Бассейн эргодичности

Магнитные краевые каналы возникают на границе двумерного электронного газа в магнитном поле как следствие квантования скачущих орбит (skipping orbits) – циклотронных орбит, прерываемых отскоками от границы. В этой работе рассмотрено квазиклассическое квантование скачущих орбит. На простейшем уровне через площадь такой орбиты, представляющей собой сегмент круга, должно проходить n + γ квантов магнитного потока, где n – целое число. Индекс Морзе-Маслова γ зависит от поведения потенциала, в котором электрон совершает одномерное движение перпендикулярно краю, вблизи точек поворота. Этот потенциал представляет собой потенциал гармонического осциллятора с жесткой стенкой. В случае скачущей орбиты одна точка поворота попадает на эту стенку, другая – на плавный квадратичный потенциал, из-за чего γ = ¾. Но более аккуратное решение квантовой задачи методом ВКБ показывает, что индекс γ плавно переходит между значениями ¾ и ½, когда орбита отдаляется от края. Ровно в точке касания края γ = 2/3. #уровни_Ландау

Бабочка Хофштадтера – это фрактальная картина энергетических уровней на решетке в магнитном поле, возникающая при варьировании магнитного потока, проходящего через ячейку. Автор этой работы исследовал процесс постепенного разрушения бабочки Хофштадтера при удалении случайных связей между узлами. На рисунке показано, что происходит при увеличении доли удаленных связей. Как видно, при этом в спектре появляется все больше локализованных состояний с энергиями, не зависящими от магнитного потока α. Такие состояния населяют древовидные кластеры соединенных узлов, не имеющие замкнутых петель и потому нечувствительные к фазе Ааронова-Бома со стороны магнитного поля. А известно, что древовидные кластеры часто возникают в случайных разреженных графах. Тем не менее, даже при сильных степенях разрушения в системе остаются отдельные состояния, чувствительные к магнитному потоку и сохраняющие общий геометрический каркас бабочки Хофштадтера. #уровни_Ландау

А вот небольшой обзор по методу перевзвешивания, где он трактуется несколько иначе – как простое изменение плотности распределения, по которой производится усреднение, влекущее за собой изменение средних значений. Плотность распределения может меняться по разным причинам: вследствие изменения температуры системы, при получении новой информации (обновляющей распределение согласно теореме Байеса), при наложении дополнительных условий и т.д. На рисунке показаны примеры того, как распределение меняется ρ₀(x) → w(x)ρ₀(x) при разных выборах весовой функции w(x). При мягких условиях w(x) плавно меняется на всем носителе оригинального распределения, а при жестких условиях w(x) вырезает из него какое-то подмножество. Таблица показывает, как разные виды перевзвешивания можно трактовать с термодинамической точки зрения в виде смены статистического ансамбля #термодинамика #информация

Перевзвешивание (reweighting) – это метод статистической механики, состоящий в изменении плотности вероятностей (или веса) ρ(x), по которой производится усреднение при вычислении наблюдаемых величин 〈A〉 = ∫dx ρ(x)A(x)/∫dx ρ(x). Одно из применений метода перевзвешивания – это переход от старого распределения ρ₀(x) к новому распределению ρ₁(x), более простому или эффективному с точки зрения сэмплинга (и не обязательно нормированному). Записав этот переход как ρ₀(x) = w(x)ρ₁(x), мы можем приписать дополнительный вес наблюдаемой величине как A₁(x) = w(x)A(x), тогда 〈A〉 = ∫dx w(x)ρ₁(x)A(x) /∫dx w(x)ρ₁(x) = 〈wA〉₁/〈w〉₁, где 〈…〉₁ – среднее по новому распределению ρ₁(x). Знаменатель здесь учитывает тот факт, что исходное распределение ρ₀(x) не обязательно нормировано на единицу. Таким образом, среднее значение можно вычислять по более простому распределению – например, методом Монте-Карло, – но с коррекцией самой усредняемой величины. #Монте_Карло #стохастическая_термодинамика #объяснения

