Математические этюды

Маятник Фуко позволяет увидеть (не глядя на неподвижные звёзды!) вращение Земли вокруг своей оси: маятник последовательно сбивает предметы, расставленные по кругу, а значит, поворачивается относительно пола. Как связаны вращение Земли вокруг оси и поворот плоскости колебаний маятника Фуко? Почему на полюсе маятник Фуко делает полный оборот за сутки, а на экваторе его плоскость колебаний вращаться не будет? Какую часть круга заметёт за сутки маятник Фуко, находящийся на данной широте? Наглядный и запоминающийся ответ на эти вопросы даёт геометрический подход, представленный в фильме «Маятник Фуко». Правило для запоминания: на данной параллели маятник Фуко за сутки заметает сектор, являющийся развёрткой конуса, касающегося сферы по этой параллели. Объяснение для интересующихся: поворот маятника Фуко — это параллельный перенос (в смысле дифференциальной геометрии) вектора вдоль параллели — замкнутого пути, не являющегося кратчайшим на сфере. Этим фильмом «Математические вторники» 2025/2026 завершаются.

Про неевклидову геометрию Математические этюды уже сделали несколько красивых сюжетов https://etudes.ru/etudes/@non-euclidean-geometry https://etudes.ru/models/@non-euclidean-geometry Про геометрию Лобачевского написано много текстов. Тем удивительнее, что главный редактор журнала «Квант» Александр Александрович Гайфуллин, в связи с 200-летием первого доклада Николай Ивановича, написал новую, очень интересную и содержательную статью, вышедшую в журнале во 2 и 3 номерах за этот год https://www.kvant.digital/issues/2026/2/gayfullin-dva_veka_geometrii_lobachevskogo-c7aeef50/ https://www.kvant.digital/issues/2026/3/gayfullin-dva_veka_geometrii_lobachevskogo-022b1500/

Поздравляем Павла Александровича Кожевникова с юбилеем! (Которые, как известно, случаются каждые 50 лет.) ПалСаныч понимает и умеет раскрывать математическую суть рассматриваемой задачи на любом уровне – неподготовленным школьникам и школьникам-участникам международной математической олимпиады, учителям математики и профессиональным математикам. Посмотрите записи его докладов и его статьи! Счастья и почаще улыбаться!

Команда из Математического института им. В.А. Стеклова РАН под руководством заместителя директора по научной работе члена-корреспондента РАН Сергея Олеговича Горчинского с сентября 2026 года открывает новую группу бакалавриата воспитания будущих математиков в стиле эпохи Возрождения https://www.hse.ru/ba/ami/mplusplus Несмотря на то, что «территориально» поток М++ открывается на базе Факультета компьютерных наук ВШЭ, он рассчитан на студентов, желающих трудиться и заниматься настоящей математикой – серьёзной, абстрактной, теоретической, …, а не её приложениями. Первый набор на первый курс – этим летом. Как всё сложится – конечно, никто не знает. Но квалификация коллег, участвующих в задумке, и как математиков, и как преподавателей, не подлежит сомнениям. Записи их лекций можно найти на многих сайтах, в частности, среди записей школы «Современная математика» в Дубне. А желание коллег сделать действительно хорошее университетское разностороннее математическое образование, их взаимодействие друг с другом при обсуждении будущих курсов, поддержка команды руководством факультета, а также многолетняя человеческая забота Сергея Олеговича о подрастающем поколении дают уверенность, что студенты заведомо не будут брошены и всё получится наилучшим образом!

Развёртки позволяют не только лучше понять стереометрическую фигуру, но и, например, посчитать площадь боковой поверхности. А если развёртки ещё и оживить https://etudes.ru/models/solid-figures-threaded-net/ ... Представленные конструкции – лишь примеры. Использовать лучше плотную бумагу, которая держит форму. Читатель может попробовать анимировать и другие развёртки куба, развёртки других многогранников или фигур.

Вне зависимости от количества вершин сумма внешних углов в любом выпуклом многоугольнике на плоскости одна и та же и равна 360 градусов. Нарисуем на плоскости многоугольник и раскрасим его внешние углы. Отдалим плоскость от наблюдателя: многоугольник будет видеться точкой, а точки всей остальной плоскости будут окрашены каким-то одним из цветов. Внешние углы составят полный угол — 360 градусов. Это и другие иллюстрации-доказательства — как классические, так и менее известные —представлены красивыми анимациями в сюжете «Сумма внешних углов выпуклого многоугольника».

