Математическая эссенция

описание

Рассказываем о различных математических сюжетах, уделяя особое внимание наглядности и простоте изложения. В математических методах стремимся выделять основную идею, сущность, квинтэссенцию, аромат — essence. Для связи пишите @math_essence_bot.

← к каналу @math_essence

3 067

подписчиков

Охват к подписчикам

28,5%

ERR

Реакции к просмотрам

1,79%

448 на 28 постов

Пересылки к просмотрам

1,22%

306

Постов в день

0,6

всего 30

Где отзываются чаще

доля реакций к просмотрам

5 дек.без подписи4,59%
20 июл.Одна формула против гипотезы якобиана Сегодня все обсуждают новость из математики: найден контрпример к гипотезе якобиана. Это не самая известная математическая проблема для широкой публики. Но внутри математики это очень заметная вещь: старая, простая по формулировке, трудная по существу и с длинной историей неверных доказательств. Обычно её связывают с работой Отто-Генриха Келлера 1939 года. Формулировка при этом удивительно короткая. Берём пространство и задаём замену координат многочленами. Например, в трёхмерном случае точка (x; y; z) переходит в новую точку, у которой каждая координата — многочлен от x, y, z. У такой замены можно посчитать якобиан — определитель матрицы производных. В геометрическом смысле он показывает, что происходит с маленьким кусочком объёма. Если якобиан равен нулю, кусочек мог схлопнуться: объём — в плоскость, плоскость — в линию, разные направления — в одно. А гипотеза якобиана рассматривала противоположный случай: якобиан всюду равен ненулевой константе. То есть в малом всё хорошо. Около каждой точки отображение обратимо. Никакого локального схлопывания нет. Гипотеза утверждала, что для многочленов этого достаточно: если локально всё хорошо, то и глобально всё хорошо. У отображения должна быть обратная функция, причём тоже полиномиальная. И вот сам контрпример. Рассматривается отображение ℂ³ → ℂ³, то есть отображение трёхмерного пространства над комплексными числами в себя. Впрочем, все коэффициенты в этой формуле вещественные, и три склеивающиеся точки тоже вещественные. Поэтому проверка выглядит вполне «реальной»: три обычные точки пространства переходят в одну. Формула такая: F((x; y; z)) = ( (1 + xy)³ z + y²(1 + xy)(4 + 3xy); y + 3x(1 + xy)² z + 3xy²(4 + 3xy); 2x − 3x²y − x³z ). Выглядит неприятно, но проверка устроена просто. Первое: det JF = −2. Значит, условие гипотезы выполнено: якобиан всюду постоянный и ненулевой. Второе: три разные точки (0; 0; −1/4), (1; −3/2; 13/2), (−1; 3/2; 13/2) переходят в одну и ту же точку: (−1/4; 0; 0). А если разные точки переходят в одну, обратной функции быть не может. Вообще никакой — не только полиномиальной. Это и ломает гипотезу. Она говорила: локально не схлопывает — значит, глобально обратимо. Пример говорит: локально не схлопывает, но далёкие точки всё равно могут склеиться. Кажется, это самый понятный смысл новости. Якобиан смотрит на отображение под микроскопом. Он видит, что в каждой малой окрестности всё устроено честно. Но он не видит всей карты сразу. Можно нарисовать карту так, что каждый маленький район выглядит нормально, а два далёких города напечатаны в одной точке. Локальная проверка этого не поймает. Гипотеза якобиана была надеждой, что многочлены слишком жёсткие для такого фокуса. Оказалось, что в размерности 3 не слишком. А вместе с ней и во всех больших размерностях: можно просто добавить лишние координаты, которые ничего не меняют. Двумерный случай при этом остаётся отдельной задачей. Новость стала шумной благодаря участию ИИ и тому, что формула будто бы была получена во время финала чемпионата мира. Но интереснее здесь другое: большая гипотеза почти 90 лет упиралась в три многочлена, один якобиан и три точки, которые можно просто подставить.3,97%
17 июл.Пчёлы, греки и ноль Попались рядом два научно-популярных текста. Один — о том, что пчёлы понимают ноль. Другой — о том, что у древних греков нуля не было. Если поставить эти две фразы рядом, получится почти анекдот: пчёлы справились с понятием, до которого не дошли Евклид и Архимед. В опытах пчёлам показывали изображения с разным числом фигур. Иногда фигур не было совсем. После обучения правилу «выбирай меньшее количество» пчёлы чаще выбирали пустое изображение, когда оно сравнивалось с изображением, на котором была одна фигура. На одном листе множество отмеченных фигур состоит из одного элемента: |{●}| = 1. На другом листе отмеченных фигур нет: |∅| = 0. И нулевая численность оказывается меньше единичной: |∅| < |{●}|. В этом смысле пчёлы, похоже, работают с нулевой численностью: пустое изображение