Культурный математик

Начнем с миноискателей и проноса телефонов. Практически ни одна страна не прошла мимо этой плодотворной дебютной идеи. Наши власти в данном случае ведут себя очень смирно. В Индии и Китае, например, категорически распознают лица, радужную оболочку глаза и прочие отпечатки пальцев. Сами понимаете - опыт 2000 лет, Конфуций, культ образованного человека на выходе дают гораздо более азартных абитуриентов, на фоне которых наши воспринимаются как замороженные черепахи. При всем при этом в Китае ежегодно ловят пару тысяч чудаков, которые проникли на гаокао вместо другого чудака. Более того, в туалет зашел/вышел - опять по новой металлы на твоем бренном теле детектируют. Это вам не Россия, где люди, знакомые с темой, хорошо знают, что туалет есть и место схрона телефона, и филиал научного общества учащихся, где можно обсудить насущные научные вопросы с коллегами по академии ЕГЭ. Глушилки на этом фоне мелочь, не достойная нашего с вами внимания. В Китае тупо стройки останавливают рядом со школами и улицы закрывают для транспорта. Про стройки ничего сказать не могу, а движение в Китае (как и везде в Азии) точно шумноватое. Но даже Китай отдыхает рядом с Южной Кореей. Во время ЕГЭ по английскому языку в Республике Корея на 30 минут останавливают взлет и посадку самолетов. Аудирование, понимаешь. Ребенок может вопрос не расслышать. Так-то и не поспоришь. Но российский аэропорт этим соображением точно не остановить. Удивил? Ничего-ничего. Мир ЕГЭ и не такие чудачества видит. Продолжение следует.

Погнали. Итак, изюминки ЕГЭ: 1) стандартизированные бланки ответов + компьютерная проверка - это, конечно, с США взято. Они там на этом зациклены с конца 19 века (это я не про компы, если кто не понял). 2) Единый выпускной - это французский опыт. 3) Единый вступительный сразу во все вузы страны - это, конечно и безусловно, китайский гаокао. Кстати, я даже названий аналогов приводить не буду. Зачем? Но гаокао - это всем гоакао гаокао. Почти полный аналог ЕГЭ. Точнее, ЕГЭ - младший брат гаокао. Если смотреть страны, в которых есть три изюминки ЕГЭ (смотри начало текста), то их всего штук 10-15 по всему миру. Но прикол в том, что функция выпускного экзамена ЕГЭ категорически лишняя (мои бывшие студенты, по моим наивным надеждам,помнят об этом). Если убрать эту функцию, то по двум изюминкам (стандартные тесты + единый вступительный) экзамены проводят стран 30. Из них наиболее авторитетные и уважаемые в Китае, Турции и Южной Корее. Забавно, но и приколы, которые я буду описывать, тоже связаны с ними. Переходим к приколам. Под приколами я понимаю металлодетекторы на входе (с раздевательными скандалами) и глушилки сотовой связи в помещениях для проведения ЕГЭ. Как развлекаются в других странах? Об этом ниже/позднее.

Расскажу приколы про ЕГЭ. Благо только приемная кампания в вузы прошла. Почти, коммерсы остались. Не буду грузить вопросами как так с каждым годом ЕГЭ все хуже и хуже справляется со своей единственной задачей - ранжировать абитуриентов. Кстати, это истинная правда. Все хуже и хуже, система все более и более разбалансируется. Я поговорю только о процедуре проведения, ее особенностях в России и расскажу про приколы "ихних ЕГЭ" в других странах.

