с N числа, меньшие его самого, то при умножении каждого из этих чисел на некоторое другое число A (также взаимно простое с N), рассматриваемые числа будут просто переходить друг в друга по модулю N, что никак не затрагивает их произведение. Это ключевая идея, которая используется в доказательстве. 📌 Теорема Эйлера (формулировка): Если a и m взаимно просты, то a^φ(m) ≡ 1 (mod m) С доказательством можно ознакомиться на листочке. Так или иначе, теперь мы знаем очень мощный инструмент, который способен сильно упрощать арифметику при весьма трудоёмких вычислениях. Теперь должно стать проще понять, почему нельзя(!) брать остаток от деления в показателях по известному модулю N. Чтобы "перебраться" в показатель степени, нужно: 1️⃣ Проверить, что основание степени и модуль N взаимно простые; 2️⃣ Найти остаток показателя по модулю φ(N). 🔘Можно обобщить на башни степеней: например, на числа вида a^b^c. Тогда во втором показателе придётся найти остаток по модулю φ(φ(N)). Как думаете, а сколько композиций функции Эйлера будет достаточно (сколько раз нужно будет применить φ), чтобы число N превратить в 1? Оказывается, всегда будет достаточно не более log₂N композиций (постарайтесь осознать, почему так). Теперь про малую теорему Ферма: 📌 Малая теорема Ферма (формулировка): Если a не делится на простое число p, то aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) Доказательство тривиальное, если знать теорему Эйлера: нужно лишь применить функцию Эйлера для простого числа p и отразить это в итоговой формуле. ❗️ Важно также понимать, что как теорема Эйлера, так и её следствие в виде малой теоремы Ферма, не способны всегда находить наименьшую степень числа, в которой оно сравнимо с 1 по некоторому модулю. Но степень φ(n), при соблюдении остальных условий, всегда гарантирует в результате 1 в сравнении. Например, это становится яснее в такой ситуации: 17¹⁷⁸ ≡ 1 (mod 179) — по малой теореме Ферма 17⁸⁹ ≡ 1 (mod 179) — степень вдвое меньше ⬛️А как вы думаете, если сегодня воскресенье, то какой день недели будет через 10^10^100 дней? Делитесь своими мыслями и решениями в комментариях! #алгебра@curious_maths #теориячисел@curious_maths4,45%
2 авг. 2024 г.🤫 Диагонали правильного СЕМИУГОЛЬНИКА ⛔️ Правильный семиугольник — фигура, которую невозможно построить циркулем и линейкой, о чем говорит теорема Гаусса-Ванцеля. Это первая фигура из ряда правильных многоугольников, угол которой не выражается натуральным числом в градусах (900/7 °), что делает правильный семиугольник крайне неудобной фигурой для изучения. 🎓 Так или иначе, при помощи теоремы косинусов и самых основных тригонометрических формул, можно вывести выражения для диагоналей семиугольника через его сторону в точной форме. В правильном семиугольнике можно разделить диагонали на 2 вида: малые (d₁) и большие (d2) Малая диагональ (d₁) правильного семиугольника соединяет 2 его вершины через одну. Имеет следующую длину: d₁ = 2a cos(π/7) Большая диагональ (d₂) правильного семиугольника соединяет 2 его вершины через две подряд идущие другие вершины. Имеет следующую длину: d₂ = 4a cos(π/7) cos(2π/7) Это одно из приложений тригонометрических формул в планиметрии — нахождение элементов правильных многоугольников. #планиметрия@curious_maths #тригонометрия@curious_maths3,87%
16 авг. 2025 г.🖼 Купить NFT или попытаться выиграть его — Что лучше? (Приложение теории вероятностей) ❗️ Как многие из вас уже давно знают, в Telegram существуют NFT-подарки. Вы можете их увидеть в профилях ваших знакомых и друзей. И на самом деле, это не просто украшения — а настоящий цифровой актив. Но этот пост не об этом! 💫 На этом примере мы только рассмотрим задачу о выборе стратегии, основываясь на информации из реального источника. У нас есть 2 опции: 🩵. Купить NFT за ⭐ 900 (Телеграм-звёзд) 🩵. Попытаться выбить 7️⃣7️⃣7️⃣ в игровом автомате и забрать себе NFT, но 1 попытка стоит ⭐ 34 📊 Насчёт 1-го варианта всё понятно и прозрачно. Но сколько в среднем звёзд придётся потрать на попытки выбить комбинацию "777" в игровом автомате? Может, эта стратегия позволит сэкономить часть суммы и не отдавать ⭐️ 900? Или, может оказаться так, что нет? 