Зачем мне эта математика

Какой вы тип математика? ❤️ — ноль сомнений в своём деле 🤔 — а вдруг я ушёл не туда? Поддерживайте равновесие реакциями, а мы пока приведём пример — пару противоположных типажей математиков: Годфри Харди и Норберт Винер Харди был одним из главных британских математиков XX века. Он занимался теорией чисел, рядами, дзета-функцией Римана и распределением простых чисел. Вместе с Джоном Литлвудом много лет работал над задачами аналитической теории чисел, а ещё именно Харди разглядел гений Сринивасы Рамануджана. Харди хорошо известен как защитник математики «ради самой математики». В «Апологии математика» он писал о красоте математических идей как о красоте стихотворения или картины. Для него хорошая математика не обязана сразу чинить мосты, считать прибыль или запускать ракеты. Она может быть ценной просто потому, что в ней есть глубина и неожиданный ход мысли. Ирония в том, что даже у Харди нашлось прикладное наследие. Например, закон Харди — Вайнберга теперь используют в популяционной генетике: он помогает описывать, как в большой популяции сохраняются частоты генов при определённых условиях. Винер был другим типом математика. Он поступил в колледж в 11 лет, получил докторскую степень в Гарварде в 18, учился у Бертрана Рассела, Давида Гильберта и, кстати, у самого Харди. Его работы связывали вероятность, броуновское движение, гармонический анализ, преобразование Фурье, теорию связи и инженерные задачи. Позже Винер стал одним из основателей кибернетики — науки об управлении и связи в машинах, организмах и обществах. Слова «обратная связь», «информация», «контроль» в современном технологическом смысле берут начало из этого круга идей. Но важен не только масштаб его работ. Винер постоянно сомневался: в себе, в ценности текущей работы, в том, туда ли движется наука. Математик Морис Фреше вспоминал, что во время совместной работы Винер всё время спрашивал: «А стоит ли моя работа того? Не сдаю ли я позиции?» У этого сомнения была и другая сторона. После Второй мировой войны Винер отказался участвовать в военных исследованиях и писать о работах, которые могли усилить оружие. Для него вопрос «а не туда ли мы идём?» был не только математическим, но и человеческим. В чём же разность этих типажей? ▶️Харди говорит: чтобы сделать что-то большое, нужно заранее признать свой предмет значительным. Не ждать, пока кто-то со стороны разрешит считать задачу важной. Не извиняться за то, что тратишь силы на абстрактную идею. ▶️Винер напоминает: даже математик, который меняет язык науки, может сомневаться, туда ли он идёт. Мы согласимся сразу с обоими. Настоящая математика начинается там, где человек достаточно уверен, чтобы продолжать, и достаточно честен, чтобы спросить себя: «А это правда работает?» Этим сюжетом про математическую нескромность мы вдохновились в канале «Воспоминания математиков». Там можно найти много таких живых эпизодов из истории математики: не только про теоремы, но и про людей, их характеры, сомнения и странные привычки. Очень рекомендуем — подписывайтесь! #это_база