Вот еще картинки, иллюстрирующие разные виды решеток и процесс расчета матрицы Каца-Уорда, позволяющей точно найти критическую температуру ферромагнитного фазового перехода. Снизу представлена решетка розы ветров – она содержит узлы, взаимодействующие с 24 соседями. Название обусловлено тем, что направления этих взаимодействий подобны 24 направлениям компаса на розе ветров, такие как «север», «юго-юго-запад» и т.д. Благодаря наличию 24 соседей хотя бы у некоторых спинов, решетка розы ветров обладает очень высокой критической температурой: T_c ≈ 6.492J против T_c ≈ 2.269J для квадратной решетки и T_c ≈ 3.641J для треугольной. #фазовые_переходы #математика

Ферромагнитная модель Изинга обладает критической температурой перехода в ферромагнитное состояние T_c, зависящей от структуры решетки. Знаменитое точное решение Онзагера было получено для квадратной решетки, а для треугольной решетки, к примеру, T_c оказывается выше – на интуитивном уровне это понятно ввиду того, что в треугольной решетке каждый спин имеет 6 соседей (против 4 в квадратной), что усиливает ферромагнитное взаимодействие. Сейчас формализм Фейнмана-Каца-Уорда позволяет точно рассчитывать T_c для любой двумерной решетки. В этой же работе была получена точная верхняя оценка для любой решетки в терминах максимального координационного числа (то есть числа соседей) q_max: T_c/J ≤ 1/Arth(tg(π/2q_max)). Таким образом, для высокой критической температуры необходимо, чтобы хотя бы один спин имел много соседей, с которыми он ферромагнитно взаимодействует. Более того, это условие достаточно в том смысле, что при заданном q_max всегда существует решетка, насыщающая полученное неравенство. #магнетизм

Эффект Померанчука – это контринтуитивное явление кристаллизации вещества при увеличении температуры, наблюдаемое на примере гелия-3. Его причина в том, что атомы в кристаллической фазе расположены на довольно больших расстояниях друг от друга, так что их спины взаимодействуют слабее и потому могут сильнее флуктуировать, чем в жидкой фазе. Как следствие, кристаллическая фаза, обладая более высокой энтропией за счет спиновых флуктуаций, становится термодинамически более выгодной при более высокой температуре. В этом эксперименте получены указания на существование эффекта Померанчука в двухслойном графене с поворотом на «магический угол» 1.13°. Обратная сжимаемость электронного газа dμ/dn, измеренная при помощи поднесения к образцу углеродной нанотрубки, демонстрирует резкое немонотонное поведение вблизи фактора заполнения ν = 1, которое подавляется параллельным магнитным полем. Действительно, энтропийный механизм эффекта Померанчука должен подавляться полем, выстраивающим спины. #графен #магнетизм

🧙‍♀️ Магия – это характеристика квантовых состояний, дающая возможность получать квантовое превосходство при вычислении с их участием. Наличие магии говорит о том, что квантовое состояние не входит в набор относительно простых и симулируемых на классическом компьютере стабилизационных состояний. Для обнаружения магии в квантовом состоянии может использоваться стабилизационная энтропия Реньи, описывающая, насколько сильно оно отклоняется от множества стабилизационных состояний. Однако расчет такой энтропии требует измерения средних значений 2²ᴺ нелокальных операторов – на современных квантовых компьютерах это возможно не более чем для N = 12-14 кубитов. Авторы этой работы придумали алгоритм, позволяющий вычислять стабилизационную энтропию Реньи стохастическим образом на основе быстрого преобразования Адамара. Этот алгоритм дает экспоненциальный прирост скорости по сравнению с прямым, «наивным», расчетом и пригоден к распараллеливанию. #квантовые_вычисления

Если же образец – это двухслойный графен с относительным поворотом слоев на «магический угол» 1.1°, картина радикально меняется (всего из-за различия в одну десятую градуса!). Как видно на диаграммах сверху, картина разрешенной по углу θ дифференциальной туннельной проводимости сильно зависит от уровня допирования образца. В целом, на ней видны две плоские зоны, разделенные щелью, и при допировании электронами к уровню Ферми пинингуется верхняя зона, а при допировании дырками – нижняя. Снизу показана зависимость от уровня допирования при двух фиксированных углах θ, выделяющих, благодаря закону сохранения импульса при туннелировании, определенные квазиимпульсы электронов в образце. Слева это точка K мини-зоны Бриллюэна, справа – точка Γ. Наблюдаемые запутанные картины, в целом, демонстрируют сильные корреляционные эффекты и тот факт, что в точке K имеются разделенные щелью плоские зоны, а в точке Γ – дираковский конус с низкой скоростью Ферми. #наноструктуры