занимает место перед изображением с одним предметом. С древними греками история другая. У Евклида число — это множество, составленное из единиц. При таком взгляде нулю трудно найти место среди чисел: он не составлен из единиц. Конечно, древний грек понимал, что в сосуде может не быть воды, а на доске — точек. Но одно дело — отсутствие предметов, и другое — число, участвующее в арифметике наравне с 2, 3 или 10. В современной записи удобно сказать: у пустого множества есть количество элементов, и это количество равно нулю. Не пустое множество «равно нулю», а его мощность равна нулю: |∅| = 0. Есть и другой ноль — не как число предметов, а как знак пустого места. В записи 105 ноль не означает, что «ничего нет» вообще. Такой ноль нужен для того, чтобы удержать разряд. Это ноль-сторож: он стоит на пустом месте и не даёт сотням сдвинуться к десяткам. В непозиционной записи такая роль не возникает в явном виде. Поэтому римское CV и наше 105 устроены принципиально по-разному: в современном числе значение цифры зависит от места, а пустое место тоже должно быть как-то обозначено. Так обычное «ничего» становится числом, а пустой разряд — видимым местом в записи числа. Но на этом история нуля не заканчивается. В анализе ноль превращается в точку, около которой можно различать то, что в самой точке уже сливается. При x → 0 величины x, x², sin x и 1−cos x стремятся к нулю. В самом нуле они все обращаются в 0. Но подходят к нему по-разному: x² исчезает быстрее, чем x, sin x — примерно с той же скоростью, что x, а 1−cosx — примерно как x²/2. Поэтому 0/0 в анализе — не ответ, а предупреждающий знак: две величины одновременно исчезают, и нужно сравнить скорости их исчезновения. sinx / x → 1, а x²/x → 0. Грубая подстановка даёт один и тот же символ 0/0, но предельное поведение разное. Ещё один поворот появляется в геометрии. Нулевой уровень функции — это уже не «ничего», а фигура. Уравнение x² + y² − 1 = 0 вырезает окружность, xy = 0 — две координатные оси, y² − x³ = 0 — полукубическую параболу с остриём в начале координат. Ноль здесь не уничтожает объект, а служит условием отбора точек: из функции получается геометрическая фигура. Ещё более неожиданный ноль появляется в теории меры. Одна точка на прямой имеет длину 0. Две точки тоже имеют длину 0. Тысяча точек — всё ещё длина 0. Более того, множество всех рациональных чисел на отрезке [0; 1] имеет нулевую лебегову меру. Если говорить менее формально — нулевую длину. Рациональных чисел на отрезке бесконечно много. Они всюду плотны: между любыми двумя числами найдётся рациональное. Но с точки зрения длины они всё равно не занимают места. Отсюда же возникает странный вероятностный эффект: если случайно выбрать число из отрезка [0; 1], вероятность получить заранее заданное число равна нулю. Но результатом выбора всё равно будет какое-то конкретное число. Сначала это количество элементов пустого множества. Потом число. Потом знак пустого разряда в позиционной записи. Потом точка, к которой можно приближаться с разной скоростью. Потом нулевой уровень функции, на котором уравнение вырезает геометрию. А потом — размер множества, которое вовсе не обязано быть пустым. Дальше ноль уходит уже в совсем абстрактную сторону: появляются нулевые объекты, нулевые отображения, ядра и коядра. Но это уже отдельная история.3,60%
18 июл.Ноль, который стирает В прошлый раз ноль прошёл несколько жизней. Но есть ещё один ноль — ноль как место, куда исчезают различия. Представим себе проектор. Есть трёхмерное пространство. В нём живут точки с координатами (x; y; z). Теперь включаем проектор и смотрим только на тень на плоскости. Точка (x; y; z) переходит в (x; y). Третья координата пропала. Так работает линейное отображение f: ℝ³ → ℝ², f((x; y; z)) = (x; y). Точки (1; 2; 0), (1; 2; 5), (1; 2; −100) разные в пространстве, но дают одну и ту же тень: (1; 2). Проектор не видит высоту. Всё, что происходит вдоль вертикальной оси, для него невидимо. Как математически описать эту невидимую часть? Нужно спросить: какие точки превращаются в нулевой вектор? f((x; y; z)) = (0; 0). Отсюда x = 0, y = 0, а z может быть любым. Значит, в ноль схлопывается вся ось Oz: (0; 0; z). Это и есть ядро отображения. В этом примере ядро показывает не просто точки, которые упали в ноль. Оно показывает направление, которое проектор не видит. Если две точки отличаются только высотой, их тени совпадают. Если ядро большое, отображение много забывает. Если ядро состоит только из нулевого вектора, отображение ничего не склеивает: разные точки не падают в одну и ту же тень. Но у отображения есть и другая