Поскольку труд про раннее христианство фундаментальный, то я даю ссылку только на последнее сообщение. В нем есть ссылки на все статьи цикла. https://t.me/catx2/7129

В то же самое время он углубился в еще один предмет, тесно связанный с его алхимическими опытами и исследованием античной мудрости: он начал изучать Писание. На обороте черновика письма к Ольденбургу, в котором он заявлял о намерении оставить «философию», он набросал кое-какие сведения, касающиеся ветхозаветных пророчеств.Особенно усердно он изучал пророчества Даниила и Откровение Иоанна Богослова. Он пытался отыскать вечную истину. Для него между наукой и теологией не существовало разрыва: они являлись частью одной задачи. И теология, и наука в равной мере служили путями Господними, ключами к истинному пониманию Вселенной. Он был философом в древнем смысле этого слова – искателем мудрости. В одном из своих предыдущих трактатов, De Gravitatione, он предположил, что «между способностями Божественными и нашими собственными имеется гораздо более значительное сходство, нежели представлялось философам». Ему хотелось быть ближе к Божественному. Как и следовало ожидать, Ньютон изучал Ветхий Завет тщательно и скрупулезно. Он сделал больше тридцати переводов-версий Библии. Он выучил древнееврейский, чтобы изучать тексты пророков в оригинале. Он завел особую книжку, куда заносил основные вехи своих изысканий, с заголовками вроде Incarnatio или Deus Pater. Он собрал огромную библиотеку святоотеческой и библейской литературы. В своем жадном стремлении к подлинному знанию он прочел труды всех авторитетных специалистов по данному вопросу, писавших в предшествующие столетия, и освоил основные тексты современной ему теологии, теологии XVII века. Он желал овладеть предметом, как раньше овладел оптикой и математикой. После его смерти осталась незавершенная рукопись по библеистике объемом около 850 страниц, а также множество разрозненных бумаг и заметок. В особенности Ньютона заинтересовал один ученый диспут IV века: в ходе его разбора он пришел к выводу, что истинная вера (протестантизм, каким он его понимал) с годами претерпела губительные искажения. Горячие споры велись в те древние времена между Арием и Афанасием. Афанасий защищал концепцию, позже ставшую ортодоксальной доктриной о Троице, где Христос рассматривался равным, или «единосущим», Богу. Арий возражал против этой доктрины, отрицая, что Христос – одной сущности с Богом. Взгляды Афанасия были приняты Никейским собором 325 года и стали частью Никейского Символа веры.Однако в ходе методичного изучения библейских текстов Ньютон пришел к выводу, что Афанасий совершил подлог, умышленно вставив в текст Священного Писания важнейшие слова, подтверждавшие его возражения против теории, согласно которой Христос является Богом. В этом деянии его поддержала римская церковь, и это искажение священных текстов стало причиной искажения собственно христианского вероучения. Чистоту и веру, свойственные раннехристианской церкви, разрушили рьяные фанатики, «стремившиеся преклоняться перед иллюзией Троицы, или Триединого Бога. Математические и духовные взгляды Ньютона шли вразрез с такой позицией. Поддерживая Ария, Ньютон объявил, что священники и епископы церкви в своем поклонении Христу занимаются идолопоклонством. Прочитав слова одного из своих единомышленников-ариан, Ньютон обнаружил: «То, что столь долго именовалось арианством, есть не что иное, как старое, неповрежденное христианство, а Афанасий послужил мощным, коварным и злокозненным орудием этой перемены». В своей записной книжке Ньютон провозглашал, что «Отец – Бог Сына». Кроме того, Ньютон считал, что подлинная религия берет свое начало от сыновей Ноя и что ее несли дальше Авраам, Исаак и Моисей. Пифагор, приняв эту религию, передал ее своим ученикам. Христос, с его простыми призывами возлюбить Бога и ближнего своего, являл собой пример этой первоначальной веры. Позже в одной из своих рукописей Ньютон замечал, что мы должны преклоняться «пред единственным незримым Богом», признавая «единственного посредника меж Богом и человеком – человека по имени Иисус Христос». Чтобы не погубить душу, «мы не должны молиться двум Богам». Не следует поклоняться Христу. Иисус был наполнен Божественным духом, но он не являлся Богом. из книги П. Акройда "Ньютон"