Удерживаем ваше внимание, как можем, чтобы ответить на вчерашний вопрос и закрыть тему No Free Lunch... ⚡️Если теорема говорит, что универсального алгоритма не существует, почему современные нейросети всё чаще выглядят универсальными Здесь стоит сделать важную оговорку. Сама теорема No Free Lunch требует усреднения по всем мыслимым задачам, взятым с равной вероятностью. Но что такое «случайно выбранная из всех возможных» задача? ✅ Тут нам пригодится понятие колмогоровской сложности Если измерять сложность данных через колмогоровскую сложность — длину самой короткой программы, способной их породить, — то почти любой случайно сгенерированный набор данных окажется максимально сложным, несжимаемым шумом. Реальные же задачи, с которыми работают люди и алгоритмы, — изображения, тексты, звук — как правило, прекрасно сжимаются, то есть обладают низкой колмогоровской сложностью. Формально теорема остаётся верна для всего пространства задач, но интересующий нас угол этого пространства — крошечная и совсем не типичная его часть. В 2023–2024 годах исследователи показали, что нейронные сети — причём даже необученные, со случайной инициализацией — охотнее «производят» простые, сжимаемые последовательности. Более того, архитектура, спроектированная под одну область (например, компьютерное зрение), неожиданно хорошо сжимает данные из совсем других, на первый взгляд не связанных с ней областей. Это, по мнению авторов, отчасти объясняет происходящее сейчас в глубоком обучении: движение не в сторону зоопарка узкоспециализированных моделей, а в сторону всё более крупных и универсальных архитектур, построенных на всё меньшем числе принципов. ✅ У этой мысли есть старый философский родственник — бритва Оккама В 2011 году Тор Латтимор и Маркус Хаттер поставили вопрос прямо: если No Free Lunch утверждает, что нельзя обойтись без знания конкретной предметной области, то как тогда вообще работает принцип «из двух объяснений выбирай более простое»? Ведь бритва Оккама претендует именно на универсальность — она не привязана к какой-то одной задаче. Их ответ: строгая версия теоремы верна лишь тогда, когда все мыслимые задачи (включая бесструктурный шум) считаются равновероятными. Но стоит принять в качестве предположения о мире саму идею простоты — формализованную как универсальное априорное распределение в духе индукции Соломонова, где более «сжимаемые», просто устроенные гипотезы заранее считаются более вероятными, — и парадокс снимается. Авторы показали, что алгоритм, основанный на таком единственном предположении (простота предпочтительнее сложности), способен успешно работать на любых структурированных, то есть сжимаемых, задачах, не требуя под каждую из них отдельной, специально скроенной модели. Иначе говоря, бритва Оккама — это не эвристика в обход No Free Lunch, а минимально необходимый «бесплатный ланч»: единственное предположение, которое стоит сделать, если вы заранее не знаете, какая перед вами задача, но подозреваете, что она не абсолютно случайна. Именно это предположение — пусть и в неявном виде — зашито в устройство современных нейросетей. 🕊 — если вы тоже привыкли не усложнять #как_устроено

Почему нейросеть, которая распознаёт картинки, может провалиться на другой задаче? Вчера мы уже приблизились к догадке — всему виной опять математика. А точнее... Теория сложности вычислений 👀 Это неожиданный сосед теоремы No Free Lunch. Возможно, вы слышали о проблеме равенства классов P и NP — одной из семи проблем тысячелетия. Она посвящена времени и памяти, которые требуются для решения вычислительных задач. Кстати, за её решение назначена премия в миллион долларов. 📃 В теории сложности есть понятие алгоритмического разрыва: он возникает, когда доказанная нижняя граница трудности задачи оказывается ниже, чем сложность лучшего известного алгоритма для неё. Проще говоря, мы понимаем, что задача в теории не должна быть слишком сложной, но пока не знаем алгоритма, который решает её настолько же эффективно. Это явление приближает учёных к ответу на вопрос, сколько ресурсов требует задача. Но нас интересует другая сторона: почему один и тот же алгоритм на похожих данных может вести себя по-разному. Важна природа самой задачи. В ML это называют индуктивным смещением или априорными предположениями. Например: ▶️линейная регрессия предполагает, что зависимости близки к линейным ▶️деревья решений — что пространство признаков можно эффективно разделить последовательностью простых правил ▶️нейронные сети — что сложные зависимости представимы как композиция множества сравнительно простых преобразований ⠀⠀⠀Пример со свёрточными ⠀⠀⠀⠀ нейронными сетями ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ (CNN) Механизм их работы довольно прост — мы изобразили его на карточке. Объясним, что происходит. Представьте фотографию чашки. Если чашка находится в левом верхнем углу изображения, мы всё равно её узнаём. Если она окажется в центре кадра или справа, ничего не изменится: это та же чашка. Для человека это очевидно, для алгоритма — нет. Обычная полносвязная сеть рассматривает каждый пиксель независимо: перемещение объекта по изображению меняет набор входных данных. Свёрточная сеть устроена иначе: в неё заранее встроено предположение, что один и тот же объект должен распознаваться независимо от положения. Это свойство называют трансляционной инвариантностью. *️⃣Важная деталь: это предположение не следует из данных. Оно заранее заложено разработчиками в архитектуру сети. Именно благодаря этому ограничению CNN работают значительно лучше универсальных полносвязных сетей на изображениях. То есть мы снова сталкиваемся с парадоксом: сила алгоритма рождается не из универсальности, а из его «предубеждений». Чем больше алгоритм знает о структуре решаемой задачи, тем лучше он работает именно на этом классе задач — и тем хуже справляется с задачами, нарушающими эти предположения. Эта идея выходит далеко за пределы компьютерного зрения: ▶️рекуррентные сети используют то, что данные образуют последовательности ▶️трансформеры предполагают, что элементы последовательности взаимодействуют друг с другом независимо от расстояния между ними ▶️графовые нейронные сети учитывают связи между объектами ▶️Physics-Informed Neural Networks (PINNs) напрямую встраивают в обучение известные физические законы Во всех случаях происходит одно и то же: разработчики сознательно жертвуют универсальностью ради эффективности на интересующем их классе задач. *️⃣Важно не путать это с теоремой об универсальной аппроксимации. Часто можно услышать: «Нейронная сеть может выучить любую функцию». Это не совсем так. Теорема об универсальной аппроксимации утверждает лишь, что сеть достаточного размера способна представить практически любую непрерывную функцию с нужной точностью. Но способность выразить решение и способность эффективно его обнаружить — совершенно разные вещи. Но если под каждую задачу нужны свои предположения, почему современные большие модели выглядят всё более универсальными? Накидайте 🔥, если интересно, и мы раскроем ответ в следующем посте. А от читателей, работающих с нейросетями, ждём догадки в комментах! #как_устроено

