Математическая свалка Сепы

Claude Fable построил контрпример к гипотезе о якобиане. Напомню, что гипотеза о якобиане утверждает следующее. Пусть дано полиномиальное отображение ℂ^n → ℂ^n, определитель матрицы Якоби которого является ненулевой константой. Тогда это отображение должно иметь полиномиальное обратное отображение. https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_conjecture Впервые эта гипотеза была сформулирована для случая двух переменных Людвигом Краусом в 1884 году, а затем в полной общности — Отто-Генрихом Келлером в 1939 году. Гипотеза о якобиане занимает 16-е место в списке «Математические задачи следующего столетия», составленном Стивеном Смейлом в 1998 году. Левент Альпёге — американо-турецкий математик, специалист по теории чисел, диофантовой геометрии и арифметической статистике. Ранее он был Junior Fellow в Harvard Society of Fellows, а затем оставил стандартную академическую карьеру и перешёл в Anthropic, где занимается искусственным интеллектом. https://alpo.ge/ 20 июля Альпёге опубликовал в социальной сети X явный контрпример к гипотезе, который был найден при помощи Claude Fable: https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566 Контрпример построен в размерности n=3 и задаётся полиномиальным отображением: ( (1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy) , y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy) , 2 x - 3 x^2 y - x^3 z ) Определитель матрицы Якоби этого отображения равен −2. Однако отображение не является инъективным, поскольку его значения совпадают на следующих трёх точках: (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), (-1, 3/2, 13/2).

Рома о своём опыте использования ИИ: "Как будто к моей математике подключился оракул. Я годами что-то пытался делать, а тут он пришел и сказал "давай помогу""

Рома вернулся в математику. все время работает, активно использует ИИ. при помощи ИИ уже решил несколько проблем, в том числе одну свою небольшую открытую, которую до этого пытались решить несколько человек из нашей группы, включая меня. я думаю, сейчас самое время. его интуиция совмещенная с современными ИИ могут дать хороший результат.

Локализации нильпотентных групп 2/2 Я поделился этими соображениями с Гошей Каданцевым и Сашей Красильниковым, и они показали, что это не так. Эта p-адическая локализация тоже переводит нильпотентные группы в нильпотентные группы. Более того, они доказали, что для любого коммутативного кольца R, на котором есть структура λ-кольца, локализация относительно отображения ℤ → R переводит нильпотентные группы в нильпотентные. По этому поводу мы написали статью, которую посвятили дню рождения нашего учителя Ильи Александровича Чистякова, которое было 24 мая. С днём рождения, Илья Александрович! http://arxiv.org/abs/2606.15392

Локализации нильпотентных групп 1/2 Функтором локализации на категории C называется функтор L : C → C, снабжённый естественным преобразованием e : Id → L, для которого два естественных преобразования eL, Le : L → L² совпадают и являются изоморфизмами. В частности, L изоморфен L². Иногда такие функторы называют просто «идемпотентными», хотя это название не вполне точно. Нас интересуют функторы локализации на категории групп. Самый простой пример — абелианизация. Чуть более общий пример: берём любое многообразие групп и сопоставляем группе её фактор по наименьшей нормальной подгруппе, для которой этот фактор лежит в выбранном многообразии. Но такие примеры не очень интересны — это всё фактор-группы. Более содержательный пример — рационализация Баумслага. Назовём группу (не обязательно абелеву) рациональной, если для каждого n отображение возведения в степень x ↦ xⁿ является биекцией. Оказывается, для любой группы существует универсальный гомоморфизм в рациональную группу; он и называется рационализацией Баумслага. Для абелевых групп это просто тензорное произведение на ℚ. Сам Баумслаг много занимался рационализацией свободной (неабелевой) группы. Есть и другие, более хитрые примеры локализаций, естественно возникающих в математике, — про каждый можно написать отдельный пост. В 90-е годы Эммануэль Фарджун задал такой вопрос: верно ли, что всякая локализация переводит нильпотентные группы в нильпотентные? Он до сих пор открыт и не отпускает меня, хотя и стоит особняком от всех остальных моих интересов. Есть очень общий способ строить локализации в категории групп (да и в любой локально представимой категории) — локализация относительно морфизма f : A → B. Группа X называется f-локальной, если композиция с f индуцирует изоморфизм Hom(B, X) ≅ Hom(A, X). Для любой группы G существует универсальный гомоморфизм в f-локальную группу G → L_f ( G ), он и задаёт функтор f-локализации L_f. Все известные примеры локализаций устроены так (а по модулю принципа Вопенки то, что так получаются вообще все локализации, — теорема). Например, абелианизация — это локализация относительно отображения из свободной группы на двух образующих в свободную абелеву на двух образующих: ℤ∗ℤ ↠ ℤ⊕ℤ. Рационализация Баумслага — локализация относительно вложения ℤ → ℚ. Поэтому естественно спросить: для каких гомоморфизмов f удаётся показать, что f-локализация переводит нильпотентные группы в нильпотентные? В какой-то момент у меня появились основания полагать, что локализация относительно вложения группы целых чисел в группу целых p-адических чисел ℤ → ℤ_p не должна переводить нильпотентные группы в нильпотентные. Связано это было с тем, что ℤ_p — это E-кольцо, но не твёрдое кольцо (solid ring). Напомню: коммутативное кольцо R называется твёрдым, если отображение умножения R ⊗_ℤ R → R является изоморфизмом (например, ℚ и ℤ/n твёрдые). И коммутативное кольцо R называется E-кольцом, если отображение Hom_ℤ(R, R) → R, f ↦ f(1), является изоморфизмом. Любое твёрдое кольцо — E-кольцо, но кольцо целых p-адических чисел ℤ_p — пример E-кольца, которое не является твёрдым.