Друзья мои! Предлагаю немножко позаниматься вопросами истории религии. Точнее, историей ровно одного вопроса - догмата христианской веры о триединстве (или триединой природе) Бога. Просто мне на глаза попалась интереснейшая серия статей, в которой ведется, рассказ о нескольких веках теологических споров. Мне это показалось очень содержательным: то, что нам кажется, незыблимым, таковым когда-то не являлось. Но привязать к нашей математической тематике это чисто историческое исследование я не мог. Поэтому терпеливо ждал. Дождался. Деятельность Исаака нашего Ньютона. И его воззрения на триединую природу Бога в христианстве. Сначала пост о Ньютоне, потом ссылки по истории. 👇👇👇👇

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Эка невидаль - последовательность Фибоначчи. Все посвящённые в тему даже назовут задачу, которую сформулировал сей достойный сын синьора Боначчи (вспомнили? На самом деле Фибоначчи - это отчество. На самом деле - Леонардо Боначчиевич Пизанский). Задача про размножающихся кроликов. "Книга абака". Фибоначчи сам придумал последовательность имени себя или не очень? Ответа мы уже не узнаем. Ибо в книжке своей (сам об этом пишет) пересказывает арабскую и индийскую математическую традицию. А вот эти 1, 1, 2, 3, 5 и так далее индусы знали задолго до Фибоначчи. На фото - Хемачандра. А до него были Гопала, Вираханка, Пингала. Вот только занимались они не кроликами, а стихотворными размерами и санскритской поэзией. И если уж мы вспомнили связь математики и поэзии (матметоды в стихосложении), то обязаны упомянуть работы Андрея Николаевича Колмогорова. Мир тесен. А мир идей тесен тройне.

В Великобритании разоблачили многонационального Мюнхаузена. Где-то месяц назад британская пресса выяснила, что самый молодой профессор Кембриджа, Джейсон Ардей, оказался примитивным плагиатором – свои основные научные труды изготовил при помощи простейшего рерайта. Тем не менее, электронная система антиплагиата не выявила «критически огромное» число заимствований, хотя была введена в Великобритании в 1997 году и постоянно совершенствуется. Основные работы ученого были изданы маститыми журналами, диссертации защищены, а в 2023 году ему было присвоено звание профессора – на тот момент, в свои 38 лет, это был самый молодой профессор Кембриджского университета. Судя по всему, его тексты вообще не пропускали через антиплагиат. За что такое счастье? За то, что Ардей – сын мигрантов из Ганы. Он являлся своего рода диверсити-знаменем Кембриджа, поскольку кроме происхождения являлся обладателем целого спектра модных расстройств – аутизм, биполярное расстройство и дислексия. Университет гордился тем, что именно в его стенах люди с такими отправными данными могут делать стремительные научные карьеры. Ардей уже уволился, но самое интересное началось после. Подробности его жизненного пути оказалась под пристальным вниманием, поэтому выяснилось следующее: Во-первых, не очень понятно, Ардей это или не Ардей, не удалось даже установить точной даты его рождения. Во-вторых, не удалось найти подтверждения модных когнитивных расстройств, которые он себе приписывал. В-третьих, в университет его приняли без экзаменов, поскольку Ардей утверждал, что перенес операцию на головном мозге. Но документальных следов этой операции найти не удалось. В-третьих, яркие детали его биографии также не нашли подтверждения. Ученый позиционировал себя, как спортсмена-благотворителя, утверждая, что бегает супермарофоны, под которые собирает средства для различных фондов – это оказалось ложью В-четвертых, годом ранее разоблачительный материал по Ардею начал готовить Джек Гроув, журналист издания Times Higher Education, который написал профессору электронное письмо, попросив уточнить биографические данные. Профессор тут же переслал это в Скотланд-Ярд, и британские менты начали прессовать журналиста, завели дело о преследовании на почве расизма, запретили контактировать с Ардеем. Теперь, зная контекст, забавно ознакомиться с заглавиями его популярных работ: «Крутая Британия – многонациональная Британия». «Борьба с течением: понимание трудностей, с которыми сталкиваются чернокожие, азиаты и представители этнических меньшинств, получающие докторскую степень и стремящиеся построить академическую карьеру». «Никто не видит, как я плачу: проблемы психического здоровья чернокожих сотрудников и представителей этнических меньшинств в сфере высшего образования». «Попытка разорвать порочный круг: переосмысление инклюзивной педагогики и деколонизация учебных программ в академической среде».