Теорема, обесценивающая ИИ… или нет? 👀 В математике есть теоремы, названия которых могут показаться шуткой: теорема о четырёх красках, теорема о причёсывании ежа, теорема о бесконечных обезьянах. К их числу относится и No Free Lunch Theorem — в буквальном переводе «бесплатных ланчей не бывает», а в более литературном — «бесплатный сыр бывает только в мышеловке». ⠀ За этим названием скрывается результат современной теории оптимизации и ML, о котором часто вспоминают, когда говорят о нейросетях и ИИ. ⠀ ▶️Смысл теоремы примерно такой: если рассматривать все возможные задачи, то никакой алгоритм не может быть лучше любого другого. На первый взгляд это звучит абсурдно. Неужели сложнейшие нейронные сети ничем не превосходят примитивные алгоритмы? Оказывается, всё зависит от того, какие задачи мы рассматриваем. ⠀ Представим себе две выборки данных. Первая напоминает прямую с небольшим шумом. Вторая выглядит как сложная волнообразная кривая. Где больше шума? 1️⃣ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸⠀⠀⠀⠀⠀🔸 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸⠀⠀🔸 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸 🔸⠀🔸 ⠀⠀⠀___________________________ 2️⃣ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸🔸 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸 ⠀⠀⠀⠀⠀🔸⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸⠀⠀⠀🔸 ⠀⠀⠀🔸⠀⠀🔸⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸⠀⠀⠀⠀⠀🔸 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸⠀⠀⠀🔸 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀🔸 ⠀ Большинство скажет, что первая задача проще второй: прямую легко описать уравнением вида y = ax + b, а извилистую волну придётся моделировать чем-то более сложным. Но так кажется лишь потому, что мы уже выбрали язык описания. Если моделью служит линейная функция, первая выборка действительно оказывается простой. Но если модель — например, волновой пакет с единственным параметром (сдвигом по оси), картина меняется. Теперь вторая выборка описывается одним параметром. Иными словами, простота задачи — не абсолютное свойство данных. Она зависит от того, какую модель мы заранее решили использовать. ⠀ ⠀⠀⠀⠀История вопроса ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀📚📚📚 ⠀ В середине XVIII века философ Дэвид Юм сформулировал проблему индукции: можем ли мы логически обосновать перенос выводов из уже увиденного на то, чего мы ещё не видели? ⠀ Если все лебеди, которых мы встречали, были белыми, у нас нет логического основания утверждать, что и следующий лебедь окажется белым, — потому что прошлый опыт сам по себе не гарантирует будущего. ⠀ Та же логика лежит в основе No Free Lunch: без дополнительных предположений о мире ни один способ обучения на прошлых данных не имеет преимущества перед другим. ⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⬇️⬇️⬇️ ⠀ Позже, в 1990-х, физик Дэвид Вольперт работал в Санта-Фе, где учёные годами пытались найти общий язык для описания сложности. Его интересовало, почему одни эвристики поиска работают на одних задачах прекрасно, а на других — из рук вон плохо, и можно ли вообще найти универсально хорошую стратегию поиска. В 1997 году он опубликовал результат, который сегодня и называют No Free Lunch Theorem: если усреднить качество работы любых двух алгоритмов оптимизации по всему пространству возможных целевых функций, оказывается, что оно совпадает. Ни один метод не имеет преимущества перед другим — включая обычный случайный перебор. ⠀ Следствие теоремы выглядит парадоксально: если алгоритм работает исключительно хорошо на каком-то классе задач, обязательно найдётся другой класс задач, на котором тот же алгоритм будет работать исключительно плохо. ⠀ На этом месте многие делают неверный вывод: «Значит, бессмысленно создавать новые алгоритмы?». Совсем наоборот! ❗️Секрет в том, что реальный мир не состоит из математических задач. Мы не пытаемся распознавать произвольные функции — мы работаем с данными, имеющими реальную структуру. Поэтому поиск лучшего алгоритма — это не поиск самой мощной математической конструкции, а поиск правильных предположений о природе задачи. Так что успех ИИ зависит не от универсальности алгоритма, а от того, насколько хорошо он учитывает устройство нашего мира. Будущему AGI достаточно работать не во всех мыслимых вселенных, а в нашей. Накидайте Вольперту 🏆 за кликбейтную теорему. А нам ❤️, если хотите узнать, причём тут теория сложности и бритва Оккама. #это_база