возможная беда. Оно может не стирать, а не дотягиваться. Рассмотрим другое отображение: g: ℝ² → ℝ³, g((x; y)) = (x; y; 0). Это уже не тень, а вложение плоскости в пространство. Мы кладём лист бумаги в трёхмерный мир на высоте z = 0. Здесь ничего не стирается: разные точки плоскости остаются разными. Ядро нулевое. Но пространство ℝ³ больше, чем этот лист. В нём есть точки, до которых мы никогда не попадём: (0; 0; 1), (5; 7; 3), (−1; 4; 10). Вся вертикальная высота остаётся вне картинки. Для этого тоже есть специальное слово — коядро. Ядро отвечает на вопрос: что отображение стерло? Коядро отвечает на другой вопрос: куда отображение не дотянулось? Для линейного отображения f: V → W коядро — это факторпространство W / im f. То есть мы берём всё пространство W и считаем все направления, уже попавшие в образ f, нулевыми. После такого «вычитания образа» остаётся только недостигнутая часть. У проекции ℝ³ → ℝ² коядро нулевое: вся плоскость ℝ² покрыта тенями. У вложения ℝ² → ℝ³ коядро одномерное: остаётся вертикальное направление, которого не было на листе. Так у отображения появляются две стороны: ядро — его забывчивость; коядро — его недосягаемость. А теперь можно сделать ещё один шаг. В категории векторных пространств есть нулевое пространство. В нём всего один вектор: 0. Оно похоже на математическую сливную воронку. Из любого пространства в него есть ровно одно линейное отображение: всё отправить в ноль. И из него в любое пространство тоже есть ровно одно линейное отображение: единственный вектор 0 обязан перейти в нулевой вектор этого пространства. Через эту воронку проходит нулевое отображение из V в W: V → 0 → W. Сначала всё пространство V сжимается в единственную точку. Потом эта точка попадает в ноль пространства W. Так получается отображение, которое всё стирает. В линейной алгебре и теории категорий ноль — это уже не пустота, а механизм стирания: через него видно, что отображение уничтожило, куда оно не смогло попасть и какие различия для него перестали существовать. Ноль становится не отсутствием предмета, а следом исчезнувшей информации.3,54%
22 июл.Цепи Маркова в задаче из первой части ЕГЭ Бактерия каждый час либо делится на две точно такие же бактерии с вероятностью 5/7, либо погибает с вероятностью 2/7. В начале в пробирке была одна бактерия. Какова вероятность того, что через некоторое время в пробирке не останется ни одной бактерии? На вид это обычная задача на вероятность. Но в ней есть неприятная для школьного экзамена особенность: процесс может продолжаться сколь угодно долго. Нельзя просто нарисовать дерево на два-три шага и честно перебрать все варианты. Попробуем всё-таки решить. Пусть P — вероятность того, что потомство одной бактерии в конце концов исчезнет. После первого часа есть два варианта. Первый: бактерия погибла. Вероятность этого равна q=2/7. Тогда всё уже закончилось. Второй: бактерия разделилась на две. Вероятность этого равна p=5/7. Теперь нужно, чтобы исчезло потомство обеих бактерий. А каждая из них начинает такую же историю, как исходная бактерия. Поэтому вероятность исчезновения двух независимых «семейств» равна P². Получаем уравнение P=q+pP². Отсюда pP²−P+q=0. Так как p+q=1, это уравнение можно записать так: (P−1)(P−q/p)=0. Значит, P=1 или P=q/p. В нашей задаче q/p=(2/7)/(5/7)=2/5. Ответ: 2/5. Почему не 1? Формально корень P=1 тоже появился в уравнении. Но он соответствует другой ситуации: когда размножение не сильнее гибели, популяция почти наверняка когда-нибудь вымрет. Если же p>q, то у процесса есть шанс «убежать в бесконечность»: бактерий становится всё больше, и полное вымирание уже не гарантировано. У нас p = 5/7 > 2/7 = q, поэтому вероятность вымирания равна не 1, а q/p=2/5. Та же самая задача известна в более наглядной формулировке. Пьяница стоит в одном шаге от края обрыва. Каждый раз он делает случайный шаг: к обрыву с вероятностью q или от обрыва с вероятностью p=1−q. Какова вероятность того, что он когда-нибудь упадёт? Если он сразу делает шаг к обрыву, то падает. Это даёт вероятность q. Если он делает шаг от обрыва, то оказывается уже в двух шагах от края. Чтобы упасть, ему сначала нужно когда-нибудь вернуться в один шаг от края, а затем уже из этого положения упасть. Получается та же структура, что и в задаче про бактерии: P=q+pP². Можно посмотреть и иначе: считать вероятности падения ровно на 1-м, 3-м, 5-м, 7-м шаге и так далее. На первом шаге вероятность равна q. На третьем шаге путь только один: 1 → 2 → 1 → 0, поэтому вероятность равна q²p. На пятом шаге возможны уже два пути: 1 → 2 → 3 → 2 → 1 → 0, 1 → 2 → 1 → 2 → 1 → 0. Поэтому