GeoPorism

Докажите, что сумма радиусов красного и синего кругов равна радиусу желтого.

#geo_masala [16-05-2025] RMM 2025, P5 ABC - o'tkir burchakli uchburchak va AB<AC; H - ortomarkaz; O - tashqi-aylana markazi; (BOC) aylana AO t/ch ni ikkinchi bor E nuqtada kesadi; (BOC) aylana A markazli AO radiusli aylanani ikkinchi bor F nuqtada kesadi; Isbotlang: uchta aylana (BOC), (AHF) va AE diametrli aylanalar bitta nuqtada kesishadi. @geoporism

#geo_masala [15-05-2025] Al-Xorazmiy olimpiadasi 2025, P7 ABCD - siklik to'rtburchak; O - tashqi aylana markazi; AD va BC t/ch lar P nuqtada kesishadi (chizmadagidek); H(.) - CPD uchburchak ortomarkazi; H dan diagonallarga parallel chiziqlar o'tkazildi, chizmada yashil va ko'k ranglarda: HF||AC, HE||BD X nuqta BC da, Y nuqta AD da olindi, bunda YE tik BC, XF tik AD; Isbotlang: X, O, Y nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotadi. @geoporism

Amerikaga bunaqa qisqa muddat ichida qanday qilib tourist vizasini olish mumkin, to'g'risi shubham bor. Yana yosh bolalarga... Katta ehtimol bilan shu round ni o'zida pul qilish rejalashtirilgan. Misol uchun 1000 ta o'quvchi qatnashsa, 20K - markaz uchun yaxshi foyda; O'zi bekorga 3-sinfdan (ba'zilarida 1-sinfdan) boshlanmaydida, har bir sinfdan ja bo'lmasa 100 ta chiqsa... ------------------------------- Siz bunga qanday fikrdasiz bilmadim, lekin shaxsan manga: sodda odamlarni aldab pulini olib ketadiganlar yangiliklarda chiqib qoladi-ku, shulardan unchalik farq qilmaydigandek tuyuladi; yoki "info-lo'ttibozlar", yoki qandaydir piramidali latareyalarni sotib yuradiganlar... balkim, farqi ularda millionda, bu olimpiadalarda bir nechta mingda pul aylanadi, oxirida hech kimga jiddiy bir jabri sezilmaydi. *olimpiada tashkil qilishlariga qarshilik yo'q, turli qochirimlar bilan aldash nazarda tutilmoqda... qandaydir balandparvoz so'zlarni aralashtirmasdan, ularsiz ham o'zlari borini aytib o'tkazib qo'yaversa ham bo'ladiku Bu mavzuni shu yerda yopaman. Geometriyadan masalalarga qaytamiz.

Yuqoridagi olimpiadalarga Copernicus deganni ham qo'shib qo'yish mumkin! Saytini birorta joyidan "Columbia" degan so'zni topolmaysiz (Columbia University). Lekin sizga reklamani shundan boshlashadi! Aslida Columbia ni bunga umuman aloqasi yo'qqa o'xshaydi.…

https://t.me/IFO_Uzbekistan/45 Shaxsiy fikrlar: Ba'zi olimpiadalar haqida maslaxat so'rashadi. "Odam eshitmagan" olimpiadalarni aytib qolishadi. Agar olimpiadaga qiziqsangiz (yoki farzandingiz qiziqsa) quyidagi "path" dan yuring deb tushuntirsang, odatda…

#geo_masala [18-04-2025] ARMO 2025 10.8 (9.8) ABC uchburchak tomonlarida D_1, D_2, E_1, E_2, F_1, F_2 nuqtalar olingan (chizmadagidek joylashuvda), bunda AD_1=AD_2=BE_1=BE_2=CF_1=CF_2 Isbotlang: X_1Y_1Z_1 va X_2Y_2Z_2 uchburchaklarning perimetrlari teng.…