Что почитать, если любите математику? 📚 Собрали на Яндекс Книгах подборку с задачами, головоломками и полезными приёмами критического мышления. Здесь есть и классика отечественного научпопа, и современные разборы того, как цифры помогают манипулировать людьми. *️⃣Для любителей задачек: 🎨🎨🎨«Загадки и диковинки 🎨🎨🎨в мире чисел» 🎨🎨🎨Яков Перельман Классика отечественного научпопа — Перельман сто с лишним лет назад стал одним из основоположников жанра занимательной математики, и его загадки про числа до сих пор работают. Обязательный пункт для тех, кто интересуется историей популяризации науки в России. 🎨🎨🎨«Стратегии решения 🎨🎨🎨математических задач» 🎨🎨🎨Альфред Позаментье, Стивен Крулик На первый взгляд это достаточно рядовой сборник задач, но изюминка его вот в чём: авторы разбирают классические типы задач и для каждой показывают два разных пути решения — ординарный и образцовый. Предыдущая задача и решение, кстати, именно из этого сборника! 🎨🎨🎨«133 вопроса на 🎨🎨🎨знание логики, 🎨🎨🎨математики и физики» Николай Полуэктов, Павел Полуэктов Сборник задач-головоломок на сообразительность — то, что можно решать вечером вместо кроссворда. Логика, немного физики, немного чистой математики: авторы явно любят, когда решение находится не через формулу, а через щелчок в голове. *️⃣Для развития критического мышления: 🎨🎨🎨«Как лгать при 🎨🎨🎨помощи статистики» 🎨🎨🎨Дарелл Хафф Классика жанра — книга 1954 года, которая до сих пор не устарела ни на йоту. Мы писали о ней подробнее здесь. Хафф на пальцах показывает, как одни и те же цифры превращаются в убедительную ложь: неудачная выборка, обрезанный график, «средняя температура по больнице». После этой книги критическое мышление уже не даст так спокойно смотреть на инфографику в новостях. 🎨🎨🎨«Цифры врут. Как не 🎨🎨🎨дать статистике 🎨🎨🎨обмануть себя» Том Чиверс, Дэвид Чиверс Современное продолжение разговора, начатого Хаффом, — про то же самое, но с поправкой на эпоху соцсетей и статистики времён пандемии. Авторы разбирают конкретные громкие случаи, когда журналисты (и учёные) наступали на одни и те же грабли, и объясняют, как отличить надёжное исследование от шумихи. 🎨🎨🎨«Числоголики» 🎨🎨🎨Микаэль Дален, 🎨🎨🎨Хельге Торбьёрнсен И ещё одна книга о том, как числа и статистика используются и как ими злоупотребляют в рекламе, политике и повседневных решениях. Авторы — маркетолог и экономист — показывают, как легко манипулировать людьми с помощью на первый взгляд объективных цифр. Книги, кстати, доступны в аудиоформате — их читает виртуальный рассказчик на основе речевых технологий Яндекса. Если понравилась подборка — ставьте ❤️. Соберём продолжение! #рекомендуем