вероятность равна 2q³p². Дальше появляются коэффициенты 1, 1, 2, 5, 14, 42, ... Это числа Каталана. Они считают пути, которые не пересекли границу раньше времени. То есть пьяница должен впервые упасть в обрыв именно на последнем шаге, а не раньше. Так в задаче из первой части ЕГЭ неожиданно появляются сразу несколько больших тем: случайные блуждания, пути Дика, числа Каталана, цепи Маркова. Цепь Маркова — это случайный процесс, в котором будущее зависит от настоящего состояния, но не зависит от всей предыдущей истории. Не важно, как именно пьяница оказался в одном шаге от края. Важно только то, что он сейчас находится в одном шаге. Дальше процесс начинается как бы заново. То же самое с бактерией. Если после деления появились две бактерии, то каждая из них начинает такую же независимую историю, как исходная. Именно это «забывание прошлого» позволяет написать короткое уравнение вместо бесконечного дерева вариантов. На уровне ЕГЭ эта задача, конечно, выглядит странно. Для первой части она слишком нетипична: ответ простой, но честное обоснование уводит далеко за пределы стандартных школьных приёмов. Но как математический сюжет она замечательна. Один случайный шаг сам по себе почти ничего не значит. Но если шаги повторяются снова и снова, возникает целая траектория. И тогда нас интересует уже не только то, что случится на следующем шаге, а судьба всего процесса: вымрет популяция или нет (упадёт ли пьяница, достигнет ли случайное движение границы).3,12%
6 авг.Урна Пойи В урне лежат 1 белый и 1 чёрный шар. Повторяем один и тот же опыт: достаём случайный шар; возвращаем его обратно; добавляем ещё один шар того же цвета. Если достали белый, белых стало на один больше. Если достали чёрный, чёрных стало на один больше. На первый взгляд модель полностью симметрична. Поэтому хочется ожидать, что доля белых шаров со временем должна стремиться к 1/2. Но это неверно. Урна Пойи устроена иначе: ранняя случайность не сглаживается, а закрепляется. Посмотрим на точный расчёт. Пусть сделано n добавлений. Тогда всего в урне n+2 шара. Пусть за это время было добавлено k белых шаров. Тогда белых шаров стало k+1, а чёрных — n−k+1. Оказывается, для любого k = 0, 1, ..., n P(добавлено ровно k белых)=1/(n+1). То есть после n шагов все варианты 0, 1, 2, ..., n для числа добавленных белых шаров равновероятны. Это можно проверить индукцией. После n шагов пусть каждое значение k имеет вероятность 1/(n+1). После следующего шага получить k белых добавлений можно двумя способами: уже было k, и достали чёрный шар; или было k−1, и достали белый шар. В первом случае вероятность достать чёрный равна (n−k+1)/(n+2). Во втором случае вероятность достать белый равна k/(n+2). Поэтому Pₙ₊₁(k) = 1/(n+1)·(n−k+1)/(n+2) + 1/(n+1)·k/(n+2). Складываем: Pₙ₊₁(k) = 1/(n+1)·(n+1)/(n+2) = 1/(n+2). Равномерность сохраняется. Значит, после большого числа шагов доля белых шаров не обязана быть близка к ½ . Более того, в пределе она стремится к случайному числу на отрезке [0; 1], и при начальной урне 1 белый, 1 чёрный этот предел распределён равномерно. Например, вероятность того, что предельная доля белых окажется между 0,4 и 0,6, равна 0,2. Вероятность оказаться между 0 и 0,2 тоже равна 0,2. И вероятность оказаться между 0,8 и 1 тоже равна 0,2. Симметрия здесь означает не сходимость к половине. Она означает, что заранее ни один итоговый уровень не имеет преимущества. Это модель с положительной обратной связью: чем больше белых шаров уже накопилось, тем выше шанс снова достать белый; чем больше чёрных, тем выше шанс снова достать чёрный. Поэтому случайное раннее преимущество может закрепиться. Так появляется «случайный лидер». Два варианта стартуют почти одинаково. Первый небольшой перевес может возникнуть случайно. Но дальше сам механизм выбора начинает этот перевес поддерживать. Модель наглядно объясняет процессы «самоусиления», когда начальный успех увеличивает шансы на последующий успех — принцип «богатые богатеют». Похожая логика есть в моделях популярности: статью чаще цитируют, если её уже часто цитировали; товар чаще выбирают, если его уже многие выбрали; страницу чаще открывают, если она уже поднялась выше в выдаче; участника сети чаще замечают, если у него уже много связей. Конечно, реальные системы сложнее урны Пойи. Но основной механизм тот же: вероятность нового выбора зависит от уже накопленного результата. В обычном усреднении случайные колебания со временем уменьшаются. А в урне Пойи они могут стать частью будущих правил игры.3,10%
