Математика не для всех

Коды, исправляющие ошибки, проще всего описать с точки зрения того, какие ошибки они могут исправить. Например, код Адамара, использованный для зонда Mariner 9, отправленного к Марсу, кодировал каждый 6-битный пиксель в 32-битное кодовое слово таким образом, что исходный пиксель можно было восстановить, если при передаче было повреждено не более 7 бит. Какова вероятность того, что поврежденный пиксель можно будет восстановить? Это зависит от вашей вероятностной модели. Предположим, что вероятность инвертирования каждого бита равна p и что ошибки независимы друг от друга. (Независимы ли ошибки друг от друга, то есть если один бит инвертируется, то с какой вероятностью инвертируется следующий бит? Это зависит от контекста.) Вычислить вероятность того, что инвертируются 7 или менее битов из 32, несложно. Это кумулятивное распределение биномиальной случайной величины. Следующий код на Python вернет вероятность k или меньшего количества успешных исходов из n попыток, каждая из которых имеет вероятность успеха p: from scipy.stats import binom print(binom.cdf(k, n, p)) Например, если вероятность того, что каждый бит перевернется, составляет 10%, то вероятность того, что перевернутся 7 или менее битов из 32, составляет 98,8%. Однако это дает лишь нижнюю границу вероятности исправления ошибки. Если при передаче перевернутся восемь битов, мы не сможем с уверенностью сказать, какое кодовое слово было отправлено, но есть несколько наиболее вероятных вариантов. Нам придется гадать, но мы сузили круг возможных вариантов. При большем количестве перевернутых битов всегда есть шанс восстановить исходные данные. Тем не менее нижняя граница отражает большую часть вероятности восстановления. Теперь предположим, что вам известна желаемая вероятность восстановления после ошибки и вам нужно определить, какое значение p она может выдержать. Например, кто-то может сказать, что ему нужна вероятность правильного восстановления пикселя 98,8 %, а вы можете возразить, что p должно быть меньше или равно 0,1. Это будет консервативный ответ, потому что, как уже говорилось выше, при p = 0,1 вероятность восстановления пикселя будет выше 98,8 %, хотя подсчитать, насколько выше, довольно сложно. Вы можете найти p методом проб и ошибок или использовать более сложные математические методы для непосредственного вычисления p. Зная вероятность F, вы можете найти p таким образом, чтобы вероятность k успешных исходов из n испытаний вычислялась с помощью обратной функции регуляризованной неполной бета-функции. from scipy.special import betaincinv p = 1 - betaincinv(n - k, k + 1, F) Вычисление F при заданных n, k и p может быть домашним заданием на вводном курсе по теории вероятностей. Для решения задачи p при заданных F, n и k потребуется либо численное программирование, либо специальные функции, так что это будет более сложная задача.

Подготовка к вступительным экзаменам в ШАД 120+ поступивших в ШАД. Преподаватели МГУ. Гарантия результата. Вы поступите в ШАД, магистратуру или мы зачислим Вас на следующий поток бесплатно Узнать больше #реклама 16+ shadhelper.com О рекламодателе

Докажи эту теорему, не допускай ошибок Последние месяцы часто появляются новости о том, что ИИ доказал или опроверг очередную математическую гипотезу или теорему. Самый частый пример — проблемы Эрдёша, которые долгое время оставались нерешёнными, но всё чаще закрываются усилиями нейросетей. А теперь предполагаемое влияние ИИ стало заметно и по числу новых публикаций в крупнейшем архиве научных публикаций и препринтов arXiv.org, которое стремительно растёт. Подписывайтесь 👉 @techno_yandex

Легкий мнемонический способ запоминания значений тригонометрических функций

- Какая pазница междy математикой и наyчным коммyнизмом? - В математике что-то дано и что-то тpебyется доказать. А в наyчном коммyнизме ничего не дано и все доказано.