Quantum twisting microscope – это недавно изобретенный метод исследования двумерных материалов и гетероструктур, в котором измеряется туннельный ток между изучаемым образцом и двумерным материалом, который подносится сверху, будучи повернутым относительно образца на контролируемые углы. Для этого второй материал натягивается на усеченную пирамиду, помещенную на иглу сканирующего туннельного микроскопа. Из-за поворота между двумя материалами туннелирование идет между их долинами в пространстве квазиимпульсов, смещенными на контролируемый импульс, что позволяет измерять плотность электронных состояний в образце с импульсным разрешением. На рисунке показана разрешенная по углу поворота θ дифференциальная туннельная проводимость, когда образец – двухслойный графен с относительным поворотом между слоями на 1.2°. Можно видеть почти плоские зоны, отделенные щелями от других зон выше и ниже. Измеренная картина согласуется с расчетом в модели Бистритцера-МакДональда, показанным справа. #наноструктуры

🌊 Морская вода – это друдевский металл, как утверждается в заголовке этой статьи. Действительно, если посмотреть на частотные зависимости коэффициента отражения R плазмы и морской воды, то они выглядят очень похоже, приближаясь к 1 при частоте ниже плазменной. Но только масштабы плазменных частот сильно отличаются: для плазмы это ближний инфракрасный диапазон, для морской воды – радиоволны (десятки МГц). Понимание друдевского поведения морской воды критически важно для разработки связи с подводными лодками. #электродинамика #цитаты

⚡️ А вот красивые диаграммы, детально показывающие структуру поляритонов в квантовой яме в магнитном поле и резонаторе Фабри-Перо. Фигуры в виде молний образованы двумя поляритонными ветвями, причем перемычка в центре, как утверждают авторы, обусловлена нерезонансной противовращающей связью моды резонатора с циклотронным переходом. Можно заметить, что смоделированное пространственное распределение компоненты поля E_y, показанное справа, в противовращающем режиме противоположно таковому для резонансных поляритонов. Это говорит о том, что в случае поляритонов циклотронный переход связывается с модой полости соответствующей циркулярной поляризации (все согласно обычным правилам отбора), а в противовращающем режиме связь происходит с модой противоположной поляризации (противоположно традиционному правилу отбора). #поляритоны #уровни_Ландау

Красивый эксперимент, в котором наблюдались формирование и отклик поляритонов в реальном времени в терагерцовой области частот. Как показано на панели (a), терагерцовый импульс падает на резонатор Фабри-Перо, и мы видим последовательность импульсов, многократно отражающихся от зеркал. Благодаря квантовой яме, помещенной в резонатор, в перпендикулярной поляризации (b) мы также видим отраженные импульсы, если к квантовой яме прикладывать магнитное поле. Как показано на диаграмме (c) для угла поворота поляризации, при некоторых частотах имеется поляритонное расщепление. Самое интересное показано на графике (d): вне резонанса мы видим биения с периодом 9 пс, обусловленные цикличностью отражения от стенок резонатора, а в точке поляритонного резонанса наблюдаются биения с большим периодом 22 пс – это не что иное, как поляритонные осцилляции Раби. Они устанавливаются не сразу (первые 9 пс сигнал такой же, как вне резонанса), поскольку свет должен пробежать резонатор прежде, чем связаться в поляритон. #поляритоны

Любопытная работа, предсказывающая существование «скрытой» квантовой геометрии для конденсата пространственно непрямых экситонов. Когда электроны с одного слоя подвергаются куперовскому спариванию с дырками из другого слоя, появляется межслойная когерентность и ненулевой параметр порядка, связывающий волновые с разными координатами z. С другой стороны, связность Берри в z-направлении (как если бы существовал квазиимпульс k_z) дается выражением A_z = 〈ψ|i(∂/∂k_z)|ψ〉 = 〈ψ|z|ψ〉, и за счет межслойной когерентности это среднее значение оказывается ненулевым. Кривизна Берри Ω = rot A, отвечающая этой связности, направлена в плоскости системы, и на двумерные частицы действовать не должна – но в нашем случае она работает из-за конечности толщины двухслойной системы. Физически, «скрытая» квантовая геометрия экситонного конденсата должна проявляться в отклике вертикальной электрической поляризации на электрическое поле в плоскости системы на удвоенной частоте. #экситоны #топологические_материалы