8 авг.Случайный человек или случайный друг Представим очень простую социальную сеть. Есть один человек, который дружит со всеми остальными 100 людьми. А каждый из этих 100 людей дружит только с ним. Получается сеть-звезда. У центрального человека 100 друзей. У каждого из остальных — по 1 другу. Сколько друзей у случайного человека в такой сети? Среднее равно (100+100·1)/101 ≈ 1,98. То есть случайный человек имеет в среднем около 2 друзей. Теперь выберем не случайного человека, а случайного друга. Иначе говоря, выберем случайную дружескую связь и посмотрим на один из её концов. Тогда центральный человек попадётся очень часто: к нему ведут 100 связей. Каждый из остальных попадётся только по одной связи. Среднее число друзей в такой выборке равно (100²+100·1²)/(100+100)=50,5. Получается резкий разрыв: случайный человек имеет в среднем около 2 друзей; случайный друг имеет в среднем 50,5 друзей. Такой вот парадокс дружбы. Он возникает не из-за психологии, а из-за способа выбора. Если выбирать людей напрямую, каждый человек имеет одинаковый вес. Если выбирать людей через дружеские связи, человек с k друзьями попадает в выборку в k раз чаще. Поэтому более связные люди автоматически пере представлены. В общем виде это записывается так. Пусть D — число друзей у случайного человека. Среднее число друзей у случайного человека равно E(D). А среднее число друзей у случайного друга равно E(D²)/E(D). Квадрат появляется потому, что человек с k друзьями имеет значение k и одновременно попадает в выборку в k раз чаще. Так как E(D²) ≥ E(D)², получаем E(D²)/E(D) ≥ E(D). Если число друзей не у всех одинаковое, неравенство строгое. Поэтому средний друг имеет больше друзей, чем средний человек. Популярная фраза «у большинства людей их друзья популярнее их самих» — более сильная версия этого эффекта. Она часто верна в реальных сетях, но универсальная математическая формулировка именно такая: средний друг популярнее среднего человека. Та же ошибка возникает в любой выборке, где мы выбираем объект не напрямую, а через его связи или появления. Случайный ученик чаще окажется в большом классе. Случайный пассажир чаще окажется в загруженном автобусе. Случайная ссылка чаще приведёт на популярную страницу. Это выборка, смещённая размером. Чем больше у объекта связей, мест или появлений, тем чаще он попадает в наблюдение.2,89%
23 июл.Почему исчезают фамилии У задачи про бактерию есть близкий исторический родственник — задача о вымирании фамилий. Пусть фамилия передаётся только по мужской линии: от отца к сыну. Тогда судьба фамилии зависит не от общего числа детей в семье, а от числа сыновей, которые доживут до взрослого возраста и смогут передать фамилию дальше. Если у мужчины нет таких сыновей, эта ветвь фамилии обрывается. Если один сын — линия продолжается одной ветвью. Если два или больше — фамилия разветвляется. Получается ветвящийся процесс: каждый человек в текущем поколении даёт случайное число продолжателей в следующем. В задаче про бактерию была совсем простая схема: 0 потомков или 2 потомка. Для фамилий такая схема слишком груба. У мужчины может быть 0, 1, 2, 3, ... сыновей. Поэтому вместо двух вероятностей нужно задать целое распределение. Уотсон и Гальтон в статье о вымирании фамилий рассматривали, например, такую модель: число взрослых сыновей распределено как Bin(5, ¼). То есть как будто у каждого мужчины есть 5 независимых «попыток» получить сына-продолжателя, и каждая попытка успешна с вероятностью ¼. Число ¼ здесь — параметр модельного примера. Это не точная статистика по конкретной стране, а удобная модель. Но она хорошо показывает сам эффект. По биномиальной формуле получаются вероятности: 0 сыновей: (¾)⁵ ≈ 0,237; 1 сын: 5·¼·(¾)⁴ ≈ 0,396; 2 сына: 10·(¼)²·(¾)³ ≈ 0,264; 3 сына: 10·(¼)³·(¾)² ≈ 0,088; 4 сына: 5·(¼)⁴· ¾ ≈0,015; 5 сыновей: (¼)⁵ ≈ 0,001. Среднее число сыновей, продолжающих фамилию, равно 5·¼=1,25. То есть в среднем на одного мужчину приходится больше одного продолжателя фамилии. Кажется, что при таком среднем фамилия должна уверенно сохраняться. Но это не так. Пусть P — вероятность того, что фамилия когда-нибудь исчезнет. Если у первого мужчины 0 сыновей, фамилия исчезает сразу. Это даёт 0,237. Если у него 1 сын, должна исчезнуть одна ветвь. Вероятность этого P. Если 2 сына, должны исчезнуть обе независимые ветви. Вероятность P². Если 3 сына — P³. И так далее. Поэтому P должно удовлетворять уравнению P=0,237+0,396P+0,264P²+0,088P³+0,015P⁴+0,001P⁵. Это тот же ход, что в задаче про бактерию, только вместо короткого уравнения P=q+pP² получается более длинное. У этого уравнения всегда есть корень P=1: полное вымирание формально возможно. Но когда среднее число продолжателей больше 