Готовим для вас новую подборку книг на математике! Сегодняшнюю задачку взяли прямо оттуда. Кто догадается, что за книга? ⠀ 📏 Условие Круг можно разделить на семь частей с помощью трёх прямых линий. ⠀ ❓Вопрос Какое максимальное количество частей можно получить при делении круга с помощью семи прямых линий? Решайте и показывайте результаты в комментариях под спойлером. А если справились, то вот ещё парочка несложных задач с окружностями: раз и два. #задача

🔥 — если ваша кошка тоже своего рода математик #меммат

Рады видеть ваши ответы! Догадываемся, что наши музыкальные вкусы совпадают. ⠀ Решение вчерашней задачи: ▶️Найдём объём улучшенного нейросетью трека с голосом количество каналов 2 время звучания 202 с частота 48000 * 3 = 144000 битовая глубина 16 * 2 = 32 бита. Всего: 2 * 202 * 144000 * 32 / 8 = 232704000 байт Теперь добавим ещё столько же — это музыкальная дорожка. Итого на сам трек отводится 232704000 * 2 = 465408000 байт ▶️Найдём оставшийся свободным объём памяти 445 Мб * 1024 * 1024 - 465408000 = 1208320 байт ▶️Вычтем картинку 1208320 - 1152 * 1024 = 28672 байт ▶️Найдём число символов 28672 / 4 = 7168 ⠀ Быстрый ответ для проверки: 7168 Задачу составила методист Яндекс Лицея Нелли специально для нашего канала. Накидайте ей сердечек, если понравился формат ❤️ #задача

У нас тут на днях планируется очень музыкальная задача... В качестве разминки предлагаем «послушать» функции, которые используют мастера по сборке автомобильных сигнализаций 👀

НАВИГАТОР ПО КАНАЛУ 🔍 Друзья, решили обновить карту канала и познакомиться с теми, кто присоединился к нам недавно. Здесь мы исследуем реальный мир через призму нашей любимой науки: решаем задачи, вспоминаем великих учёных, говорим об ИИ, искусстве, играх и программировании. Те, кто недавно вступил, не стесняйтесь задавать вопросы и делиться мыслями в комментариях к постам и нашем чатике. Первые материалы к прочтению можно выбрать тут — составили список из самого лучшего: ⠀ ⠀ЗАЧЕМ МНЕ ЭТА МАТЕМАТИКА❓ ⠀ Если хочется начать с фундаментального, для вас рубрика #это_база: ▶️Пифагор против домашки ▶️Про знаки > и < / Томаса Харриота ▶️История Джорджа Данцига ▶️Пять уровней абстракции ▶️Математика вообще существует? Если пришли сюда порешать задачи, ищите их по тегу #задача. Там бывают школьные сюжеты, логика, геометрия и теория вероятностей: ▶️Легко ли быть криптографом? ▶️Головоломка о волшебниках ▶️Задача про Петю ▶️Задача про камни ▶️Задача о мятом рубле Если хотите увидеть математику в профессиях и технологиях, ищите рубрику #как_устроено. Там рассказываем, как математические идеи работают в программировании, машинном обучении, инженерии и цифровых продуктах: ▶️Цезарь мёртв ▶️Про 1/89 и числа Фибоначчи ▶️Про число π ▶️Про зарождение вселенной ▶️Гипотеза Мизохаты-Такеучи Если любите читать про людей, заглядывайте в рубрику #история. В ней вспоминаем учёных, инженеров и авторов, которые сделали что-то важное или странное: ▶️Льюис Кэрролл ▶️Эрдёш и его проблемы ▶️Ада Лавлейс ▶️Александр Гротендик ▶️Тревизская арифметика Если хочется красоты, начинайте с постов про математику в искусстве и визуальной культуре: ▶️Сериал про Безье ▶️Золотое сечение ▶️Сериал про Эшера ▶️Мозаика Пенроуза ▶️Евклид в цвете Если хочется подборок и полезностей, ищите рубрику #рекомендуем. Там собираем книги, фильмы и всякие прикольные сервисы: ▶️«Симпсоны» и математика ▶️Подборка сервисов ▶️Сюрреальные числа: Кнут и Конвей ▶️Подборка фильмов про математику ▶️Ещё три книги о математике Старички, накидайте ❤️, если вам нравится, как мы сейчас ведём канал. А в комментариях пишите, о чём рассказать в следующих постах!