Очень сложно пройти мимо такого. 😂😂😂😂👇👇👇👇👇

Известна история о том, как Александр Гротендик в 1988 году отказался от премии Крафорда в размере 270 000 долларов — по совпадению, в год, когда он достиг шестидесятилетия, то есть возраста, в котором вышел в отставку с должности в IHÉS. Он объяснил, что деньги ему не нужны и что из мира математики он ушёл ещё в 1970 году. Далее он сказал: «Единственное решающее свидетельство плодотворности идей или нового взгляда — это время. О плодотворности судят по потомству, а не по почестям». В письме Шведской академии, где он отклонял премию, Гротендик выразил также сильное возмущение: «Этика научной профессии — особенно среди математиков — пришла в такой упадок, что откровенное присвоение чужого труда коллегами, особенно за счёт тех, у кого нет ни положения, ни власти, чтобы защитить себя, стало почти общепринятым правилом: его терпят все, даже в самых вопиющих и повсеместных случаях». Позднее это письмо было опубликовано в парижской газете Le Monde. Гротендик добавил, что участие в игре под названием «принятие премий и почестей» означало бы одобрить «дух и тенденцию в научном мире, которые представляются мне глубоко нездоровыми и обречёнными вскоре исчезнуть — настолько они самоубийственны: и духовно, и интеллектуально, и материально». из книги S. Krantz "Mathematical Apocrypha Redux"

Друзья мои! Я несколько раз возвращался к идее митахондриальной Евы, которая жила 180 тысяч лет назад и Y-хромосомный Адам, живший около 150 тысяч лет назад, причиной своего существования имеют простую математику. Их единственность на таком огромном числе поколений практически неизбежна. Выше 👆👆👆👆👆👆4 ооооочень длинных поста об этом. Читать я и сам поленился, но пробежаться глазами... Почему нет? Кстати, жаль, что автор сам не обратил на это внимание.

Почти всегда конечно, но среднее бесконечно Вернёмся к критической модели бактерии: с вероятностью ½ бактерия погибает, с вероятностью ½ делится на две. Среднее число потомков равно 0·½ + 2·½ = 1. Такой процесс почти наверняка вымирает. Но можно спросить не только о вымирании, а об общем числе бактерий, которые успеют появиться за всё время. Если произошло m делений, то дерево потомства имеет m внутренних вершин и m+1 листьев. Всего бактерий: 2m+1. Значит, возможны только нечётные значения: 1, 3, 5, 7, ... Сколько есть разных деревьев с m делениями? Число Каталана: Cₘ = 1/(m+1)·C₂ₘᵐ. Каждое такое дерево имеет m делений и m+1 смертей, всего 2m+1 случайных исходов. Поэтому вероятность одного конкретного дерева равна   (½)²ᵐ⁺¹. Отсюда P(T=2m+1) = Cₘ/2²ᵐ⁺¹. Например: P(T=1) = 1/2; P(T=3) =1/8; P(T=5) = 1/16; P(T=7) = 5/128. Теперь важна асимптотика чисел Каталана: Cₘ ~ 4ᵐ/(√π·m³ᐟ²). Тогда P(T=2m+1) ~ 1/(2√π·m³ᐟ²). Вероятность больших деревьев убывает как m⁻³ᐟ². Это достаточно быстро, чтобы сумма вероятностей сходилась. Но недостаточно быстро, чтобы сходилось среднее: E(T) = Σ(2m+1) · P(T=2m+1). Слагаемое ведёт себя как константа, умноженная на m⁻¹ᐟ², а ряд  Σm⁻¹ᐟ²  расходится. Значит, E(T) = ∞. Получается внешне противоречивая картина: процесс почти наверняка когда-нибудь закончится; но среднее общее число бактерий за всё время бесконечно. Почти все деревья конечны. Просто распределение имеет тяжёлый хвост: редкие очень большие деревья дают бесконечный вклад в математическое ожидание. Похожий эффект возникает в обычном случайном блуждании. Если точка стартует из 0 и каждый раз с равными вероятностями идёт на 1 вправо или на 1 влево, то она почти наверняка когда-нибудь вернётся в 0. Но среднее время первого возвращения бесконечно. Причина та же: вероятность очень долгого ожидания убывает медленно, примерно как n⁻³ᐟ². Этого хватает, чтобы возвращение произошло почти наверняка, но не хватает, чтобы среднее время ожидания было конечным. Похожий эффект встречался нам в Санкт-Петербургском парадоксе и горне Гавриила. Там тоже конечность одного параметра не гарантирует конечности другого: игра почти наверняка заканчивается, но ожидаемый выигрыш бесконечен; объём горна конечен, но площадь поверхности бесконечна. Здесь аналогично: дерево почти наверняка конечно, но его средний размер бесконечен.