Я лично не люблю ездить на конференции и стараюсь этого избегать. Хотя при этом прекрасно вижу, что математики, которые ездят часто, в среднем успешнее тех, кто сидит дома. Решил спросить у Клода: действительно ли математику необходимо ездить на конференции, или в эпоху arXiv и онлайн-семинаров это скорее ритуал и дань традициям? Возможно, для большинства ответ очевиден, но мне было полезно прочитать это чёрным по белому. Ответ: Короткий ответ: это не дань традициям, но и не то, чем вам это часто продают. Ценность конференций реальна, но сместилась — и понять, куда именно, полезнее, чем спорить «нужны или нет». Функция, которую раньше выполняли конференции в первую очередь — донести результат до сообщества — действительно почти полностью ушла в онлайн. arXiv, онлайн-семинары, записанные доклады закрывают это лучше, чем поездка: вы услышите больше докладов из дома, в удобное время, с возможностью поставить на паузу. Если бы конференции были только про передачу информации, их можно было бы спокойно хоронить. И большие пленарные конференции, где вы один из трёхсот человек в зале, во многом именно эту — уже устаревшую — функцию и обслуживают. Там доля ритуала, статусного сигналинга и «оплаченной поездки в CV» максимальная, и это честно стоит признать. Но есть слой, который онлайн пока не воспроизводит и, похоже, структурно не может. Это не доклады, а то, что вокруг них: разговор за кофе после чужого доклада, вопрос, который превращается в совместную статью, ощущение, что сейчас в воздухе — какие подходы считаются перспективными, а какие тихо признаны тупиковыми, хотя в препринтах об этом не пишут. Это неявное знание, которое циркулирует только через живое общение и почти никогда не попадает в текст. И здесь есть важная специфика именно математики. В отличие от экспериментальных наук, у нас узкое место — не оборудование и не данные, а столкновение идей двух людей. Теорема часто рождается там, где мысль одного человека встречается с мыслью другого, и заранее не предскажешь, с кем. Конференция — это, грубо говоря, рынок таких столкновений. Поэтому для математики живые встречи, как ни парадоксально, важнее, чем для многих более «технологичных» дисциплин, где результат можно передать как готовый артефакт. Отсюда довольно конкретный практический вывод: ценность сконцентрирована не равномерно, а в маленьких тематических воркшопах. Неделя в Обервольфахе или подобном месте, где пятьдесят человек из вашей узкой области заперты вместе, без параллельных секций, с длинными перерывами — вот формат, который трудно заменить чем угодно. А огромную обзорную конференцию во многих случаях разумно смотреть онлайн или пропускать. Отдельно стоит назвать вещь, о которой обычно молчат: для математика на ранней или средней стадии карьеры конференции — это ещё и про то, чтобы быть лицом, а не только именем. Приглашения, рекомендательные письма, то, вспомнят ли о вас, когда открывается позиция — всё это сильно завязано на личное знакомство. Это не про «развитие науки» в абстрактном смысле, но это реальный механизм, и притворяться, что его нет, бессмысленно. Так что итог такой: ехать «чтобы послушать доклады» — почти всегда уже не повод. Ехать на конкретный воркшоп, где будут три-четыре человека, с которыми у вас может что-то сложиться — это до сих пор одна из самых эффективных вещей, которые математик может сделать для своей работы. Критерий простой: если вы можете заранее назвать, ради кого конкретно вы едете и какой разговор хотите завести, поездка почти наверняка окупится. Если ответ — «ну, послушаю, что нового», то онлайн справится не хуже.

