Math Atlas 103

Гомологическая сфера Пуанкаре Относится к классу гомологических сфер. Наряду с трёхмерной сферой данное трёхмерное многообразие является ключевым персонажем знаменитой гипотезы Пуанкаре, которая была доказана учёным ПОМИ РАН Григорием Перельманом (вместе с гипотезой Тёрстона о геометризации трехмерных многообразий, дающей классификацию всех компактных 3-многообразий). Сфера Пуанкаре до сих пор греет сердца петербуржцев

Степень отображения (4/4) Предыдущие примеры получаются надстройкой отображений окружности S¹→S¹ Для отображений окружности степень совпадает с индексом/порядком точки относительно кривой

Степень отображения (3/4) Визуализация отображения S²→S² степени 3

Степень отображения (2/4) Визуализация отображения S²→S² степени 2

Степень отображения (1/4) Визуализация тождественного отображения сферы

В понедельник (6 октября) в 17 00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Геометрия дискретной группы Гейзенберга» Руслан Магдиев Дискретная группа Гейзенберга — это классическая решётка в трёхмерной Nil-геометрии, одной из восьми геометрий Тёрстона. Её граф Кэли можно рассматривать как комбинаторную модель этой геометрии. В докладе мы обсудим, как устроены кратчайшие пути (геодезические) в таком графе. Мы увидим классификацию геодезических относительно стандартных порождающих и связь с путями на плоской решётке. Кроме того, поговорим о ряде открытых направлений: глубина «тупиков», описание конусов геодезических, формулы для расстояния, локальные описания окрестностей и другие вопросы на стыке комбинаторики и геометрии. Доклад рассчитан на широкий круг слушателей: от студентов, знакомых с группами и геометрией, до исследователей, интересующихся геометрической теорией групп и её связями с трёхмерными геометриями.

Скрученная геометрия SL(2,R) 00:00 Пространство движений евклидовой плоскости 05:22 Пространство движений двумерной сферы 06:18 Голономия наглядно 08:11 Визуализация скрученного произведения 09:24 При чём здесь кватернионы и вращения 10:26 Пространство движений гиперболической плоскости 12:23 Понятие универсального накрытия 13:23 Кошка на экваторе сферы 15:05 Универсальное накрытие пространства SL(2,R) (источник)

Основная теорема геометрической топологии 00:00 Гомеоморфизмы и гомеоморфность 14:08 Двумерный аналог гипотезы Пуанкаре 15:23 Определение многообразия 18:29 Конструкция: склейки сторон многоугольников 27:09 Петли и их гомотопия 30:00 Эйлерова характеристика поверхности 36:19 Характеризация двумерной сферы 42:08 Связная сумма поверхностей 48:00 Ориентируемость и ориентация 49:08 Классификация поверхностей 51:30 Доказательство двумерного аналога гипотезы Пуанкаре 54:02 Трёхмерные многообразия 55:03 Трёхмерная сфера 1:00:00 Гипотеза Пуанкаре: история вопроса и вся суть 1:05:20 Метрика и её интуитивное понимание 1:11:00 Скалярная кривизна поверхности 1:13:30 Теорема Гаусса—Бонне 1:14:55 Поверхности постоянной кривизны 1:16:12 Секционная кривизна поверхности 1:17:47 Теорема об униформизации 1:19:03 Потоки Риччи на поверхностях 1:23:55 Потоки Риччи на трёхмерных многообразиях 1:28:49 Доказательство Перельмана геометризации (источник)

Комбинаторные потоки Риччи и метрики на триангулированных поверхностях Рассмотрим замкнутую поверхность М и зафиксируем ее триангуляцию. Будем считать что ребра — прямолинейные отрезки, а грани — плоские треугольники. Можно ли так подобрать длины ребер, чтобы кривизны в вершинах были одинаковыми? Здесь кривизной в вершине называется разность $2\pi$ и суммы плоских углов, сходящихся в этой вершине. Например, правильные тетраэдр и икосаэдр имеют одинаковые кривизны в вершинах. С этим вопросом связано понятие комбинаторного потока Риччи (для поверхностей). Это такой поток, который меняет длину каждого ребра в зависимости от кривизны в его концах. Оказывается, если выбрать этот поток «правильно», то любой набор длин ребер, удовлетворяющий неравенствам треугольника на каждой грани, под действием такого потока превращается в набор длин ребер с постоянными кривизнами в вершинах. Планируется обсудить эти два сюжета и некоторые смежные с ними. Материалы ▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов) Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Введение в потоки Риччи 00:00 Гипотеза Пуанкаре 02:31 Риманова геометрия 04:17 Потоки Риччи 07:10 Хирургии 07:26 Доказательство гипотезы Пуанкаре (источник)

В каком смысле трёхмерное геометрическое пространство может деформироваться?

Как войти в математику • Вход в проективную геометрию • Вход в дифференциальную геометрию • Вход в алгебраическую геометрию • Вход в алгебраическую топологию • Вход в теорию Галуа • Вход в комплексную геометрию • Вход в алгебраическую теорию чисел • Вход в теорию модулярных форм • Вход в гиперболическую геометрию • Вход в голоморфную динамику • Вход в теорию гомологий • Вход в двумерную топологию • Вход в теорию групп • Вход в математический анализ • Вход в геометрическую (маломерную) топологию @geomtop24