Среднее растёт, медиана равна нулю   В модели Уотсона–Гальтона из прошлой заметки среднее число сыновей-продолжателей равно 1,25. Значит, через 10 поколений среднее число носителей фамилии от одного исходного мужчины равно 1,25¹⁰ ≈ 9,3. Но вероятность исчезнуть к десятому поколению в той же модели составляет примерно 0,53. То есть к этому моменту больше половины фамилий уже имеют 0 носителей. Поэтому медиана равна 0, хотя среднее равно 9,3. Противоречия здесь нет. Среднее считается по всем исходным фамилиям: и по исчезнувшим, и по выжившим. Если 53% фамилий исчезли, то среднее 9,3 создаётся оставшимися 47%. Среди выживших фамилий среднее число носителей к десятому поколению будет примерно 9,3/(1−0,53) ≈ 20. То есть картина не такая: каждая фамилия понемногу растёт. А такая: больше половины фамилий исчезли; среди выживших среднее число носителей около 20. Это типичная особенность ветвящихся процессов. Математическое ожидание может расти, хотя наиболее вероятный или медианный исход равен нулю. Причина в нуле как поглощающем состоянии. Если фамилия исчезла, дальше она уже не восстановится. А выжившие линии продолжают ветвиться и дают вклад в среднее. Та же разница между средним и типичным исходом появляется в других моделях с ветвлением: ранние цепочки заражений, полезные мутации, цепные реакции. Пока ветвей мало, распределение очень несимметрично: много нулей и длинный правый хвост. Поэтому вопрос «сколько будет в среднем?» и вопрос «что обычно случится с одной линией?» в таких задачах дают разные ответы.