Штатный краснодеревщик нашей Лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова РАН Александр Лещинский придумал простую в изготовлении, но удивительно наглядную модель, демонстрирующую форму Земли: силиконовый шарик, надетый на верёвочную петлю https://etudes.ru/models/Earth-figure/ . Идея модели основана на игрушке из детства — пуговице на закрученной верёвочке, и уже встречалась у нас в сюжете «Гиперболоид: пуговица на верёвочке». Растягивая руками петли верёвочки, вы заставляете пуговицу вращаться. Если приноровиться и вовремя «давать слабину», позволяя верёвочке закрутиться в другую сторону, в эту игрушку можно играть непрерывно. В небольшом силиконовом шарике следует сделать два отверстия, параллельных друг другу и отстоящих от диаметра на одно и то же расстояние; продеть через них верёвочку и завязать её в петлю. Модель готова. В процессе демонстрации, в момент, когда петля скручена максимально, шарик, меняя направление, останавливается и приобретает форму шара. Когда вы растягиваете верёвочную петлю, скорость вращения увеличивается, и шарик принимает форму эллипсоида вращения, сжатого вдоль оси вращения. Напомним, что «Математические вторники» проекта «Математические этюды» https://etudes.ru/ ведутся в канале Телеграм, ВК https://vk.com/etudesru , а теперь ещё и в MAX https://max.ru/etudesru .

Обновился сюжет «Календарь-головоломка» https://etudes.ru/models/puzzle-calendar/ , рассказывающий о нашем варианте вечного календаря, который очень понравился многим счастливым обладателям. В приведённом календаре можно собрать 2604 комбинаций число-месяц-день. Из них реально встречаются 366*7 =2562 и чем меньше вариантов сложить заданную дату, тем головоломка сложнее. У 42 комбинаций есть только единственный способ их сложить, по два варианта — у 16 дат. Не более 10 способов укладки допускают 781 комбинация. Самых простых дат — с наибольшим числом вариантов сложить: 50 вариантов — одна дата, 55 вариантов — четыре даты, 68 вариантов — четыре даты. Теперь, прежде чем складывать, вы можете оценить сложность сложить выбранную комбинацию, например сегодняшний день, посмотрев на сайте количество вариантов сложить конкретную дату! Поиграться в большой настенный календарь можно на третьем этаже МЦНМО, а небольшой картонный вариант календаря можно найти в их магазине.

Возьмите прямоугольный лист бумаги, например А4, и, прежде чем переходить по ссылке, попробуйте сделать из него тетраэдр. Не обязательно правильный, но так, чтобы прямоугольник был именно его развёрткой: в получившемся тетраэдре не должно быть наложений слоёв бумаги. Самый простой способ можно посмотреть в новом фильме «Тетраэдр из… прямоугольника» https://etudes.ru/etudes/tetrahedron-rectangle-net/ . А какие ещё многогранники кроме тетраэдра можно сложить из прямоугольного листа бумаги? Подумать над этим вопросом помогут фильмы «Вершины многогранника», «Развёртка», «И это развёртка?!», а также брошюра Н. П. Долбилина «Жемчужины теории многогранников». Ответ будет в одном из следующих фильмов.

В преддверии 8 марта традиционно пополнился раздел «Математические украшения». Задача квадрирования квадрата — разрезания квадрата на неравные квадраты — проста по постановке, но нетривиальна математически. Решение этой задачи может стать как основой головоломок, так и идеей для создания украшений https://etudes.ru/models/squaring-the-square-pendant/ . Кулон, показывающий квадрирование квадрата, привлекает внимание — возникает желание посчитать количество квадратиков, обсудить саму задачу и оптимальность решения. А исполнение перекликается со способом решения задачи — теорией электрических цепей.

Поздравляем Михаила Гарбуза с защитой диссертации кандидата физико-математических наук!

Остов из трёх перпендикулярных одинаковых прямоугольников может стать основой построения замечательных многогранников: икосаэдра и псевдоикосаэдра, кубооктаэдра, октаэдра и додекаэдра https://etudes.ru/etudes/polyhedra-rectangular-spanner/ . Такого рода построения икосаэдра и додекаэдра по существу восходят к «Началам» Евклида (книга XIII, предл. 16—17; сам Евклид приписывает открытие додекаэдра Пифагору, а икосаэдра — Теэтету). И их можно сделать своими руками: прорезав пазы в прямоугольниках, соединить их в перпендикулярных плоскостях, а на углы натянуть верёвочку.