1, появляется ещё один корень между 0 и 1. Именно он и даёт настоящую вероятность вымирания. В этой модели меньший корень примерно равен P ≈ 0,55. То есть даже при среднем числе сыновей 1,25 вероятность окончательного исчезновения фамилии — около 55%. Это главный эффект ветвящихся процессов. Среднее больше 1 означает не гарантию выживания, а только положительный шанс выжить. Одна неудача в раннем поколении может оборвать всё дерево. Если в какой-то момент продолжателей стало 0, процесс попал в ноль, а из нуля уже нельзя выйти. Поэтому в большой популяции могут одновременно происходить две вещи: население по мужским линиям в среднем растёт, а большинство отдельных фамилий всё равно исчезает. Выжившие фамилии потом могут стать очень многочисленными. Но это не обязательно значит, что они были «сильнее». Часто это значит, что их ветви просто не оборвались в первых поколениях. В обычных задачах на среднее мы смотрим на массу. В ветвящемся процессе важен другой вопрос: что станет с одной конкретной линией? Среднее говорит: процесс в целом способен расти. Вероятность вымирания говорит: отдельная линия всё равно может исчезнуть навсегда. Так что задача про бактерию из ЕГЭ не такая искусственная, как кажется. Она является маленькой моделью фамилий, родов, популяций, цепных реакций, эпидемий — всего, что не просто продолжается, а ветвится.2,81%
13 авг.Встречный курс Пусть в системе отсчёта Земли один корабль летит вправо со скоростью 0,8c, а другой — влево с такой же скоростью. За одну секунду расстояние между ними уменьшается на 0,8c + 0,8c = 1,6c. Значит, в системе отсчёта Земли скорость их сближения равна 1,6c. Противоречия с теорией относительности здесь нет. Число 1,6c — не скорость одного корабля в системе отсчёта другого. Это скорость, с которой уменьшается расстояние между ними по земным часам. если источник испускает два световых луча в противоположных направлениях, то в системе отсчёта источника расстояние между фронтами лучей увеличивается со скоростью 2c. Но каждый луч по-прежнему движется со скоростью c. В опросе спрашивалось другое: какую скорость одного корабля измерит наблюдатель на другом корабле? Для этого обычное сложение уже не подходит. Если u и v — модули скоростей двух тел, движущихся навстречу друг другу, то скорость одного тела относительно другого равна w = (u + v)/(1 + uv/c²). Поэтому w = (0,8c + 0,8c)/(1 + 0,8·0,8) = 40c/41. Почему закон сложения скоростей устроен такой странной дробью? Будем измерять скорости в долях скорости света. Пусть: β₁ = v₁/c, β₂ = v₂/c, где v₁ и v₂ — модули скоростей двух тел. Скорость одного тела относительно другого тоже выразим в долях c и обозначим через β₁₂. Тогда β₁₂ = (β₁ + β₂)/(1 + β₁β₂). Теперь введём вспомогательную величину q = (1 + β)/(1 − β). Для трёх скоростей получаем: q₁ = (1 + β₁)/(1 − β₁), q₂ = (1 + β₂)/(1 − β₂), q₁₂ = (1 + β₁₂)/(1 − β₁₂). Подставим формулу для β₁₂: q₁₂ = [1 + (β₁+β₂)/(1+β₁β₂)] / [1 − (β₁+β₂)/(1+β₁β₂)]. После упрощения: q₁₂ = (1+β₁β₂+β₁+β₂)/(1+β₁β₂−β₁−β₂). Числитель и знаменатель раскладываются на множители: q₁₂ = (1+β₁)(1+β₂)/((1−β₁)(1−β₂)). Значит, q₁₂ = q₁q₂. Итак, сами скорости складываются по дробной формуле, а соответствующие им числа q при этом просто перемножаются. Остаётся превратить умножение в сложение. Для этого нужен логарифм. Введём величину φ = ½ ln q = ½ ln((1 + β)/(1 − β)). Она называется быстротой. Поскольку q₁₂ = q₁q₂, получаем φ₁₂ = ½ ln(q₁q₂) = ½ ln q₁ + ½ ln q₂ = φ₁ + φ₂. Получается, что скорости складываются сложно, а быстроты — обычным образом. Это не просто удобная замена переменной. Из определения быстроты можно выразить скорость: β = (e^(2φ) − 1)/(e^(2φ) + 1) = th φ. В обычной геометрии поворот сохраняет величину x² + y², а последовательным поворотам соответствует сложение углов. Преобразования Лоренца устроены похоже, только они сохраняют величину c²t² − x². Их можно рассматривать как гиперболические повороты, а быстрота φ играет роль гиперболического угла. Поэтому быстроты складываются по той же причине, по которой складываются углы последовательных поворотов. При этом th φ при любом конечном φ остаётся между −1 и 1. Значит, соответствующая скорость βc всегда меньше c. Скорости света отвечала бы бесконечная быстрота.2,59%