🍀 Чтобы прикинуть кол-во ходов и оценить свои шансы на удачу, в этой задаче естественным образом появляется потребность в использовании математического ожидания. Мат. ожидание — это среднее, взвешенное по вероятностям значение случайной величины (в нашем случае — дискретной величины Y — количества шагов до первого выпадения "777"). Для того, чтобы найти E(Y) требуется найти вспомогательный бесконечный ряд S = Σ_{n=1}^{∞} n · (63/64)^n С помощью почленного вычитания (63/64)S из S, полученная разность этих рядов сводится к нахождению суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, формулу для которой мы хорошо знаем. Оказывается, что в среднем понадобится 64 попытки для того, чтобы выбить 7️⃣7️⃣7️⃣ на игровом автомате, что влечёт за собой траты в размере ⭐️2176, что сильно больше чётких ⭐️900, за которые вы гарантированно получаете NFT. 🚨 Поэтому, несмотря на малую цену за 1 попытку, вы наверняка потратите больше своих денег, а получите (а может, и не получите!) в точности то же самое. Не стоит вестись на кажущуюся "лёгкость") #теориявероятностей@curious_maths3,69%
12 июл. 2024 г.🈁 CURIOUS MATHS — Навигация ☕ Рад видеть вас в моём канале, посвящённом математике: необычные идеи, подходы и методы решения задач, а также красивейшие конструкции — всё это здесь, в Curious Maths! 👍Для быстрого поиска интересующего материала все посты разделены на темы с помощью хештэгов: ™️™️™️™️™️™️™️ 📙#алгебра@curious_maths ™️™️™️™️™️™️ ™️™️™️™️™️ 📒#теориячисел@curious_maths ™️™️™️™️™️™️™️ ™️™️™️™️™️™️ 📗#тригонометрия@curious_maths ™️™️™️™️™️ ™️™️™️™️™️™️ 📘#планиметрия@curious_maths ™️™️™️™️™️™️ ™️™️™️™️™️™️ 📕#стереометрия@curious_maths ™️™️™️™️™️™️™️ ™️™️™️™️™️™️ 📓#комбинаторика@curious_maths ™️™️™️™️™️™️™️™️™️ 🍇 #математическийанализ@curious_maths 🎥 #задачи@curious_maths 🎥 #видео@curious_maths 📱 YouTube-канал: https://www.youtube.com/@CuriousMaths314 📱 Телеграм-канал: https://t.me/curious_maths ➡️ Написать админу: https://t.me/maxtheshock Приятного времяпровождения в канале и изучения математики!2,78%
31 окт.🎃🧲 Неравенства между средними величинами (a.k.a. частный случай неравенства о средних) — Доказательство + случай равенства ➡️ Предположим, есть некоторое конечное множество A, содержащее только положительные числа a₁, a₂, ... , aₙ. Введём величины: 🔘minNum = min(a₁, a₂, ... , aₙ) 🔘HM = n / (1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/aₙ) (Среднее гармоническое) 🔘GM = (a₁*a₂*...*aₙ)^(1/n) (Среднее геометрическое) 🔘AM = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n (Среднее арифметическое) 🔘QM = √((a₁² + a₂² + ... + aₙ²)/n) (Среднее квадратическое) 🔘maxNum = max(a₁, a₂, ... , aₙ) Тогда верна следующая цепочка неравенств: minNum ≤ HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM ≤ maxNum (для любого n — кол-ва чисел) 📌Причём равенства наступают во всех неравенствах только одновременно и только в одном случае: a₁ = a₂ = ... = aₙ. 🌲 Существует много доказательств этой важной и полезной теоремы, сегодня мы рассмотрим способ, опирающийся на метод математической индукции. 1️⃣ — Неравенство GM ≤ AM для n = 2ᵏ: ⏩Для 2-х чисел неравенство доказать совсем нетрудно, достаточно лишь заметить и выделить полный квадрат. Почти ясно, что для любой степени двойки можно делить сумму её элементов на две и применять ранее доказанное неравенство для 2-х чисел несколько раз. Но как быть с остальными числами? 2️⃣ — Неравенство GM ≤ AM для всех чисел: ➡️ Примечательно, но здесь помогает стратегия доказывать неравенство для n-1 числа через неравенство для n чисел путём замены последней переменной на некоторый "удобный" элемент (зависящий от всех предыдущих чисел). Эту удобность можно обрести, например, потребовав от правой части принимать желаемый для нас вид: корень степени n-1 для n-1 положительного числа. 3️⃣ — Неравенство HM ≤ GM: ⏩ Непосредственно следует из GM ≤ AM после подстановки bᵢ = 1/aᵢ. 4️⃣ — Неравенство AM ≤ QM: ⏩ Не связано с предыдущими напрямую, но также доказуемо с помощью выписывания всех попарных произведений чисел из A и применения следствия из неравенства GM ≤ AM для n = 2. Главное: аккуратно посчитать количество слагаемых. 5️⃣ — minNum ≤ HM; QM ≤ maxNum: 🤗 Идейно самые понятные и простые неравенства из этой цепочки. 🌟 Важная особенность этих неравенств, которую мы ещё не затронули: все неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда все элементы из А равны между собой. В одну сторону доказывается просто (minNum = maxNum), в другую — нужно подумать, но путь очень похож на тот, который мы делали до этого. 😛 Более детально с доказательством можете ознакомиться в фотографиях поста, либо в PDF в комментариях к этому же посту! 😃 #алгебра@curious_maths2,38%
