Архив задач?

По кругу расставлено n различных чисел, причем для любых 3 подряд идущих чисел среднее арифметическое тоже находится среди них. Пожалуйста, докажите, что 3|n

Пожалуйста, выясните, существует ли множество точек S на евклидовой(обычной) плоскости, что любая прямая содержит ровно 1 точку из этого множества?

Множество S состоит из n точек на плоскости, никакие 3 не лежат на 1 прямой и никакие 4 не лежат на 1 окружности. Назовем дополняющую пару множеств A, B хорошей, если существует круг, в котором содержатся все точки множества A и при этом не содержатся никакие точки множества B, или наоборот. Пожалуйста, найдите количество хороших пар

Дана бесконечная шахматная доска с белым королём. Ход происходит следующим образом: 1)ставится черный конь на какую-то пустую клетку так, чтобы король был под шахом или под матом 2)если это мат, то чёрные выигрывают 3)если это шах, то белые делают ход королём, чтобы не быть под шахом Пожалуйста, выясните, могут ли чёрные гарантированно выиграть

Дан вписанный 4-угольник ABCD. Пусть Da- такая точка, что B, C изогонально сопряжены в треугольнике ADDa, Db- такая точка, что A, C изогонально сопряжены в треугольнике DBDb, Dc- такая точка, что B, A изогонально сопряжены в треугольнике CDDc. а) доказать, что треугольники ABC и Dabc, Dbac, Dcab перспективны б) пусть ld- ось перспективы этих треугольников. Определим la, lb, lc аналогично. Докажите, что прямые la, lb, lc, ld пересекаются в 1 точке

Даны окружности Γ и γ внутри её, а также окружности ω1...ω2n, что ωi касается внешним образом γ и внутренним образом Γ, а также ωi и ω(i+1) касаются внешним образом (индексы берутся по модулю 2n). Отметили центры окружностей O1...O2n. Пожалуйста, докажите, что OiOn+i пересекаются в 1 точке

Рассмотрим все 100-значные числа, кратные 19. Вася посчитал, у скольких из них нет ни одной из цифр 1,4,7. Петя посчитал, у скольких из них нет ни одной из цифр 4,5,6. Пожалуйста, выясните, у кого получилось больше?

В треугольнике ABC точки X, Y, Z лежат на сторонах BC, AC, AB соотвественно, так, что XZ параллельно AC и есть окружность, касающаяся AB, BC, XY, YZ. Пожалуйста, докажите, что описанная окружность (XYZ) касается вписанной окружности )ABC( Если взять XZ как среднюю линию, то задача превращается в теорему Фейрбаха

Вот представьте: Вы геометр, ботаете кубики, полярные преобразования и тд. Приходите на олимпиаду по геометрии, и получаете это

Версия комбогеомы от Ф.Нилова для 10 классов. В какое наименьшее число цветов можно раскрасить вершины правильного додекаэдра так, чтобы никакие три вершины одного цвета не образовывали равнобедренный треугольник? Двадцать вторая олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина, 2026 год, 10 класс, 2 задача #O2026 #Sharygin #Sharygin_2026

А вот и задача с межнара сегодня! Точки K и L выбраны внутри BMC и BNC, так, что K лежит внутри LBA, L лежит внутри ACK и верны равенство углов на картинке. IMO 2026, P2(IMO Shortlist 2026, G_) #O2026 #IMO #IMO2026 #IMOSL #IMOSL2026

P17: В прямоугольной клетчатой таблице расставлены числа так, что в любом ряду сумма целая. Докажите, что каждое число можно округлить вверх или вниз так, чтобы в каждом ряду сумма не изменилась