По поводу предыдущего поста. Может быть, нужно и то и другое. Например, на третьем курсе можно было бы попросить студента сделать обзор большой теории в качестве курсовой, а на четвёртом уже решать задачу. Я просто хочу сказать, что написание обзоров больших теорий по многим источникам приносит студенту несомненную пользу. Это польза совсем иного рода, чем та, что возникает при решении конкретной задачи, и я бы не стал ею пренебрегать

Возможно, я чего-то не знаю, но мне кажется, что в России, по крайней мере, в Питере, принято, чтобы студенты бакалавриата в качестве дипломной работы решали какую-нибудь задачу. В других же странах я чаще вижу, что студенты бакалавриата пишут обзоры теорий, как правило, теорий недавно развитых, по которым ещё нет нормальных книг. Иногда это очень хорошие обзоры, действительно полезные. И мне кажется, что в большинстве случаев студенту бакалавриата бывает полезнее выучить большую современную теорию и написать по ней хороший обзор, чем решать задачу.

Хочу рассказать про интересный способ определить комплекс цепей пространства при помощи языка oo-категорий. Вообще, одно из главных преимуществ языка оо-категорий в том, что там многие стандартные понятия удовлетворяют универсальным свойствам. Например, оо-категория пространств Spc — это свободная категория, порождённая одним объектом (точкой) относительно копределов. В том смысле, что для любой кополной оо-категории C есть эквивалентность оо-категорий: Fun^{colim}( Spc , C ) ~ C, где Fun^{colim} обозначает полную подкатегорию в оо-категории функторов, состоящую из функторов, сохраняющих копределы. Эквивалентность задаётся вычислением в точке. В частности, для любого объекта x из С существует единственный функтор F : Spc —> C, сохраняющий копределы и переводящий точку в x. Рассмотрим производную оо-категорию абелевых групп D(Z), которая определяется как (оо-категорная) локализация категории комплексов абелевых групп по квазиизоморфизмам. Известно, что она кополна. Поэтому комплекс цепей может быть определён как единственный функтор: C_* : Spc —> D(Z), сохраняющий копределы, переводящий точку в комплекс Z, сосредоточенный в нуле. И никаких явных конструкций не надо, все хорошие свойства можно получить из этого описания. Комплекс коцепей можно построить аналогично, заменив D(Z) на D(Z)^op.

Жан-Пьер Серр, знаменитый французский математик, которому в этом году исполнится 100 лет, внезапно начал отвечать на математические вопросы на сайте Quora, включая совершенно тривиальные.

Книга "Китайский марксизм и современность, издание 2024 года" целиком. Название на китайском: "中国马克思主义与当代 2024年版"

Один мой знакомый китайский аспирант готовится к экзамену по предмету "Китайский марксизм и современность". Прямо сейчас готовится к вопросу "Яркий контраст между порядком в Китае и хаосом на Западе". Прислал мне перевод оглавления своего учебника:

Ну вот и я теперь соавтор нашего императора. https://arxiv.org/abs/2605.04959

Абелевы группы и связные спектры 4/4 В теории ∞-категорий во всех аспектах категория множеств Set заменяется на ∞-категорию пространств Spc. Поэтому логично задать вопрос: чему равна аддитивизация ∞-категории пространств? Оказывается, что она равна ∞-категории связных спектров. Здесь я связным спектром называю спектр, у которого отрицательные гомотопические группы равны нулю. Но нулевая гомотопическая группа может быть не равна нулю. Это плохой перевод термина "connective spectrum", потому что "connective" и "connected" — это разные слова. Тогда теорему Мэя о распознавании связных спектров можно сформулировать как эквивалентность между ∞-категорией абелевых групп в ∞-категории пространств и категорией связных спектров: Ab(Spc) = Sp_{≥0}. Иначе говоря, ∞-категория связных спектров — это аддитивизация ∞-категории пространств. Таким образом, слоган "спектры — это аналоги абелевых групп в алгебраической топологии" получает точный смысл. Правда, так мы не можем получить все спектры, только связные. Чтобы получить все спектры, нужно сделать стабилизацию. Но это уже другая история. Я это всё прочитал в таком виде в книжке Cnossen "Stable Homotopy Theory and Higher Algebra", Глава 4.