27 июл. 2025 г.🌵 Друзья, наверняка многие из вас задумываются над вопросом — а чем себя можно занять летом? Вы закончили школу, или сдали сессию в ВУЗе, но чувствуете, что теперь не знаете, чем себя занять? 💃 Как вам идея порешать задачи из математического анализа? ➡️ В канале Практикум || Интегралы и ряды проводится конкурс на решение задач на очень хорошие интегралы и ряды. Это — отличный шанс подумать над сложными задачами и улучшить свои хард-скиллы в матанализе! 🤑 В конкурсе предусмотрены призовые места с денежными призами: 🌟 1️⃣ место — 10 тыс. рублей ⭐️ 2️⃣ место — 5 тыс. рублей ⭐️ 3️⃣ место — 3 тыс. рублей ⭐️ 🩵🩵🩵 место — 1 тыс. рублей 📕 Всего предлагается решить 42 задачи. Каждый день в ~12:00 публикуется новая задача, но сдавать их можно в любое время и в любом порядке. ❗️Конец — 17 августа, но присоединиться к решению задач можно в любое время. Как вам будет удобно. Подробнее про конкурс вы можете почитать здесь и здесь — а я вам желаю приятного решения задач!2,37%
3 мар. 2025 г.🫰👀 Выражения на максимум/минимум 2-х чисел (Как додуматься до вывода формулы?) 📌Традиционно, чтобы найти max(a; b), нужно сравнить числа a, b и выбрать из них большее. Но оказывается, можно использовать выражения с модулями, которые как раз раскрываются по-разному в зависимости от взаимного положения значений a и b на числовой прямой (т.е. по сути выполняя это сравнение) 👍Эти знания скорее могут применяться для компьютерных технологий (скорее, всё-таки, нет), однако и в чистой математике им, разумеется, место тоже есть. Увы, но не зная этого факта, очень проблематично будет решить некоторые задачи с параметрами графическим методом. ➡️Хм, а можно ли обобщить этот результат не на 2, а на n произвольных чисел? Как думаете, что можно попробовать предпринять? #алгебра #теориячисел2,31%
10 апр. 2025 г.🔥⚡️ Как решать КУБИЧЕСКИЕ уравнения? Часть II: Тригонометрическая формула Виета (Вывод формулы) 📈 Продолжаем разбираться с кубическими уравнениями, как и полтора года назад, и сегодня мы разберёмся со всеми из них раз и навсегда. После прочтения этого поста, а также после прочтения поста про формулу Кардано, вы сможете решить ЛЮБОЕ кубическое уравнение с действительными коэффициентами! 🔘Как нам известно, формула Кардано шикарно применима для нахождения единственного действительного корня кубического уравнения. Но ведь не у всех кубических уравнений ровно 1 действительный корень, верно? Что делать в ситуациях, когда их больше? Интересно, что если у кубического многочлена есть единственный действительный корень, то он обязательно выражается через комбинацию квадратных и кубических корней. В случае 3-х корней, увы, такая ситуация неразрешима — все корни выражаются через композицию тригонометрических и обратных тригонометрических функций. ➡️ Смысл тригонометрической формулы Виета в том, что она позволяет избежать использования комплексных чисел, которые возникают в формуле Кардано, когда число действительных корней кубического уравнения равно 3. Это имеет смысл для практических расчётов, где к мнимости стараются особо не прибегать. При необходимости, полученные результаты в точной форме можно округлить до любого желаемого знака после запятой. ⚡️ Кстати, формула Кардано и тригонометрическая формула Виета — взаимоисключающие. Можно показать, что при возникновении конфликта в одной формуле, всё будет работать в другом соотношении, и наоборот. Отдельный интересный случай представляют собой кубические уравнения, имеющие 2 действительных корня. Попробуйте решить подобное уравнение двумя способами: с формулой Кардано и с формулой Виета. Какие интересные вещи можно заметить? Эту почву для размышлений и исследований я оставляю уже вам! #алгебра@curious_maths1,93%