Buni aynan IFO uchun yozildi deb tushunmanglar. Yil davomida so'ralganlari ko'p, bu kabi olimpiadalar son mingta; Yaqinda ko'p so'ralgani aynan ushbu olimpiada bo'ldi (balkim, deadline ga oz qolgani uchun ko'pchilikda qatnashsammi yoki yo'qmi degan savol ko'paygandir). IFO ni tashkil qiladigan Rimdagi markazga ham norozilik deb qabul qilinmasin. Yoki Uzbdagi tashkilotchilarga ham. Ular biror-bir xato ish qilayapti deb bilmayman, ular uchun bu - oddiy biznes! Muammo qayerda bo'ladi: kimdir buni commercial, hech narsani hal qilmasligini, bundan ko'ra bir oylik ($20 ga) kurs/kitob yaxshiligini tushunmaydi, lekin butun bir maktabni qatnashishga majburlaydi, kamida dav'at qiladi! Maktab pul to'lamaydi, o'qituvchiga tushadi, o'qituvchi o'quvchilarni qatnashishga chorlaydi... oxiri qanaqadir tashkilotga pul yig'ib berishadida. (Singapore yoki Japon nomlari bilan bog'lanuvchi olimpiadalarda ham ko'p kuzatilgan edi; maktab-maktab bo'lib pul to'lab qatnashishadi! balkim bu - ma'lum bir hududdagi ahvoldir, boshqa viloyatlarni bilmayman). Qo'shimcha: bittasi SEAMO degani ekan; yana bittasi Sakura ekan. Xullas, qanaqa bo'lsa ham, barchasi "purely commercial". Hatto: oldingi yilgi savollarni ham sizga berishmaydi (sababi esa o'sha-o'sha)! Birortasini saytiga kiringda oldingi yilgi savollarni topib ko'ring. Good luck! "transparency" - yaxshi indikator!

[qo'shimcha] Nimaga $20? "Multiple choice questions" gaya? Tekshirish shu darajada qiyinmi, komputer tekshirib tashlaydiku buni... IFO saytida aslida qanchaligini bilib ham bo'lmaydi, lekin fee bor degan. Demak, har bir davlatda o'zlari turlicha belgilaydi, qanchasi IFO ga ketadi, qanchasi tashkilotchida qoladi, endi bunisi qorong'u. Lekin yozma ish emas, demak tekshirishga aytarli pul ketmaydi.

https://t.me/IFO_Uzbekistan/45 Shaxsiy fikrlar: Ba'zi olimpiadalar haqida maslaxat so'rashadi. "Odam eshitmagan" olimpiadalarni aytib qolishadi. Agar olimpiadaga qiziqsangiz (yoki farzandingiz qiziqsa) quyidagi "path" dan yuring deb tushuntirsang, odatda "tushunib tushunmaganlikka" olgandek bo'ladi. Asosiy argument, bu aytayotgan olimpiadangiz - "purely commercial", ya'ni, pul to'laysan - qatnashasan; xatto boradigan bo'lsang - ichadigan suvingga ham pulni to'laysan, ular ichadiganiga ham... shu javobga o'quvchi (asosan, ota-onasi) nimagadir tushunmaydi, yoki tushunishni xohlamaydi. Tabiiy holdek qaraydi. Eng yomoni - bunaqa olimpiadalarda kim savol tuzushini ham bilmaysan (birorta o'quv markazdan tashqari; orqasida birorta mashhurroq matematika shaxs yo'q)... faqat, yutsang uyoqqa borasan, buyooqa borasan (+ o'zingni pulingga). ----------------------- IFO degan olimpiada haqida ChatGPT dan xulosaviy javoblar (rasmda). Savol: "Tell me about the following "garbage" olympiad: ...." Javobidan asosiy chizgilar: - commercial (ya'ni, foyda uchun yuradigan), - private (xususiy tashkilot; ko'pchilik holatda xalqaro mavqei ham ... ) - matematikaga qiziqishni boshlagan yosh o'quvchilar uchun (olimpiadachi emas! matematikaga qiziqishi borlar); - practice va motivatsiya uchun yaxshi (unda ham matematik olimpiadalardan "qisilgan" davlatlar uchun) - for fun (...) - agar xalqaro tan olinishni, va jiddiyroq matematika bilan shug'ullanishni xohlasang, quyidagilarga fokus qarat: IMO, APMO, RMM, BMO, va hokazo. Bular sen aytayotgandan - far superior; - entry level (kirishib olish), va "not for serious mathematical merit" (...) ------------------------ Shunday bo'lsada, ChatGPT "garbage" degan so'zimga qo'shilmadi (katta ehtimol bilan etika yuzasidan) va yuqoridagilarga rozi bo'lsang qatnashaver deyapti. Qisqasi: Agar yuqoridagilar maqsad bo'lsa, bemalol $20 to'lab, "multiple choice questions" deb ataluvchi olimpiadada qatnashaverish mumkin. Afsuski, bunaqa olimpiadalar ko'p va aslida maqsadi boshqa bo'lib aldanadiganlar ham ko'p: Singapore ning o'zida qatnashilmaydigan, "bir tiyinga qimmat" (shaxsiydan) bo'lgan olimpiadaga kelib-ketib qatnashadiganlarni-ku, tushunolmayman... (nahotki internetdan izlab, ozgina titkilash qiyin ish!)