Почему исчезают фамилии   У задачи про бактерию есть близкий исторический родственник — задача о вымирании фамилий. Пусть фамилия передаётся только по мужской линии: от отца к сыну. Тогда судьба фамилии зависит не от общего числа детей в семье, а от числа сыновей, которые доживут до взрослого возраста и смогут передать фамилию дальше. Если у мужчины нет таких сыновей, эта ветвь фамилии обрывается. Если один сын — линия продолжается одной ветвью. Если два или больше — фамилия разветвляется. Получается ветвящийся процесс: каждый человек в текущем поколении даёт случайное число продолжателей в следующем. В задаче про бактерию была совсем простая схема: 0 потомков или 2 потомка. Для фамилий такая схема слишком груба. У мужчины может быть 0, 1, 2, 3, ... сыновей. Поэтому вместо двух вероятностей нужно задать целое распределение. Уотсон и Гальтон в статье о вымирании фамилий рассматривали, например, такую модель: число взрослых сыновей распределено как Bin(5, ¼). То есть как будто у каждого мужчины есть 5 независимых «попыток» получить сына-продолжателя, и каждая попытка успешна с вероятностью ¼. Число ¼ здесь — параметр модельного примера. Это не точная статистика по конкретной стране, а удобная модель. Но она хорошо показывает сам эффект. По биномиальной формуле получаются вероятности: 0 сыновей: (¾)⁵ ≈ 0,237; 1 сын: 5·¼·(¾)⁴ ≈ 0,396; 2 сына: 10·(¼)²·(¾)³ ≈ 0,264; 3 сына: 10·(¼)³·(¾)² ≈ 0,088; 4 сына: 5·(¼)⁴· ¾  ≈0,015; 5 сыновей: (¼)⁵ ≈ 0,001. Среднее число сыновей, продолжающих фамилию, равно 5·¼=1,25. То есть в среднем на одного мужчину приходится больше одного продолжателя фамилии. Кажется, что при таком среднем фамилия должна уверенно сохраняться. Но это не так. Пусть P — вероятность того, что фамилия когда-нибудь исчезнет. Если у первого мужчины 0 сыновей, фамилия исчезает сразу. Это даёт 0,237. Если у него 1 сын, должна исчезнуть одна ветвь. Вероятность этого P. Если 2 сына, должны исчезнуть обе независимые ветви. Вероятность P². Если 3 сына — P³. И так далее. Поэтому P должно удовлетворять уравнению P=0,237+0,396P+0,264P²+0,088P³+0,015P⁴+0,001P⁵. Это тот же ход, что в задаче про бактерию, только вместо короткого уравнения P=q+pP² получается более длинное. У этого уравнения всегда есть корень P=1: полное вымирание формально возможно. Но когда среднее число продолжателей больше 1, появляется ещё один корень между 0 и 1. Именно он и даёт настоящую вероятность вымирания. В этой модели меньший корень примерно равен P ≈ 0,55. То есть даже при среднем числе сыновей 1,25 вероятность окончательного исчезновения фамилии — около 55%. Это главный эффект ветвящихся процессов. Среднее больше 1 означает не гарантию выживания, а только положительный шанс выжить. Одна неудача в раннем поколении может оборвать всё дерево. Если в какой-то момент продолжателей стало 0, процесс попал в ноль, а из нуля уже нельзя выйти. Поэтому в большой популяции могут одновременно происходить две вещи: население по мужским линиям в среднем растёт, а большинство отдельных фамилий всё равно исчезает. Выжившие фамилии потом могут стать очень многочисленными. Но это не обязательно значит, что они были «сильнее». Часто это значит, что их ветви просто не оборвались в первых поколениях. В обычных задачах на среднее мы смотрим на массу. В ветвящемся процессе важен другой вопрос: что станет с одной конкретной линией? Среднее говорит: процесс в целом способен расти. Вероятность вымирания говорит: отдельная линия всё равно может исчезнуть навсегда. Так что задача про бактерию из ЕГЭ не такая искусственная, как кажется. Она является маленькой моделью фамилий, родов, популяций, цепных реакций, эпидемий — всего, что не просто продолжается, а ветвится.

