آنالیز‌هارمونیک‌یک‌ذهن‌بسته

نمیدونم چرا هر چی میدوئم، تهش تازه خیلی شانس بیارم میرسم به "کاریه که شده"

۲۸ مرداد ۱۴۰۳ دانشگاه تهران

جیزز :)))))) خب حالا که هستین پس به فعالیتم ادامه میدم =)

در سال ۱۹۲۷ ورنر هایزنبرگ رابطه‌ی بین پراکندگی چگالی احتمال مکان و چگالی احتمال تکانه‌ی ذره رو پیدا کرد و نشون داد هرچه چگالی احتمال مکان ذره پراکنده‌تر باشه چگالی احتمال تکانه پراکندگی کمتری داره و برعکس، این نتیجه‌ی مهم با عنوان اصل عدم قطعیت هایزنبرگ مشهوره طبق اصل عدم قطعیت چون محاسبات ما برای ذره‌هایی با تکانه‌ی معلوم و واحد بود تابع موج مکانش باید کاملا پراکنده باشه که به همین دلیل به شکل یک تابع سینوسی دراومد! اگه میخواستیم از همین روش استفاده کنیم تا تابع موج یک ذره‌ی آزاد رو محاسبه کنیم در نهایت انتگرال تابع موج به بینهایت میل میکرد و نرمالایز نمیشد که یعنی نمیتونست پاسخ قابل قبولی باشه!

به این صورت تابع موج و چگالی احتمال مکان ذره هم بدست میاند:

همینطور طبق اصول آماری، انتگرال چگالی احتمال در کل فضای احتمال باید برابر یک بشه، این اصل راهی برای محاسبه‌ی ثابت A مشخص می‌کنه که نرمالایز کردن تابع موج هم بهش میگن

به طور کلی تابع موج یک تابع مختلطه، مزدوج مختلط *α برای یک عدد مختلط α به شکل زیر تعریف میشه و اثبات میشه همواره حاصل ضرب این دو، عددی حقیقی و نامنفیه:

قاعدهی بورن یه حقیقت مهم درمورد معادله‌ی شرودینگر رو نشون داد که ماهیت probabilistic تابع موج و مکانیک کوانتومی بود برخلاف مکانیک کلاسیک که رفتار ذرات به شرط داشتن اطلاعات کافی قابل پیشبینی بود معادله‌ی شرودینگر اجازه‌ی پیشبینی نتیجه‌ی آزمایش رو نمی‌داد و فقط راهی برای بررسی احتمال وقوع یک حالت خاص قابل محاسبه بود مقاله ۱۹۲۶ مکس بورن در این مورد توضیح میده:

با اینکه شرودینگر معادله‌ی موج رو معرفی کرد (و حتی برای الکترون در اتم هیدروژن هم معادله رو حل کرد) ولی نتونست تعبیر فیزیکی دقیقی از تابع موج بده تا اینکه مکس بورن در مقاله‌ی ۱۹۲۶ نتیجه گرفت چگالی احتمال مکان ρ توسط حاصل ضرب تابع موج در مزدوج مختلط خودش حساب میشه که به قاعده‌ی بورن مشهور شد

واقعا نمی‌شه طول موج دوبروی رو برای این نوع از پاسخها (که دقیقترم هستند!) مشخص کرد. هر طول موج دوبروی یه تکانه‌ی خاص نتیجه میده پس معادله‌ی شرودینگر ذرهایی رو توصیف میکنه که میتونن در یک لحظه چندین تکانه‌ی متفاوت داشته باشن! به طور کلی نه فقط تکانه، کل پارامترهای فیزیکی مرتبط با یک ذره در مکانیک کوانتومی وضعیت مشابهی دارند، هر ذره در هر لحظه تمامی حالت‌های فیزیکی ممکن (مثلاً تکانه و مکان) رو داره که معادله‌ی شرودینگر چگونگی و تحولشون رو توصیف میکنه. به این خاصیت اصل برهم‌نهی گفته میشه. بخاطر این خصوصیت ذرات کوانتومی و از جایی که فیزیک کلاً در مورد مشاهده و اندازه‌گیریه الآن باید مشاهده و اندازه‌گیری در مکانیک کوانتومی رو معرفی کنیم، عمل مشاهده شامل هرگونه رفتاریه که توسط یک ابزار مشاهده برای استخراج اطلاعات از تابع موج ذره یا سیستم کوانتومی انجام میشه، مشاهده و اندازهگیری بدون دستکاری ذره و درنتیجه تابع موج امکان پذیر نیست و همواره باعث فروریختن تابع موج میشه، زمانی تابع موج یک سیستم کوانتومی فرومیریزه که تنها یکی از حالت های فیزیکی ممکن رو نشون بده یا به عبارت دیگه، برخلاف ماهیت ذرات که در هر لحظه تمامی حالتهای فیزیکی ممکن رو اشغال کردن نتیجه‌ی مشاهده یا اندازهگیری تنها یکی از این حالت‌های ممکنه، با این وجود توجیه کامل تمامی پدیده‌های مرتبط با مکانیک کوانتومی بدون در نظر گرفتن اصل برهمنهی ممکن نیست! (یک مثال خوب آزمایش دوشکافه) ولی میشه مشخص کرد کدوم حالت در یک آزمایش پیش میاد؟ نه، ولی با قاعده‌ی بورن احتمال پیش آمدن یکی از حالت‌های فیزیکی ممکن در یک آزمایش رو میشه محاسبه کرد

برخلاف نتیجه‌ای که حاصل کردیم برخی پاسخ‌های معادله‌ی شرودینگر ترکیبی از چندین موج سینوسی و طول موج دوبروی هستند یه همچین چیزی:

رابطه‌ی بالا دو مجموع دو plane wave رو نشان میده که هر دو با تکانه ی p یکی در جهت محور x و دیگری در خلاف جهت محور x حرکت می‌کنند، در واقع به نظر میرسه تابع موج به سد پتانسیل برخورد میکنه و در جهت مخالف بازتاب میشه، یعنی یک ذره همزمان که در جهت محور x حرکت میکنه در خلاف جهت اون هم حرکت می‌کنه! برآیند این دو موج یک موج سینوسیه که در طول زمان نوسان میکنه