Математика не для всех pinned a photo

🏆 БВИ, топовые школы и победы на ВсОШ – это не магия, а правильная стратегия подготовки 14-18 августа пройдет большой бесплатный интенсив по физике для 5-9 классов. Два уровня программы: от уверенной школьной базы до подготовки к олимпиадам Что будет на интенсиве: – разбор важных тем перед новым учебным годом – онлайн-уроки с топовыми преподавателями, которые ежегодно готовят призеров олимпиад – разбор методов решения олимпиадных задач – тренировочные олимпиады школьного и регионального этапа За 5 дней мы выстроим четкую траекторию подготовки, покажем текущий уровень и дадим старт к первым победам А за подписку на канал вы получите наши самые ценные знания: лучшие лекции, методички и подборку из 500+ задач на всевозможные темы по физике 🎁 Переходите по ссылке, подписывайтесь и присоединяйтесь к интенсиву https://t.me/+nFSijsd71KdkMzFi

Колдунский ребус

Claude продвинулась в решении задачи, связанной с гипотезой Римана — одной из самых известных нерешённых проблем математики Недавно один из сотрудников Anthropic бросил Клоду нереалистичный вызов. Речь шла об одной из самых известных нерешенных математических задач: Попробуйте доказать гипотезу Римана. Claude действительно предпринял попытку, но, как и следовало ожидать, если вы знакомы со сложностью задачи (гипотеза Римана была выдвинута в 1859 году и за ее доказательство назначена премия в миллион долларов), она не увенчалась успехом. Тем не менее в ходе этой попытки программа неожиданно продвинулась в решении смежной задачи. Невыпущенная исследовательская версия Claude улучшила давнюю нижнюю границу доли нулей дзета-функции Римана, удовлетворяющих гипотезе Римана. Опираясь на обширные исследования, проведенные математиками за последние десятилетия, он увеличил этот показатель с 41,6% до 67,2%. Два математика из Anthropic изучили и проверили статью Клода и подготовили неофициальную заметку для экспертов, в которой кратко изложили доказательство Клода. Клод также представил формально проверяемое доказательство своего результата. Мы благодарны Брайану Конри и Дэну Голдстону, двум экспертам в этой области, которые любезно ознакомились со статьей в кратчайшие сроки. Мы не ожидаем, что методы, использованные Claude, приведут к доказательству гипотезы Римана. Но его работа — это новейший пример стремительного развития математических возможностей ИИ. В этом посте мы расскажем, как Claude подошел к решению этой задачи и что он обнаружил. Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана описывает распределение простых чисел: каждое место, где функция принимает значение нуля, вносит все более точную информацию в последовательность простых чисел. Гипотеза Римана заключается в том, что все нули, определяющие простые числа, лежат на определенной вертикальной линии. Это одна из самых важных математических гипотез: многие результаты предполагают ее истинность, чтобы объяснить случайность распределения простых чисел. Доказать или опровергнуть гипотезу Римана пока никому не удалось, но математики добились прогресса во многих смежных областях, изучая дзета-функцию Римана и ее нули. Одна из таких областей, как уже было сказано выше, — это определение минимальной доли нулей, лежащих на прямой: со временем эта известная постоянная доля была увеличена до 41,6%. Другая область — распределение нулей на прямой. В частности, в 1973 году Монтгомери предложил ряд новых методов в этой области, хотя эти методы основывались на предположении, что гипотеза верна. Совсем недавно несколько математиков (Балуйот, Голдстон, Сурияджая и Тёрнейдж-Баттербо) опубликовали сериюработ, которые позволяют использовать методы Монтгомери без этого предположения, то есть они могут способствовать работе по увеличению нижней границы количества нулей на прямой. Результат Клода во многом опирается на это направление исследований, а также на статью Бомбьери 2000 года. Открытие Клода Клод обнаружил, что объединение результатов исследований Балуйота, Голдстона, Суриаджайи и Тёрнеджа-Баттербо с работой Бомбьери позволяет преодолеть нижнюю границу предыдущего уровня в 41,6%, увеличив ее до 67,2%. Полное техническое объяснение доступно в статье. Объяснение Клодом того, как он пришел к своему результату, приводится в отдельном прилож

Вообще, это ориентированный граф

Ахах, но, как говорится, есть один математический нюансик...