Недавний эксперимент продемонстрировал необычное поведение воды, запертой в нанометровых каналах – а именно, формирование долгоживущего спинового упорядочения, длящегося многие часы. Как показано на рисунке, водой заполняется канал толщиной 5.6 нанометра, вблизи стенки которого находятся NV-центры в алмазе. Последние служат сенсором для исследования характеристик ядерного магнитного резонанса протонов воды. Снизу видно, что в спектре резонанса иногда возникает расщепление, длящееся часы, которое обусловлено сверхтонким взаимодействием ядер с электронами. В свою очередь, электроны, вызывающие это расщепление, попадают в воду в результате облучения образца лазером, сканирующим состояние NV центров. Внедренные в воду электроны, предположительно, образуют с молекулами воды некие протяженные в пространстве комплексы, в которых поддерживается долгоживущее упорядочение ориентаций электронных спинов – оно и вызывает наблюдаемое расщепление магнитного резонанса протонов. #магнетизм

Еще одна интересная черта двухслойных гетероструктур, состоящих из двух монослоев с относительным поворотом – это оптическая активность, то есть способность вращать плоскость поляризации падающего света. Она обусловлена хиральностью таких структур, поскольку из-за скручивания они не переходят в свое зеркальное отражение. В этой статье было показано, что оптическую активность скрученных гетероструктур можно интерпретировать в терминах магнитоэлектрической связи. Действительно, представим, что внутри двухслойной структуры имеется параллельное ее плоскостям магнитное поле волны – тогда, согласно уравнению Максвелла rot E ~ B, на два слоя действуют противонаправленные электрические поля. Если эти слои по-разному повернуты, то возбуждаемые в них токи не компенсируются, давая суммарный ненулевой ток, откликающийся на магнитное поле – то есть магнитоэлектрический эффект. Аналогично в параллельном электрическом поле из-за разности возбуждаемых токов появляется магнитный момент. #электродинамика

В этой статье 2011 года была предложена известная модель Бистритцера-МакДональда, предсказывающая наличие плоских зон в двухслойном графене при «магическом» угле поворота между слоями около 1.05°. Главная идея в том, чтобы рассматривать двухслойный графен в пространстве квазиимпульсов, где дираковские точки обоих слоев сдвинуты друг относительно друга на Δk из-за относительного поворота. Межслойное туннелирование электронов w связывает их между собой, причем наиболее сильно связаны ближайшие пары дираковских точек – поскольку туннельный матричный элемент быстро убывает с ростом передачи импульса. Модель Бистритцера-МакДональда состоит в рассмотрении дираковской точки одного слоя и 3 ближайших дираковских точек другого слоя. Получившийся гамильтониан 6×6 можно свести к эффективному гамильтониану с перенормированной скоростью Ферми v*/v = (1–3α²)/(1+6α²), где α = w/vΔk. Как видно, v* обращается в ноль при угле 1.05°, а более точная модель предсказывает целый набор подобных магических углов. #графен

Концепция инкогерентонов дает ключ к пониманию многих черт поведения открытых квантовых систем. В частности, если в системе увеличивать роль когерентных процессов, то в какой-то момент происходит высвобождение инкогерентонов (b): квантовая когерентная щель закрывается, и система переходит от чисто экспоненциальной релаксации к осциллирующей. Это происходит потому, что когерентные процессы, как говорилось выше, двигают нас вдоль каждой цепочки лестницы, растягивая межцепочечные связанные состояния инкогерентонов. Существование нескольких щелей в скорости релаксации, в свою очередь, связано с наличием в щели 1, 2 и т.д. инкогерентнов: чем их больше, чем медленнее релаксирует система (c). Наконец, процесс релаксации с течением времени можно условно разделить на три этапа (d): формирование инкогерентонов (когда подавляются недиагональные элементы матрицы плотнотси), их локализация (распад наиболее слабо вязанных) и диффузия оставшихся сильно связанных инкогерентонов вдоль лестницы. #открытые_квантовые_системы