[davomi] Mixtilineardagi bitta kichik faktdan foydalanish qoldi: AT_a va AD' lar <A ga nisbatan isogonal qo'shmadir, ya'ni < BAT_a = <CAD'. Bundan bissektrisaga nisbatan AB va AC lar, AN va AD' lar simmetrik; demak inversiya burchakka nisbatan simmetrik ko'chirganda saqlanishi kerak; AP va AQ lar ham bissektrisaga nisbatan simmetrik. Masala isbotlandi. ---------------------- Oxirgi qadamni aniqroq ko'rish uchun quyidagicha qilish ham mumkin. Birorta t/chda ma'lum bir nuqtalarni bir-biriga akslantiruvchi inversiya berilsa, va ushbu to'g'ri chizidagi biror nuqtagan nisbatan barchasini simmetrik ko'chirib chiqsak, inversiya boshqa bir inversiyaga o'tadi (markazini ham simmetrik ko'chirib qo'yaveramiz, masofalar o'zgarmaydi). A dan chiquvchi pensillarni BC bilan emas, ixtiyoriy t/ch bilan kesish ham mumkin edi. Masalan, <A ning bissektrisasiga perpendikular bo'lgan ixtiyoriy l (\ell) t/ch chiziqni oling va kesishtiring; Ikkita kesmaning o'rtalari ustma-ust tushadi, demak inversiya markazi cheksizlikda -- uchinchi kesmaning o'rtasi ham ustma-ust tushishi kerak; bu teng yonlilikni beradi, boshqa aytganda biz izlagan burchak tenglikni beradi.

Serbia 2017, P6 ning chizmasi <PAB = <QAC burchak tengligini isbotlash kerak. -------------------- Chizmadagi berilgan nuqtalarning barchasi ham bizga kerak emas. Yuqoridagi kabi DDIT bilan yondashamiz. Avvalo, Monge-D'Alembertga ko'ra Z, A, T_a nuqtalar bir t/ch da yotadi, bu yerda T_a -- mixtilinear urinish nuqtasi; Chizmadagi D(.) - ABC da <A bissektrisasi asosi; bizga ushbu nuqta kerak emas. Biz D deganda ichki aylananing BC ga urinish nuqtasi, D' deganda tashqi-ichki ning urinish nuqtasini tushunamiz. Tashqi-ichki aylana ZPD'Q ning barcha tomonlariga urinadi; A nuqtaga nisbatan DDIT ni qo'llasak, quyidagilarni bir-biriga akslantiruvchi involutsiya mavjud bo'lib qoladi: (AP,AQ) (AZ,AD') (AB,AC) - A(.) dan tashqi-ichkiga urinamalar; Yana BC t/ch bilan kessak, BC t/ch da quyidagilarni bir-biriga akslantiruvchi inversiya mavjudligi keladi: (P,Q) (N,D') (B,C) bu yerda, N(.) orqali AZ ning (ya'ni, AT_a mixtilinear chevian ning) BC tomonni kesish nuqtasi olingan.