Теорема Кронекера ✍️ Эта диаграмма иллюстрирует теорему Кронекера — один из самых прекрасных и удивительных результатов в математике. Она была открыта немецким математиком XIX века Леопольдом Кронекером в 1884 году. Теорема описывает замечательный узор, который проявляется, когда вы берёте определённые иррациональные числа, умножаете их на целые числа — один, два, три, четыре и так далее — и сохраняете только дробные части результатов, отбрасывая целочисленные части. Удивительный вывод заключается в том, что последовательность точек, которую вы генерируете, в конечном итоге равномерно заполняет всё многомерное пространство, приближаясь произвольно близко к любой возможной точке, не повторяясь никогда. На картинке показаны два визуальных примера: слева — двумерный квадрат, заполненный разбросанными синими точками, представляющими два иррациональных числа, а справа — трёхмерный куб, заполненный красными точками, представляющими три таких числа. В обоих примерах точки кажутся разбросанными по всему пространству без видимой кластеризации и без очевидных пустых зон, словно их посыпали случайно; однако на самом деле они генерируются полностью детерминированной математической процедурой. Теорема требует особого условия для выбранных иррациональных чисел: они должны быть "линейно независимыми над рациональными числами". Это просто означает, что между ними не может быть никаких скрытых простых связей. На практике это значит, что все числа должны быть иррациональными и действительно независимыми друг от друга, а не простыми кратными или комбинациями друг друга. Идеальный пример, удовлетворяющий этому условию, — это множество корней квадратных из двух, трёх и пяти. Когда это условие выполнено, последовательность точек, генерируемая процедурой, становится "плотной" в том, что математики называют единичным тором. Это по сути квадрат или куб с склеенными противоположными краями, подобно старым видеоиграм, где вылет с одной стороны экрана возвращает вас на другую. Термин «плотная» имеет точное и мощное значение: независимо от того, насколько малую целевую область вы нарисуете где угодно в пространстве, какая-то точка последовательности в итоге окажется внутри неё. Нет такой области, которую последовательность навсегда избегает, или такой щели, которую она не посетит при достаточном времени. Условие линейной независимости жизненно важно для теоремы. Без него всё рушится. Если иррациональные числа имеют скрытые связи, последовательность точек будет ограничена особыми линиями или кривыми вместо того, чтобы свободно распространяться, оставляя большие области пространства навсегда пустыми. Теорема прекрасно показывает, как кажущийся произвольным выбор нескольких подходяще независимых иррациональных чисел создаёт последовательность, которая в итоге посещает каждое окрестности в многомерном пространстве, порождая порядок из кажущегося хаоса. На любом конечном этапе точки кажутся случайными и непредсказуемыми. Однако, рассматриваемые в целом, они демонстрируют идеальную равномерность, заполняя пространство с математической точностью. Это один из основополагающих результатов теории эргодических систем — отрасли математики, изучающей долгосрочное поведение систем, эволюционирующих по простым правилам. Теорема также демонстрирует, как детерминированные процессы могут порождать поведение, кажущуюся случайным, хотя на самом деле оно следует точным фундаментальным законам. Помимо своей элегантности как чистой математики, теорема Кронекера имеет удивительно широкое применение в современной науке и технологиях. В физике она описывает движение маятников с иррациональными соотношениями частот, орбиты планет при определённых условиях и эргодическое поведение физических систем, которые поддерживают статистическую механику и термодинамику. В информатике она вдохновляет методы для создания равномерно распределённых последовательностей чисел, используемых в численном интегрировании, компьютерной графике, финансовом моделировании и методе Монте-Карло.

Важная математика без формул!

На первый взгляд нормальное, пуассоновское, биномиальное, экспоненциальное и другие распределения выглядят как отдельные математические конструкции. На самом деле они образуют связанную систему: одно распределение может переходить в другое через точное преобразование, частный случай или предельный процесс. Например, при большом числе испытаний и малой вероятности отдельного события биномиальное распределение приближается к пуассоновскому. Экспонента нормально распределённой величины имеет логнормальное распределение, бета-распределение с параметрами 1,1 превращается в равномерное, а распределение Стьюдента с одной степенью свободы совпадает с распределением Коши. Особенно много стрелок ведёт к нормальному распределению — во многом благодаря центральной предельной теореме.

