Math Atlas 101

Преподавая, ты имеешь возможность обдумывать всякие элементарные, очень хорошо тебе известные вещи. Это и занятно, и приятно. От того, что ты обдумаешь их еще раз, вреда никакого не будет. Не существует ли лучшего способа их изложения? Или связанных с ними новых проблем? А сам ты не можешь ли придумать в связи с ними чего-то нового? Размышлять о вещах элементарных легко; не надумаешь ничего – нового, не беда, твоим студентам сгодится и то, что ты думал об этих вещах прежде. А если все-таки надумаешь – получаешь удовольствие от того, что сумел взглянуть на старое по-новому. Р. Фейнман ("Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!")

Гиперболические изометрии плоскости Лобачевского Проективное преобразование RP^1 называется гиперболическим, если оно имеет ровно две неподвижные точки

Параболические изометрии плоскости Лобачевского Проективное преобразование RP^1 называется параболическим, если оно имеет ровно одну неподвижную точку

Сужения изображенных далее изометрий круга на граничную окружность являются проективными преобразованиями проективной прямой RP^1 Эллиптические изометрии плоскости Лобачевского Проективное преобразование RP^1 называется эллиптическим, если оно не имеет неподвижных точек

Как визуализировать проективные преобразования проективной прямой RP^1 1. Такие преобразования однозначно определяются образом трёх различных точек (красных) 2. Группа PGL(2,R) проективных преобразований проективной прямой RP^1 изоморфна группе Isom(H^2) изометрий плоскости Лобачевского — круга с гиперболической метрикой

Вещественная проективная прямая RP^1 гомеоморфна окружности S^1 //проследите за точками пересечения линейных прямых и указанной окружности

Знакопеременная подгруппа A_5 группы SO(3) в модели в трёхмерном шаре с антиподальным порталом Вершины многогранников представляют элементы группы. Центр шара — нейтральный элемент, а вершины одного и того же многогранника образуют отдельные классы сопряженности в A_5 Напомним, что действие элемента группы A_5 на R^3 представляет собой поворот вокруг прямой, идущей из центра шара в соответствующую вершину, на угол, равный расстоянию от центра до этой вершины Обозначения: ▪️Серая сфера радиуса \pi — граница шаровой модели для SO(3). ▪️Желтый икосододекаэдр радиуса \pi — класс сопряженности (2,2)-циклов. Вершин 30, но ввиду портала получается 15 элементов. ▪️Фиолетовый и красный икосаэдры радиусов 4\pi/5 и 2\pi/5 представляют половину расщепимых 5-циклов, каждый из 12 элементов. ▪️Зелёный додекаэдр радиуса 2\pi/3 представляет класс сопряжённости 3-циклов и состоит из 20 элементов. Итого: 1+15+12+12+20=60 элементов в A_5 P. S. Единственный нетривиальный внешний автоморфизм группы A_5 меняет два икосаэдра местами (ссылка)

(6/8) Такая кодировка вращений неоднозначна, однако единственная неоднозначность состоит в том, что повороты на углы -π и π, совершаемые вокруг одной и той же прямой, совпадают Таким образом, пространство SO(3) гомеоморфно пространству, получающемуся из трёхмерного шара отождествлением пар противоположных точек на граничной сфере, то есть трёхмерному проективному пространству RP^3

(5/8) Если сохраняющее ориентацию движение евклидова пространства R^3 имеет неподвижную точку, то оно является поворотом вокруг некоторой прямой (теорема Эйлера о поворотах) Чтобы задать такой поворот, можно указать вектор, порождающий соответствующую прямую, длина которого равна величине желаемого узла поворота, измеряющегося от -π до π Итого, вращения, т.е. элементы группы SO(3), можно кодировать точками трёхмерного шара радиуса π

Вид изнутри проективного пространства: изображены пол (=потолок), стены, рыцарь и птица

Трёхмерное проективное пространство RP^3 как факторпространство трёхмерного шара B^3 по отношению, при котором на граничной сфере отождествляются пары диаметрально противоположных точек

Трёхмерная сфера и проективное пространство (5/5) Таким образом, пространство, получающееся из S^3 отождествлением антиподальных точек, гомеоморфно пространству, получающемуся из трёхмерного шара отождествлением пар диаметрально-противоположных точек на его граничной сфере Это в точности проективное пространство RP^3 На рисунке указаны петли в S^3 (верхняя часть изображения) и их образы относительно канонической проекции на RP^3 (нижняя часть)

Трёхмерная сфера и проективное пространство (4/5) Если точка трёхмерной сферы попадает в один шар, то её антипод (диаметрально-противоположная точка) — в другой. Кроме того, у точек, лежащих на экваториальной сфере (т. е. на самом портале), антипод лежит на этой же сфере (и на рисунке выглядит по-настоящему диаметрально-противоположным) Двумерный аналог: ссылка

Трёхмерная сфера и проективное пространство (3/5) Получается модель трехмерной сферы, состоящая из пары шаров со сферическим порталом-телепортом

Трёхмерная сфера и проективное пространство (2/5) Аналогично трёхмерная сфера S^3 делится экваториальной сферой S^2 на два трёхмерных шара. (Экваториальная сфера является общей границей этих шаров.)

Трёхмерная сфера и проективное пространство (1/5) Двумерная сфера S^2 делится экваториальной окружностью S^1 на два диска. Такое разложение позволяет воображать сферу в своего рода модели, состоящей из пары дисков и портала между ними

Как устроена математика: от детского восприятия до секретов великих исследований 00:00 Нелинейный путь в математике 02:44 Загадка математиков 06:25 Метод Гротендика: включаем взгляд ребёнка 11:10 Подход к математике отличается у мальчиков и девочек 15:56 Что меня затриггерило (кликбэйт!) 21:02 Что сделало Ричарда математиком 26:10 Озарения vs скучные доказательства 28:36 Математика субъективна 29:38 Процесс математического исследования 34:46 Что мешает получать удовольствие от исследований 37:23 Что студентам важно знать 43:23 Самая сложная часть исследований 47:06 Неуверенность в себе у математиков 50:49 Психология занятий математикой 54:25 Представители меньшинств в математике 1:00:44 Математика во время землетрясения (источник + перевод)

Преобразования Мёбиуса 02:26 Инверсия в 2D (относительно окружности) 08:31 Свойства инверсии 14:21 Инверсия в 3D (относительно сферы) 19:26 Преобразования Мёбиуса как движения сферы Римана 22:37 Гиперболическая геометрия 23:12 Комплексная геометрия 23:24 Математическая физика (источник)

Дробно-линейные преобразования (Мёбиуса) 00:11 Параллельные переносы 00:17 Растяжения 00:23 Повороты 00:27 Инверсии Также известные как проективные преобразования комплексной проективной прямой и также известные как... (источник)

(2/4) Доказательство без слов (источник)