#geo_masala [09-05-2025] Yana bitta o'xshash masala: ABC - ixtiyoriy uchburchak; BC to'g'ri chiziqda P va Q nuqtalar tanlangan, bunda BP=CQ; P nuqtadan ichki aylanaga PX urinma, Q nuqtadan tashqi-ichki aylanaga QY urinma o'tkazilgan; AX va AY to'g'ri chiziqlar…

Shu o'rinda DDIT dan ham keltirib chiqarsak: DDIT ni ABD'C uchun qo'llasak, bunda tomonlar yotgan to'g'ri chiziqlarga urinadigan aylana bor - tashqi-ichki aylana; Tekislikda berilgan X nuqtadan ushbu aylanaga urinmalar o'tkazilgan. Demak, X nuqtadagi pensillar to'plamini (proyektiv t/ch) qarasak, quyidagilarni bir-biriga akslantiruvchi involutsiya bor: (XP,XQ) (XB,XC) (XA,XD') Agar BC t/ch bilan kesadigan bo'lsak, quyidagilarni bir-biriga akslantiruvchi involutsiya mavjud bo'lib qoladi: (P,Q) (B,C) (D,D') BC dagi involutsiya (o'zini-o'ziga akslantiruvchi) = inversiya deganidir. Demak, ushbu nuqtalarni bir-biriga o'tkazuvchi inversiya bor. Ikkita juftlik yagona inversiya aniqlaydi, masalan (B,C) va (D,D') larni qarasak, ushbu diametrli aylanalar uchun radikal o'qning BC ni kesish nuqtasini qarashimiz kerak. Aylanalar konsentrik, demak radikal o'q BC ni cheksizlikda kesib o'tadi, bu (PQ) diametrli aylana ham ushbu aylanalar bilan konsentrik bo'lishi kerakligini beradi. Demak, P va Q nuqtalar BC ning o'rtasiga nisbatan simmetrik nuqtalardir.

#geo_masala [08-05-2025] Quyidagi kichik lemmachani qaraylik: ABC - ixtiyoriy uchburchak; D - ichki aylanasining BC tomonga urinish nuqtasi; D' - tashqi-ichki aylanasining BC tomonga urinish nuqtasi; AD da ixtiyoriy X nuqta olaylik; X nuqtadan tashqi-ichki…

#geo_masala [11-05-2025] Yuqoridagilarga nisbatan osonroq masalani qaraymiz. Folklor tipdan (IMO 2012/P1 va shu yilgi Poland 2025/2-tur masalasi): ABC uchburchakda (J) -- tashqi-ichki aylanasi chizilgan; D, E, F urinish nuqtalari bilan berilgan (chizmada); BJ va CJ larni DE va DF lar bilan kesishtirish orqali X, Y, Z, T nuqtalar ham aniqlandi (chizmada); Isbotlang: (i) XYZT - siklik; (ii) (XYZT) ning markazi AD ning o'rtasi bo'ladi. @geoporism

#geo_masala [09-05-2025] Yana bitta o'xshash masala: ABC - ixtiyoriy uchburchak; BC to'g'ri chiziqda P va Q nuqtalar tanlangan, bunda BP=CQ; P nuqtadan ichki aylanaga PX urinma, Q nuqtadan tashqi-ichki aylanaga QY urinma o'tkazilgan; AX va AY to'g'ri chiziqlar BC ni M va N nuqtalarda kesib o'tadi; Isbotlang: BM = CN @geoporism

ushbu toifadagi masalarning haqiqiy durdonasi, "background" ni chinakamiga charxlaydigan, afsonaviy masala -- Serbia NO 2017, P6: https://geoporism.blogspot.com/2023/05/harmonik-nuqtalar-va-tanish-config.html Ushbu linkdagi yechim harmonik nuqtalarga asosiy urg'uni qaratadi. Biz xohlagan lemma yoki DDIT ga emas. Shunday bo'lsada, yechimdan ancha narsani o'rganish mumkin! Yechimning asosiy motivi: qaysidir to'rtta nuqtani harmonik ekanligini keltirish; shuning ketidan barchasi qurilgan 🧗. Yuqoridagi lemmani yoki uning isbotida keladigan muhim xossani ham qo'llab ko'rishingiz mumkin (linkdagidan soddaroq yechim topasiz)...

#geo_masala [08-05-2025] Sharygin olimpiadasi 2017 da tushgan bitta masalani umumlashtiramiz: ABC - ixtiyoriy uchburchak; A uchidan chiquvchi balandligida ixtiyoriy N nuqta olindi; (I_a) - tashqi-ichki aylanasi; (AN) va (I_a) aylanalarning umumiy ichki urinmalari BC ni P va Q nuqtalarda kesib o'tsin; Isbotlang: BP = CQ @geoporism --------------------------- (AN) deganda AN diametrli aylanani tushunamiz. Sharygin olimpiadasida N=H ortomarkaz holi tushgan edi.