Почему нейросеть умеет придумывать идеи, но пока не умеет мыслить как исследователь Есть довольно удобная иллюзия: если языковая модель выдала новую, логичную и технически убедительную идею, значит она уже почти сравнялась с человеком в научном мышлении. Авторы новой работы решили проверить не качество отдельных ответов, а сам «вкус» исследователя — то, какие проблемы человек и модель замечают в одной и той же литературе и каким способом пытаются их решить. Для этого взяли 11 683 опубликованные работы по машинному обучению и естественным наукам, восстановили набор предшествующих статей, из которых могла родиться каждая работа, а затем показали этот же контекст разным LLM. Человеческой идеей считалась реально опубликованная статья, модель должна была предложить собственное продолжение на основе тех же исходных материалов. Разрыв обнаружился не столько в том, способны ли модели придумать что-то разумное, сколько в том, насколько однообразно они это делают. Когда LLM видит рядом несколько работ, её любимый ход — найти между ними связь и предложить всё объединить: совместить два метода, связать разные направления, интегрировать данные, построить единую архитектуру. Среди человеческих идей только 12,1% были построены вокруг такого «моста» между существующими подходами. У моделей этот показатель составлял от 47,1 до 64,2%. Аналогичная картина с методами: синтез и объединение были главным приёмом лишь в 5,1% человеческих работ, но в 22,5–38,7% идей, созданных нейросетями. Получается, что модель часто действительно предлагает полезный проект, но делает это по одному и тому же рецепту: возьмём известную технологию, добавим к ней ещё одну известную технологию и объявим их соединение новым исследованием. Человеческие идеи устроены иначе. Исследователь гораздо чаще замечает конкретную трещину внутри уже существующего механизма: неверное допущение, смешение двух эффектов, плохо работающий модуль, отсутствие объяснения или способа измерения. Поэтому в человеческих работах чаще встречаются действия вроде «заменить», «разделить», «формализовать», а не просто «объединить». Например, модель может предложить соединить мультимодальную систему с адаптацией во время тестирования и получить универсальную архитектуру. Человек скорее спросит, почему конкретный компонент перестаёт работать при изменении данных, отделит влияние одного фактора от другого и заменит наиболее хрупкую часть системы. В первом случае идея выглядит масштабно и современно, во втором — может звучать скромнее, но точнее попадает в настоящий научный тупик. Особенно интересно, что расширенное рассуждение не исправило проблему. В режиме thinking модели не стали ближе к человеческому распределению идей, а, наоборот, ещё сильнее закрепились в привычном шаблоне. У Qwen доля идей, построенных на соединении разных подходов, выросла с 49,7 до 71,1%, а доля методов синтеза — с 38,7 до 52,2%. То есть дополнительное «мышление» в данном случае не расширило пространство вариантов, а помогло модели убедительнее и последовательнее прийти к своему любимому ответу. Даже полный текст предыдущих исследований вместо одних аннотаций не решил проблему: больше контекста не обязательно означает другой способ видеть проблему. Из этого, конечно, не следует, что LLM бесполезны для науки. Они прекрасно ускоряют поиск связей, перебор комбинаций и упаковку ещё неоформленной мысли. Но пока модель скорее сильный комбинатор, чем носитель исследовательского вкуса. Она умеет быстро построить мост между уже известными объектами, но реже замечает, что один из этих объектов вообще нужно разобрать, переопределить или выбросить. Поэтому наиболее продуктивная работа с нейросетью начинается не с просьбы «придумай новую идею», а с человеческого указания на точный конфликт: что здесь не объяснено, какое допущение кажется ложным, где система ломается и какой механизм мы на самом деле хотим понять. Нейросеть может развить такую постановку гораздо быстрее человека, но сам выбор того, куда смотреть, пока остаётся главным человеческим преимуществом.

МЕЧТА! Зачем кому-то может понадобиться LaTeX в терминале? Я задавал себе тот же вопрос. Потом я построил движок для рендеринга математики. Я больше никогда не вернусь назад. Автор https://x.com/thatmagicalcat_

Профессор РАН Андрей Соболевский о теореме Ферма: Забавно, что для человека с улицы самыми известными являются задачи, которые практической важности не имеют. Например, почему-то очень популярна Великая теорема Ферма про то, что некое уравнение не имеет решений в целых числах Это старая математическая задача, которую пыталась решить масса людей, совсем далеких от математики. Это было целое общественное явление "ферматистов", которое полностью исчезло после того, как теорема была доказана Она не попала в число семи проблем тысячелетия, потому что в конце ХХ века ее решил замечательный английский математик Эндрю Вайлс. Но сначала он опубликовал решение, в котором обнаружили пробел Представляете, какими сложными были для него следующие два года, когда он пытался эту дырку заполнить? Он ее заполнил, но за это время ему исполнилось 40 лет, а медаль Филдса, как известно, дается ученым до 40 И тогда на следующем Всемирном математическом конгрессе Вайлсу впервые и единственный раз была вручена специальная не золотая, а серебряная медаль Филдса — за мужество, с которым он довел это дело до конца Из интервью А.Соболевского "Огоньку"