Однажды космические археологи нашли на далёкой планете библиотеку неизвестной цивилизации. Книги исписаны странными символами. Мы не знаем значения ни одного слова, не знаем, как произносить эти тексты, и даже не уверены, являются ли они вообще языком. Можно ли с помощью одной лишь математики определить, есть ли в этих текстах грамматика? На первый взгляд кажется, что нет. Ведь грамматика — это часть языка, а язык невозможен без смысла. Однако существуют математические методы, которые позволяют исследовать структуру последовательностей, не пытаясь понять, что они означают. Именно эти методы уже несколько десятилетий активно применяются, в том числе к… ⏩️песням горбатых китов⏪️ Они давно привлекают внимание биологов. В отличие от многих животных, киты не ограничиваются сигналами и криками. Самцы могут петь часами, повторяя длинные последовательности звуков. Более того, одна популяция исполняет одну и ту же песню, которая меняется от года к году. ⠀ ⠀⠀⠀Но как изучать такую песню? ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀👀 ⠀⠀ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀1️⃣ шаг ⠀ Исследователи разбивают запись на условные «ноты». Каждому типу звука присваивается свой символ: A, B, B, C, D, A, E, B, C… ⠀ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀2️⃣ шаг Определить, насколько эта последовательность случайна. ⠀ Для ответа используется понятие, введённое математиком Клодом Шенноном ещё в середине XX века, — информационная энтропия. 🔸Следующий символ невозможно предсказать — энтропия велика 🔸Последовательность повторяется — энтропия мала. Но почти сразу возникает неожиданная проблема. Низкая энтропия ещё ничего не говорит о наличии сложной структуры. Последовательность A, A, A, A, A, A, A имеет чрезвычайно маленькую энтропию. Однако никто не станет утверждать, что в ней скрыта грамматика. Значит, одного измерения энтропии недостаточно. ⠀ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀3️⃣ шаг Построить марковскую цепь. Предположим, что каждый следующий звук зависит только от предыдущего. Такая модель называется марковской цепью: математически это означает, что вероятность следующего символа определяется только текущим состоянием системы. Подобные модели используются повсюду: при распознавании речи, анализе ДНК, моделировании погодных процессов, работе поисковых алгоритмов. Во многих задачах они оказываются удивительно эффективными. Если песни китов представляют собой просто длинную последовательность локальных переходов между звуками, марковская модель должна описывать их довольно хорошо. Кстати, в научных статьях также появляется слово «синтаксис». Но тут важно не обмануться: в математике и теории информации это слово употребляется значительно осторожнее, чем в лингвистике. Киты вовсе не разговаривают друг с другом предложениями. Последовательности подчиняются внутренним правилам и статистическим связям. ⠀ На последнем этапе исследователей ожидал сюрприз. Выяснилось, что простая марковская модель не воспроизводит наблюдаемую структуру песен, потому что в них обнаруживаются зависимости, сохраняющиеся на очень больших расстояниях. Авторы исследования, опубликовавшие в 2006 году статью «Информационная энтропия песен горбатых китов», нашли в песнях два характерных масштаба организации: 🔸один — на уровне коротких фраз из шести-восьми звуков 🔸другой — гораздо шире: от ста восьмидесяти до четырёхсот звуков Иначе говоря, отдельные ноты объединяются в небольшие фразы, а фразы, в свою очередь, складываются в крупные композиционные блоки — причём сама эта иерархия была впервые предложена ещё в 1971 году биологами. Позже её подтвердили математически. Фанфакт: оценки энтропии показывают, что максимальный объём информации, который киты передают такой последовательностью звуков, — меньше одного бита в секунду. Не так уж много для того, что выглядит настолько сложно организованным. Голосуйте реакциями, что математикам стоит расшифровать этим способом дальше: 🕊 — пение птиц 🗿 — генетические последовательности 🌚 — древние письменности 👾 — космические сигналы #как_устроено

А мы уже несём ответ на вчерашнюю задачу! Спасибо всем, кто присылал свои варианты. Все молодцы ❤️ Если задача показалась вам слишком простой, ловите ТОП-5 наших самых сложных и неоднозначных задач. Решение по традиции будет ждать вас в следующем от условия посте. ▶️задача про муху ▶️задача про Петю ▶️задача про камни ▶️задача о мятом рубле ▶️задача про сплавы Последнюю, кстати, никто не смог решить... #задача