Цепи Маркова в задаче из первой части ЕГЭ Бактерия каждый час либо делится на две точно такие же бактерии с вероятностью 5/7, либо погибает с вероятностью 2/7. В начале в пробирке была одна бактерия. Какова вероятность того, что через некоторое время в пробирке не останется ни одной бактерии? На вид это обычная задача на вероятность. Но в ней есть неприятная для школьного экзамена особенность: процесс может продолжаться сколь угодно долго. Нельзя просто нарисовать дерево на два-три шага и честно перебрать все варианты. Попробуем всё-таки решить. Пусть P — вероятность того, что потомство одной бактерии в конце концов исчезнет. После первого часа есть два варианта. Первый: бактерия погибла. Вероятность этого равна q=2/7. Тогда всё уже закончилось. Второй: бактерия разделилась на две. Вероятность этого равна p=5/7. Теперь нужно, чтобы исчезло потомство обеих бактерий. А каждая из них начинает такую же историю, как исходная бактерия. Поэтому вероятность исчезновения двух независимых «семейств» равна P². Получаем уравнение P=q+pP². Отсюда pP²−P+q=0. Так как p+q=1, это уравнение можно записать так: (P−1)(P−q/p)=0. Значит, P=1 или P=q/p. В нашей задаче q/p=(2/7)/(5/7)=2/5. Ответ: 2/5.   Почему не 1? Формально корень P=1 тоже появился в уравнении. Но он соответствует другой ситуации: когда размножение не сильнее гибели, популяция почти наверняка когда-нибудь вымрет. Если же p>q, то у процесса есть шанс «убежать в бесконечность»: бактерий становится всё больше, и полное вымирание уже не гарантировано. У нас p = 5/7 > 2/7 = q, поэтому вероятность вымирания равна не 1, а q/p=2/5.   Та же самая задача известна в более наглядной формулировке. Пьяница стоит в одном шаге от края обрыва. Каждый раз он делает случайный шаг: к обрыву с вероятностью q или от обрыва с вероятностью p=1−q. Какова вероятность того, что он когда-нибудь упадёт? Если он сразу делает шаг к обрыву, то падает. Это даёт вероятность q. Если он делает шаг от обрыва, то оказывается уже в двух шагах от края. Чтобы упасть, ему сначала нужно когда-нибудь вернуться в один шаг от края, а затем уже из этого положения упасть. Получается та же структура, что и в задаче про бактерии: P=q+pP². Можно посмотреть и иначе: считать вероятности падения ровно на 1-м, 3-м, 5-м, 7-м шаге и так далее. На первом шаге вероятность равна q. На третьем шаге путь только один: 1 → 2 → 1 → 0, поэтому вероятность равна q²p. На пятом шаге возможны уже два пути: 1 → 2 → 3 → 2 → 1 → 0, 1 → 2 → 1 → 2 → 1 → 0. Поэтому вероятность равна 2q³p². Дальше появляются коэффициенты 1, 1, 2, 5, 14, 42, ... Это числа Каталана. Они считают пути, которые не пересекли границу раньше времени. То есть пьяница должен впервые упасть в обрыв именно на последнем шаге, а не раньше. Так в задаче из первой части ЕГЭ неожиданно появляются сразу несколько больших тем: случайные блуждания, пути Дика, числа Каталана, цепи Маркова.   Цепь Маркова — это случайный процесс, в котором будущее зависит от настоящего состояния, но не зависит от всей предыдущей истории. Не важно, как именно пьяница оказался в одном шаге от края. Важно только то, что он сейчас находится в одном шаге. Дальше процесс начинается как бы заново. То же самое с бактерией. Если после деления появились две бактерии, то каждая из них начинает такую же независимую историю, как исходная. Именно это «забывание прошлого» позволяет написать короткое уравнение вместо бесконечного дерева вариантов.   На уровне ЕГЭ эта задача, конечно, выглядит странно. Для первой части она слишком нетипична: ответ простой, но честное обоснование уводит далеко за пределы стандартных школьных приёмов. Но как математический сюжет она замечательна. Один случайный шаг сам по себе почти ничего не значит. Но если шаги повторяются снова и снова, возникает целая траектория. И тогда нас интересует уже не только то, что случится на следующем шаге, а судьба всего процесса: вымрет популяция или нет (упадёт ли пьяница, достигнет ли случайное движение границы).

Друзья мои! Я несколько раз возвращался к идее митахондриальной Евы, которая жила 180 тысяч лет назад и Y-хромосомный Адам, живший около 150 тысяч лет назад, причиной своего существования имеют простую математику. Их единственность на таком огромном числе поколений практически неизбежна. Ниже 4 ооооочень длинных поста об этом. Читать я и сам поленился, но пробежаться глазами... Почему нет? 👇👇👇👇

Приветствую, господа! Шестая часть цикла "Время" наконец расскажет о том, как измеряют время белые люди и к чему это может привести. Прошу! Часть I Часть II Часть III Часть IV Часть V #Зиннер #Лонг Подписаться: @catx2 Предложить пост — сюда