Студенческий семинар по маломерной топологии

На открытке: надстройка иррационального поворота кольца

Петербургский геометрический семинар им. А. Д. Александрова «Полином Александера узлов претцеля и slice-ribbon гипотеза» Ю. Белоусов 18 мая в 17:00 Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 203 Узел в трехмерной сфере называется гладко срезанным, если он ограничивает гладко вложенный диск в четырехмерном шаре. Гипотеза Фокса о срезанных и ленточных узлах, также известная как slice-ribbon гипотеза, утверждает, что любой гладко срезанный узел является ленточным. Она была сформулирована Фоксом в 1961 году и до сих пор остается открытой — в настоящее время она доказана лишь для небольшого классов узлов. В докладе мы обсудим, что известно о статусе этой гипотезы для узлов претцеля — довольно простого, но при этом содержательного класса узлов. Мы объясним, как классический полином Александера помогает в вопросах срезанности, и обсудим недавно найденную докладчиком замкнутую формулу для полинома Александера узлов претцеля. Затем мы дадим обзор известных результатов о slice-ribbon гипотезе для узлов претцеля.

В понедельник 4 мая, в 17:30 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Геометрические паттерны в Большом графе хирургий Дена» Симона Курапова В докладе будут изложены основы теории…

В субботу 2 мая, в 18:30 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Сертификация зацепленности кривыми на ручках часть 2» Арина Малова Идейное продолжение первой части доклада. В…

В субботу 2 мая, в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Минимальные симплициальные сферические отображения заданной степени» Ксения Аполонская Мы исследуем минимальное…

В понедельник 4 мая, в 17:30 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Геометрические паттерны в Большом графе хирургий Дена» Симона Курапова В докладе будут изложены основы теории…

В понедельник 4 мая, в 17:30 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Геометрические паттерны в Большом графе хирургий Дена» Симона Курапова В докладе будут изложены основы теории трёхмерных многообразий и некоторые продвинутые аспекты исчисления Кёрби. Начиная с универсальных моделей, включая разбиение Хегора и разложение на ручки, поговорим о хирургиях в многообразиях и перейдем к изучению трюков с диаграммами Кёрби (внимательно смотря, в частности, на slam-dunk и cancelling pairs, не забывая о размерности 4). Обсудим инварианты трёхмерных многообразий, вычисляемые из диаграмматического представления (фундаментальная группа, первая группа гомологий и инвариант Кассона-Уолкера-Лескоп), и их изменение при хирургиях. Главным и завершающим сюжетом будет обнаружение новой геометрической закономерности в структуре Большого графа хирургий Дена.

В субботу 2 мая, в 18:30 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Сертификация зацепленности кривыми на ручках часть 2» Арина Малова Идейное продолжение первой части доклада. В этот раз мы обсудим обобщение сертификатов неразводимости на случай зацеплений в неприводимых трёхмерных многообразиях. Представление о первой части приветствуется, но не требуется.

В субботу 2 мая, в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Минимальные симплициальные сферические отображения заданной степени» Ксения Аполонская Мы исследуем минимальное число вершин триангуляции сферы, достаточное для существования симплициального отображения заданной степени 𝑑 на границу симплекса. Для всех размерностей 𝑛 получим асимптотические верхние оценки этого числа при увеличении степени. Для малых степеней (𝑑 = 2, 3, 4) найдём точное минимальное число вершин. Также научимся сводить задачи высокой размерности к случаям меньшей размерности.

В пятницу 24 апреля, в 17:30 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Действия n-значных групп и циклические разветвленные накрытия» Степан Майоров Будет рассказано про теорию…

В пятницу 24 апреля, в 17:30 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Действия n-значных групп и циклические разветвленные накрытия» Степан Майоров Будет рассказано про теорию $n$-значных групп и недавно выявленные её связи с циклическими накрытиями, разветвленными вдоль узлов. Также покажем связь задачи существования пространства орбит действий $n$-значных групп с известной задачей реализации Нильсена подгруппы внешних автоморфизмов фундаментальной группы. Построим действия $n$-значных групп с пространством орбит, гомеоморфным трехмерной сфере, которые связаны коммутативной диаграммой с циклическими накрытиями, разветвленными вдоль известных семейств узлов.

Петербургский геометрический семинар им. А. Д. Александрова «Динамика кос, ограниченные когомологии и геометрия узлов» И. Алексеев 13 апреля в 17:00 Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 203 Геометризационная программа Тёрстона естественным образом связывает динамику гомеоморфизмов поверхностей, геометрию трёхмерных многообразий и теорию узлов и зацеплений. В докладе я расскажу, как этот круг идей проявляется в теории кос. Коса естественным образом интерпретируется как класс отображений проколотого диска, а её замыкание задаёт узел или зацепление в трёхмерной сфере. Это приводит к вопросу о том, в какой мере топологию и геометрию замыкания можно восстановить по динамике соответствующей косы. Я объясню, почему естественными мерами сложности здесь оказываются асимптотические числа переноса действия группы кос на комплексах дуг и кривых. Эти величины отражают глобальную динамическую сложность косы и позволяют получать содержательные выводы о замыкании: признаки нетривиальности, простоты, гиперболичности и жёсткости минимальных кос-представителей, а также нижние оценки для рода Зейферта, числа перекрёстков и гиперболического объёма. Затем я покажу, как эта геометрическая картина связана с ограниченными когомологиями групп кос. Квазиморфизмы и соответствующие им полунормы дают эффективный инструмент для измерения динамической сложности, формируя мост между алгебраической и геометрической сторонами теории. Этот подход приводит к новым связям между ограниченными когомологиями, динамикой кос и геометрией узлов и зацеплений. Я также упомяну приложения, включая доказательство гипотезы Бигелоу и результаты, описывающие геометрическую слепоту инвариантов конечного типа (Васильева—Гусарова).