Абелевы группы и связные спектры 3/4 Далее эта же история обобщается и на ∞-категории с конечными произведениями. Аддитивные ∞-категории определяются точно так же, как я выше определил аддитивные категории. И для любой ∞-категории C с конечными произведениями можно построить ∞-категорию Ab(C) вместе с забывающим функтором Ab(C) → C, который удовлетворяет этому универсальному свойству. Но в этой общности построение Ab(C) более сложное. Есть несколько подходов. Один из них заключается в рассмотрении функторов из категории спанов конечных множеств Span(Fin). Идея заключается в том, что для любого обычного коммутативного моноида M и любого отображения конечных множеств f: S → T определяются два отображения: M^T → M^S и M^S → M^T первое определяется при помощи композиции с f, а второе при помощи суммирования по всем индексам из f^{-1}(t). Благодаря этому для любой пары отображений конечных множеств T ← U → S возникает отображение M^T → M^S. Такие пары отображений конечных множеств назовём спанами (конечных множеств). Обозначим через Span(Fin) категорию, обогащённую над группоидами, в которой объекты — это конечные множества, морфизмы — спаны, а 2-изоморфизмы — изоморфизмы спанов. Композиция спанов определяется при помощи пулбэка. Про категорию, обогащённую над группоидами, можно думать как про ∞-категорию. Оказывается, эта ∞-категория Span(Fin) полуаддитивна, и бипроизведение в ней задано дизъюнктным объединением. Коммутативный моноид в ∞-категории C — это функтор M: Span(Fin) → C, который сохраняет конечные произведения. В частности, есть изоморфизм M(*) × M(*) ≅ M({0,1}). Компонуя этот изоморфизм с отображением, индуцированным {0,1} →* , получаем "отображение суммирования" m: M(*) × M(*) → M(*). Коммутативный моноид M называется абелевой группой, если (pr₁, m): M(*) × M(*) → M(*) × M(*) является изоморфизмом. Полная подкатегория в ∞-категории функторов Span(Fin) → C, состоящая из абелевых групп, обозначается Ab(C). Тогда функтор Ab(C) → C, посылающий M в M(*), удовлетворяет универсальному свойству аддитивизации.

Абелевы группы и связные спектры 2/4 Вся эта история обобщается на случай, когда мы заменяем категорию множеств на любую категорию C с конечными произведениями. Моноидом в C называется объект M, оснащённый морфизмами: e: * → M (единица) m: M × M → M (умножение), которые удовлетворяют аксиомам ассоциативности и единицы, записанным в виде коммутативных диаграмм. Коммутативность моноида тоже можно записать в виде диаграммы. Коммутативный моноид называется абелевой группой, если отображение (pr₁, m) : M × M → M × M является изоморфизмом. Абелевы группы в категории C образуют категорию Ab(C), и забывающий функтор Ab(C) → C тоже удовлетворяет универсальному свойству: любой функтор из аддитивной категории в C F: A → C, сохраняющий конечные произведения, единственным образом пропускается через этот забывающий функтор при помощи аддитивного функтора F': A → Ab(C). Таким образом, можно сказать, что Ab(C) — это "аддитивизация" категории C.

Абелевы группы и связные спектры 1/4 Обозначим через Ab категорию обычных абелевых групп и рассмотрим забывающий функтор в категорию множеств Ab → Set. Оказывается, этот функтор удовлетворяет универсальному свойству: это универсальный функтор из аддитивной категории в категорию множеств, который сохраняет конечные произведения. То есть любой функтор из аддитивной категории F: A → Set, сохраняющий конечные произведения, единственным образом пропускается через этот забывающий функтор при помощи аддитивного функтора F' : A → Ab. Таким образом, можно сказать, что категория абелевых групп — это "аддитивизация" категории множеств. Напомню, что категория называется пунктированной (pointed), если у неё есть 0-объект, то есть инициальный и терминальный одновременно. Нулевой морфизм 0_{X,Y}: X → Y в пунктированной категории — это морфизм, который пропускается через 0-объект X→0→Y. Пунктированная категория называется полуаддитивной, если для любых двух объектов X,Y морфизм из копроизведения в произведение X ⊔ Y → X×Y, который определяется тождественными отображениями id_X, id_Y и нулевыми отображениями 0_{X,Y}, 0_{Y,X}, является изоморфизмом. В этом случае копроизведение отождествляется с произведением, обозначается через X⊕Y и называется либо бипроизведением, либо прямой суммой. Отображения между прямыми суммами можно задавать при помощи матриц. Полуаддитивная категория называется аддитивной, если для любого объекта X отображение X⊕X → X⊕X, заданное матрицей [[1,1],[0,1]], является изоморфизмом. Функтор между аддитивными категориями называется аддитивным, если он сохраняет конечные произведения. Пусть A — аддитивная категория и пусть есть функтор в категорию множеств F: A → Set, который сохраняет конечные произведения, то есть F(0) = * , F(X⊕Y) = F(X) × F(Y). Применяя F к морфизмам 0 → X и [1,1] : X⊕X → X, мы получаем структуру абелевой группы на F(X). Таким образом, мы получаем искомый функтор F' : A → Ab.