2 авг.Вернётся ли пьяница? Рассмотрим случайное блуждание по решётке. На прямой точка каждый раз идёт на 1 влево или на 1 вправо. На плоскости — на одну клетку в одном из четырёх направлений. В трёхмерном пространстве — в одном из шести направлений. Вопрос: вернётся ли точка когда-нибудь в исходное положение? Ответ зависит от размерности. На прямой — вернётся почти наверняка. На плоскости — тоже почти наверняка. В трёхмерном пространстве вероятность возвращения уже меньше 1. Это теорема Пойи. Посмотрим, откуда возникает граница между размерностями 2 и 3. Начнём с прямой. Каждый шаг равен +1 или −1 с вероятностями ½ и ½ . После n шагов положение равно Sₙ = X₁+X₂+...+Xₙ, где каждое Xᵢ равно +1 или −1. Среднее одного шага равно E(Xᵢ) = 0. Средний квадрат равен E(Xᵢ²) = 1. Значит, дисперсия одного шага равна 1, а дисперсия суммы равна D(Sₙ) = D(X₁)+...+D(Xₙ) = n. Стандартное отклонение равно √n. Это естественный масштаб случайного блуждания после n шагов. Обычно положение не имеет порядок n: шаги частично компенсируют друг друга, поэтому типичное отклонение от начала имеет порядок √n. На прямой существенная часть вероятности распределена на отрезке длины порядка √n. Поэтому вероятность оказаться в одной конкретной точке, например в начале, имеет порядок 1/√n=n⁻¹ᐟ². На плоскости за n шагов каждая координата тоже имеет разброс порядка √n. Поэтому существенная часть вероятности распределена в области размера примерно √n×√n. Её площадь имеет порядок n. Значит, вероятность попасть в одну фиксированную точку имеет порядок 1/n=n⁻¹. В d-мерном случае типичный разброс по каждой координате имеет порядок √n. Значит, существенная часть вероятности распределена не по всему пространству, а по области с линейным размером порядка √n в каждом из d направлений. Число точек в такой области имеет порядок (√n)ᵈ = nᵈᐟ². Если вероятность распределена примерно по nᵈᐟ² точкам, то вероятность оказаться в одной фиксированной точке, например в начале, имеет порядок 1/nᵈᐟ²=n⁻ᵈᐟ². Теперь важно, что мы складываем эти вероятности по всем моментам времени n. Для прямой d=1, поэтому вероятность возврата в начало в момент n имеет порядок Σn⁻¹ᐟ². Возникает ряд порядка Σn⁻¹ᐟ². Он расходится. Для плоскости d=2, поэтому вероятность возврата в момент n имеет порядок n⁻¹. Возникает ряд порядка Σn⁻¹. Он тоже расходится. Для трёхмерного пространства d=3, поэтому вероятность возврата в момент n имеет порядок n⁻³ᐟ². Возникает ряд порядка Σn⁻³ᐟ². Он сходится. Вот почему двумерный и трёхмерный случаи различаются. В обоих случаях типичное расстояние от начала после n шагов имеет порядок √n. Но число возможных точек в типичной области разное: на плоскости — порядка (√n)²=n; в пространстве — порядка (√n)³=n³ᐟ². Поэтому в трёхмерном случае вероятность оказаться ровно в начале убывает быстрее: не как 1/n, а как 1/n³ᐟ². Именно переход от ряда Σ1/n к ряду Σ1/n³ᐟ² и даёт границу между размерностями 2 и 3. Остаётся связать это с вероятностью возвращения. Пусть r — вероятность когда-нибудь вернуться в начало после ухода из него. После каждого возвращения процесс начинается заново: снова та же вероятность r вернуться ещё раз. Поэтому ожидаемое число посещений начальной точки имеет вид 1 + r + r² + r³ + ... Если r<1, эта сумма конечна: 1/(1−r). Если ожидаемое число посещений бесконечно, значит, r=1. В размерностях 1 и 2 сумма вероятностей возврата по всем моментам времени расходится, поэтому ожидаемое число посещений начальной точки бесконечно. Значит, r=1. В размерности 3 сумма вероятностей конечна, значит, ожидаемое число посещений конечно. Поэтому r<1: есть положительная вероятность больше никогда не вернуться.2,49%
4 авг.Почему электричество знает, вернётся ли пьяница В теореме Пойи случайное блуждание ведёт себя по-разному в разных размерностях. На прямой и на плоскости точка почти наверняка когда-нибудь вернётся в начало. В трёхмерном пространстве вероятность возвращения уже меньше 1. Ту же границу можно увидеть без вероятностей — через электрическую сеть. Заменим каждое ребро решётки резистором сопротивления 1 Ом. Теперь спросим: каково сопротивление от начальной точки до бесконечности? Оказывается, здесь работает правило: если сопротивление до бесконечности бесконечно, случайное блуждание возвратно; если сопротивление конечно, есть положительная вероятность уйти и не вернуться. На прямой всё очевидно. Чтобы уйти к бесконечности, ток должен пройти через бесконечную цепочку резисторов, соединённых последовательно: 1 + 1 + 1 + ... = ∞. Сопротивление бесконечно. Поэтому одномерное блуждание возвращается. На плоскости ситуация не такая очевидная. Ток может растекаться во все стороны. Но посмотрим на квадратные «слои» вокруг начала. На расстоянии порядка r от начала слой имеет длину порядка r. Значит, через этот слой есть порядка r параллельных путей. Если r одинаковых резисторов соединены параллельно, их общее сопротивление имеет порядок 1/r. Чтобы уйти на бесконечность, нужно пройти все