Завтра, в субботу 21 февраля, в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Теоремы единственности для закрученности кос» Илья Алексеев Закрученность (или коэффициент дробного…

Студенческий коллоквиум «Когда динамика и геометрия совпадают: косы и узлы в программе Тёрстона» И. Алексеев 26 февраля в 17:30 14 линия В.О., 29, ауд. 201 Геометризационная программа Уильяма Тёрстона связывает в единый сюжет униформизацию поверхностей…

Студенческий коллоквиум «Когда динамика и геометрия совпадают: косы и узлы в программе Тёрстона» И. Алексеев 26 февраля в 17:30 14 линия В.О., 29, ауд. 201 Геометризационная программа Уильяма Тёрстона связывает в единый сюжет униформизацию поверхностей, динамическую классификацию гомеоморфизмов поверхностей, геометрическую классификацию узлов и зацеплений и, наконец, геометризацию 3‑многообразий. Её главный тезис гласит: сложная топология малых размерностей кодируется хорошими геометрическими структурами. В докладе я расскажу, как этот сюжет проявляется в теории кос и узлов. По теореме Александера любое зацепление представляется в виде замкнутой косы, а по теореме Маркова сравнение таких представлений сводится к алгебре в группах кос. Сами косы имеют динамическую природу: группа кос изоморфна группе классов гомеоморфизмов диска с проколами. Это приводит к естественному вопросу: можно ли «увидеть» геометрию и топологию зацепления, наблюдая только за динамикой соответствующей косы? В частности, как динамическая классификация кос (периодические, приводимые и псевдо-аносовские) связана с геометрической классификацией зацеплений (торические, сателлитные и гиперболические)? Ключевым мостом будет действие группы кос на комплексе дуг и кривых. Я объясню, как асимптотическая динамика — через число переноса — отражает тип косы и служит измерителем «динамической сложности». Затем я покажу, как большие значения этого инварианта ведут к жёстким геометрическим выводам о замыкании косы — и как «наиболее интересная динамика» (псевдо-аносовские косы большой сложности) соответствует «наиболее богатой геометрии» (гиперболические зацепления большого объёма).

Завтра, в субботу 21 февраля, в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Теоремы единственности для закрученности кос» Илья Алексеев Закрученность (или коэффициент дробного…

Завтра, в субботу 14 февраля, в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Ограниченные когомологии и динамика групп классов отображений поверхностей» Илья Алексеев В 2013…

Завтра, в субботу 21 февраля, в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Теоремы единственности для закрученности кос» Илья Алексеев Закрученность (или коэффициент дробного скручивания Дена) — это вещественнозначный инвариант сопряженности в группах кос, который измеряет то, насколько внешняя часть косы «закручена» или «перекручена». Закрученность является псевдохарактером (1-квазикоциклом) и допускает ряд естественных характеризаций в классе таких отображений. Доклад посвящен двум таким характеризационным теоремам, полученным А. Малютиным в 2004 году и П. Феллером в 2025 году Мы изложим базовые свойства закрученности и выведем из них теорему Малютина. Кроме того, мы обсудим действие группы кос на комплексе дуг, порядок Деорнуа на группах кос и теорему Фенна-Грини-Рольфсена-Рурка-Виста 1999 года об эквивалентности геометрического и алгебраического определений порядка Деорнуа, на которой основано рассуждение Феллера. Наконец, мы приведём новый аналог теоремы ФГРРВ, применимый для крашеных кос, и выведем из него теорему Феллера Если позволит время, мы приведём интерпретацию характеризации Феллера как экстремального свойства закрученности относительно введённой ранее когомологической полунормы коc, а также изложим альтернативное доказательство теоремы Феллера, основанное на рассуждении Хонды-Казеза-Матича 2007 года

Семинар института Эйлера «Quantum Topology and Categorification» Ю. Белоусов По вторникам в 15:30 14 линия В.О., 29, ауд. 201 Zoom Семинар посвящен изучению квантовых инвариантов узлов, зацеплений и трехмерных многообразий, а также их категорификаций. Эти конструкции и методы сформировались на стыке маломерной топологии, алгебры и математической физики и играют центральную роль в современных подходах к теории узлов и трехмерной топологии. Первые несколько встреч будут вводными: мы дадим краткий обзор квантовых инвариантов на примере полинома Джонса и обсудим идею категорификации на примере гомологий Хованова. Далее семинар будет проходить в формате докладов участников по выбранным работам. Мы будем обращаться как к классическим статьям, задавшим основные направления развития, так и к современным публикациям и препринтам по этим и близким темам. Семинар рассчитан на студентов старших курсов, магистров и аспирантов. Предполагается, что слушатели знакомы с теорией узлов.

В субботу 14 февраля, в 13:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Об одном инварианте узлов» Анастасия Вахрина Доклад посвящён новому полиномиальному инварианту узлов, недавно…