Вот примеры поведения собственных значений и собственных функций лиувиллиана L открытой квантовой системы, в которой параметр J задает силу когерентных процессов по сравнению с декогеренцией. Как видно, при небольших J имеются две группы собственных значений, разделенных квантовой когерентной щелью Δ_QC. Диаграммы справа показывают собственные векторы лиувиллиана, отвечающие собственным значениям, отмеченным стрелками. Случаи (i) и (ii) – это инкогерентоны, потому что они сосредоточены вблизи диагонали. Они отвечают вкладам в матрицу плотности, релаксирующим медленнее (потому что находятся ближе к оси Re[λ] = 0), чем недиагональные вклады вида (iii) и (iv), более далекие от оси Re[λ] = 0. Таким образом, в матрице плотности сначала довольно быстро подавляются недиагональные элементы (Incoherenton production на рисунке снизу), потом, уже медленнее, идет выравнивание диагональных элементов (Incoherenton diffusion), то есть распространение возбуждений вдоль лестницы. #открытые_квантовые_системы

Инкогерентон – открытая в этой работе квазичастица в открытых многочастичных квантовых системах, возбуждение которой отвечает декогеренции (подавлению недиагональных элементов матрицы плотности), а диффузия – релаксации населенностей (выравниванию значений диагональных элементов). Рассмотрим матрицу плотности, эволюционирующую согласно уравнению Линдблада dρ/dt = (i/ħ)[H,ρ] + R[ρ] = L[ρ], и проведем ее векторизацию, то есть разложим ρ по пареным произведениям |a〉〈b| базисных кет- и бра-векторов. Можно считать, что это разложение некоторой «волновой функции» Ψ по прямым произведениям |a〉|b〉 кет-векторов. Здесь первый сомножитель определяет точку с номером a на одной цепочке, второй – точку с номером b на второй цепочке. Получается лестничное представление матрицы плотности: она оказывается во взаимно однозначном соответствии с «волновой функцией» Ψ квантовой системы, заданной на двух параллельных цепочках. В векторизованном представлении уравнения Линдблада dΨ/dt = LΨ супероператор Лиувилля L превращается в обычный линейный, хоть и неэрмитов, оператор. При этом гамильтониан исходного уравнения, определяющий когерентную динамику системы, порождает динамику Ψ на каждой из двух цепочек по отдельности. А процессы декогеренции и релаксации, как легко показать, отвечают взаимодействию между цепочками. Важное значение имеют собственные значения λ и правые собственные векторы неэрмитового лиувиллиана L. Вклад каждого собственного вектора в Ψ меняется во времени в меру множителя exp(λt). Собственное значение λ = 0 отвечает установившемуся состоянию, в которое система приходит при t → ∞, а остальные собственные значения с Re[λ] < 0 отвечают затухающим компонентам (которые могут и осциллировать при заметных величинах Im[λ]). На примерах некоторых открытых многочастичных систем авторы обнаружили у них интересную структуру. А именно, собственные значения λ объединяются в две группы, разделенные вдоль вещественной оси «квантовой когерентной щелью», и собственные векторы в этих группах ведут себя совершенно по-разному: в одной, «когерентной» группе они отвечают вкладам в матрицу плотности с заметными недиагональными элементами, в другой же, «некогерентной», группе собственные векторы локализованы вблизи диагонали. Эти группы можно интерпретировать как, соответственно, свободные и связанные состояния на лестнице. Действительно, в свободных состояниях волновая функция широко растекается по обеим цепочкам, что отвечает недиагональным элементам матрицы плотности (комбинациям пар узлов из разных цепочек, не противостоящих друг другу), а в связанных состояниях движения по верхней и нижней цепочке положительно скоррелированы, так что волновая функция сосредотачивается на перекладинах лестницы (отвечающих диагональным элементам матрицы плотности). Связанные состояния авторы работы назвали инкогерентонами. Иногда может образовываться несколько групп λ, разделенных квантовыми когерентными щелями. Это можно интерпретировать как появление в системе одного, двух, трех и т.д. инкогерентонов. Чем больше инкогерентонов имеется в заданном собственном состоянии, тем медленнее затухает его вклад в матрицу плотности, потому что соответствующая группа λ находится ближе к оси Re[λ] = 0. #открытые_квантовые_системы