Задача-минутка на разрезание 🔸Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на равные по форме и площади части. *️⃣Подсказка: разрезать можно не только по сторонам клеток. Присылайте свои варианты в комментарии! Решение появится в канале завтра. #задача

Пока русскоязычный сегмент интернета ждёт Яблочный Спас, мы отмечаем более нишевые праздники! 17 июля 🐷 День жёлтой свиньи Да, такой праздник правда существует. Его придумали математики Дэвид Келли и Майк Спивак, когда в 1960-х были аспирантами в Принстоне. Почему именно свинья? Достоверного ответа мы не нашли. Но по легенде талисман праздника связан с коллекцией жёлтых свиней одного из парней: говорят, вокруг его дома периодически располагалось от 289 до 4913 таких фигурок. И да, оба числа тоже неслучайные: это 17² и 17³. Вообще число 17 для многих математиков особенное. Это простое число: его нельзя получить как произведение двух меньших натуральных чисел. А ещё с ним связана известная история про Гаусса. В 1796 году он доказал, что правильный 17-угольник можно построить циркулем и линейкой. А эта задача, между прочим, оставалась открытой со времён древних греков. Поздравляем вас, дорогие подписчики! Поздравить редакцию — ❤️‍🔥 #меммат

Однажды молодой студент-математик Поль Шатц попал на лекцию Рудольфа Штайнера, создателя антропософии. На этой лекции Штайнер озвучил задачу, которая, по его мнению, стояла перед человечеством: ⏩️понять связь между платоновыми телами и Вселенной⏪️ По его словам, понимание этой связи станет шагом к новому уровню сознания... *️⃣Платоновы тела — это правильные многогранники. Их всего пять. Они известны с древности и рассматривались как «строительные блоки» материи. Платон связывал их со стихиями: ▶️тетраэдр — с огнём ▶️куб — с землёй ▶️октаэдр — с воздухом ▶️икосаэдр — с водой ▶️додекаэдр позднее стали связывать с эфиром — элементом, которого в античной системе стихий не было Шатц воспринял услышанное как личный призыв и начал исследование. После десяти лет изучения платоновых тел он нашёл ответ, исходя из куба. Согласно Платону, куб соответствует стихии земли — возможно, именно эта мысль и указала направление работ Шатца. Учёный обнаружил, что его можно «разобрать» на три равные по массе части так, что средняя часть — своего рода цепь — оказывается подвижной и может бесконечно выворачиваться: внутренняя часть выходит наружу, проходит через пространство, а затем снова оказывается внутри после полного цикла. В математике это называется инверсией: 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨 ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Объясняем, ⠀⠀⠀⠀при чём здесь олоид ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀⠀⠀❓ Шатц продолжил исследование инвертируемого куба и обнаружил важную вещь: ключ скрыт в диагонали куба. Он даже называл её «душой куба». Если отметить две противоположные вершины куба и соединить их, то при разборке и движении куба эта связь сохраняется. В процессе движения эта линия выходит в пространство. Если представить её как натянутую нить, то при инверсии куба эта нить остаётся неизменной по длине, но описывает сложную траекторию в пространстве. И оказывается, что за полный цикл эта «нить» вычерчивает форму олоида. Иначе говоря, именно траектория этой диагонали задаёт олоид. Можно посмотреть на это и с другой стороны. Олоид можно представить как поверхность, натянутую на две окружности. Эти окружности образуют своего рода «скелет» фигуры. Если сопоставить этот «скелет» с инвертируемым кубом, становится видно, что их движения совпадают. Если снова рассмотреть диагональ, можно увидеть, что эта «нить» вычерчивает половину олоида. А если зафиксировать её положение в разные моменты времени (например, сделать множество «снимков»), то их совокупность образует всю поверхность олоида. В этой двойственности удивительно то, что движение, лежащее в основе формы, ощущается и в самой форме. Этот принцип, кстати, лежит в основе так называемой органической архитектуры. Вывод: олоид — это буквально застывший ритм движения куба, который выворачивается наизнанку. И это заставляет задуматься: простая статическая форма может хранить в себе память о сложном движении. И, судя по всему, таких геометрических тайн внутри самых простых фигур скрывается гораздо больше, чем мы можем представить. #как_устроено