слои: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... Это гармонический ряд, он расходится. Значит, сопротивление плоской решётки до бесконечности тоже бесконечно. Поэтому случайное блуждание на плоскости возвращается почти наверняка. Но это уже пограничный случай: сопротивление растёт очень медленно, как гармонический ряд. В трёхмерном пространстве слой радиуса r имеет уже не длину, а площадь порядка r². Значит, параллельных проходов через слой порядка r², а сопротивление слоя имеет порядок 1/r². Общее сопротивление до бесконечности ведёт себя как 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + .... Этот ряд сходится; более того, его сумма равна π²/6. Точное сопротивление решётки не равно этой сумме, но для вопроса о возвратности важен сам факт сходимости. Поэтому в трёхмерной решётке случайное блуждание уже невозвратно: есть положительная вероятность уйти навсегда. В размерности d та же оценка даёт слой размера порядка rᵈ⁻¹. Сопротивление слоя имеет порядок 1/rᵈ⁻¹. Поэтому нужно смотреть на ряд Σ1/rᵈ⁻¹. При d = 1 он расходится. При d =2 получается гармонический ряд, он тоже расходится. При d ≥ 3 ряд сходится. Так электрическая сеть даёт ту же границу, что и теорема Пойи: d =1, 2 — возвращение почти наверняка; d ≥ 3 — есть шанс уйти навсегда. Почему здесь вообще появляется электричество? Потому что напряжение в электрической сети и вероятность попадания в точку подчиняются одному и тому же локальному правилу. Если в вершине нет источника тока, то её напряжение равно среднему значению напряжений в соседних вершинах. Это закон Кирхгофа. Если случайное блуждание находится в вершине, то вероятность будущего события тоже равна среднему значению таких вероятностей по соседним вершинам: следующий шаг выбирается равновероятно. В обоих случаях возникает одна и та же дискретная гармоническая функция на графе. Поэтому вопрос о возвращении случайного блуждания можно перевести на язык токов, напряжений и сопротивлений. Электрическая формулировка показывает, что в размерности 2 путей наружу становится больше, но ещё недостаточно: сопротивления слоёв дают гармонический ряд. В размерности 3 площадь слоёв растёт как r², параллельных путей становится достаточно много, и суммарное сопротивление до бесконечности оказывается конечным.2,33%
04:45Две дороги между встречами Если тело движется со скоростью v, то его собственное время τ связано с земным временем t соотношением τ = t√(1 − v²/c²). Для одного участка пути: τ = 5√(1 − 0,6²) = 4 года. Туда и обратно — 8 лет. Но здесь есть более интересный способ увидеть тот же ответ. За один участок корабль перемещается на 3 световых года за 5 земных лет. Время, прошедшее на корабле, равно √(5² − 3²) = 4 года. Да, получился египетский треугольник 3–4–5, только теорема Пифагора работает не как 5² = 4² + 3², а как 4² = 5² − 3². Числа те же, но геометрия другая. В обычной геометрии длина отрезка на плоскости равна √(x² + y²). В пространстве-времени собственное время между двумя событиями определяется выражением τ = √(t² − x²/c²). Из-за знака минус привычное неравенство треугольника как будто переворачивается. Корабль движется от первого события — старта — ко второму, развороту, а затем к третьему — возвращению. На двух участках его собственное время равно 4 + 4 = 8 лет. Земля между теми же событиями старта и возвращения никуда не перемещается, поэтому её собственное время равно √(10² − 0²) = 10 лет. Получается 4 + 4 < 10. Ломаная мировая линия оказалась короче прямой. Это, конечно, не особенность удачно выбранных чисел. Пусть тело движется в течение времени t₁ с координатной скоростью v₁, а затем в течение времени t₂ с координатной скоростью v₂. Скорости здесь берутся со знаками: движение в обратную сторону соответствует отрицательной скорости. На его часах пройдёт τ = t₁f(v₁) + t₂f(v₂), где f(v) = √(1 − v²/c²). Эта функция вогнута: f″(v) < 0. По неравенству Йенсена t₁f(v₁) + t₂f(v₂) ≤ (t₁ + t₂)f((t₁v₁ + t₂v₂)/(t₁ + t₂)). Дробь в правой части — средняя скорость на всём пути. Значит, справа стоит время, которое прошло бы при равномерном прямолинейном движении между теми же двумя событиями. Итак, между двумя фиксированными событиями в плоском пространстве-времени прямая мировая линия даёт не наименьшее, а наибольшее собственное время. Поэтому дело не в том, что ускорение само по себе «замедляет часы». Разворот нужен, чтобы перейти с одного прямолинейного участка на другой. Меньше времени набирает именно непрямая мировая линия. В обычной геометрии тот, кто идёт напрямик, проходит меньше. В пространстве-времени тот, кто не сворачивает, стареет больше.1,98%