Квантландия | Интересные задачи и не только

В задаче про число на доске ответ 1863920=920•2026. Пусть мы стерли цифры, образующие число B, а осталось n-значное число A. Значит, 10^n•B + A = 2026•A, то есть 10^n•B = 2025•A. Искомое число, как мы помним, равно 2026A, так что наша цель сделать A как можно больше. В показанном примере n=3. Если n⩾4, то 2025A кратно 10000, то есть A кратно 100 и потому 2026A кончается на два нуля. Но это невозможно, так как все цифры 2026A должны различаться. Итак, n=3, и тогда 40B = 81A. Значит B=81k, A=40k < 1000, то есть k⩽24. Ищем теперь максимальное k. Если k=24, то B = 81k = 1944 – есть повторяющиеся цифры. А если k=23, получаем заявленный ответ. В задаче Пети Кима поможет центральная симметрия относительно точки пересечения медиан. Ответы в трёх задачах на засыпку таковы: (1) 8; (2) ни одной машины, так как очередь из машин сдвинется вперёд; (3) да, например, если пешка своим ходом превращается в ферзя и открывает шах, который даёт другой ферзь. Решение задачи про построение одной монетой изображено на рисунке. Исходная окружность синяя. Сначала по цепочке прикладываем монету 6 раз (6 зелёных окружностей), а затем строим 2 красные через точки касания. Они пересекаются в центре синей окружности. Наконец, вишенка на торте это объяснение 5-классников в задаче про рыбака: рыбак может уехать против течения на 20 км, а затем просто возвращаться по течению без включенного мотора и рыбачить. Логично же😁? #Разборы

Сегодня разбираем некоторые задачки августа! В задаче про брошюру листы нумеруются “горизонтальной змейкой” (см. рисунок). Нужный нам лист отмечен жёлтым (его обратная сторона это страница с номером 50). При другой нумерации “вертикальной змейкой” этот лист имеет номер 33, а соответствующая страница номер 66. Ответ: 66. В задаче по алгебре просто домножим обе части равенства a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 1 на (a+b+c). Получим (a²/(b+c) + a) + (b²/(c+a) + b) + (c²/(a+b) + c) = a+b+c. Отсюда, a²/(b+c) + b²/(c+a) + c²/(a+b) = 0. Всё! В задаче про многоугольник и "вечный двигатель": среди всех прямых, содержащих стороны многоугольника, выберем ту, расстояние до которой от точки M наименьшее. Тогда перпендикуляр из точки M на эту прямую попадёт на сторону, а не на её продолжение. Действительно, иначе этот перпендикуляр пересекает какую-то другую прямую, содержащую сторону, расстояние до которой от M ещё меньше, ведь перпендикуляр короче наклонной. А этого не может быть в силу нашего выбора прямой. #Разборы

“Как 5-классники преподавателей перехитрили” На днях 5-классникам была предложена такая задачка: Имея полный бак топлива, рыбак может проплыть на моторной лодке 20 км против течения или 30 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может отплыть по реке, чтобы топлива хватило и на обратный путь? Рассуждать можно так: Чтобы проплыть 60 км против течения, а потом 60 км по течению, потребуется 3+2 = 5 баков. Значит, одного бака хватит на 60:5 = 12 км туда и обратно. Кажется, что всё логично, не так ли? Однако хитрые 5-классники всё же указали на то, что здесь есть ошибка. Какая же? #ЗадачиИзЖизни #УстныйСчёт #Юмор

А уже сегодня прилетел в Казань. Привет всем подписчикам из Казани! #Новости

Вчера провёл онлайн-лекцию “Необычные построения” для всех желающих. Вот пример несложной задачки с этой лекции в качестве вечерней разминки: Пятирублёвую монету положили на лист бумаги и обвели по контуру. Можете ли вы построить центр получившейся окружности, если у вас нет ни циркуля, ни линейки, а только эта пятирублёвая монета? (Считаем, что, двигая монету, можно построить окружность, касающуюся другой окружности, а также окружность, проходящую через две заданные точки, если они не лежат далеко друг от друга). А если Вы хотите узнать какую-нибудь сложную задачку на эту тему, то поставьте любую уникальную реакцию😁 #ВечерняяРазминка #ГеометрияДляВсех

“Задачи из тетради” Нашёл у себя тетрадь, в которую я 30 лет назад записывал задачки, которые мне понравились, а также некоторые авторские задачи. Именно из этой тетради выросла потом моя книжка “От задачек к задачам”. Представляете, тогда даже не было ещё сайта https://www.problems.ru/ Некоторые классические задачки можно разглядеть уже на первой странице😁 А сегодня одна из задач тетради, которая не вошла в книжку: По проволочному кубу ползают с одинаковой скоростью муха и два паука. Всегда ли пауки смогут поймать муху? А если Вы хотите увидеть больше “задач из тетради”, то обязательно поставьте 🔥 #ЗадачиИзТетради #Игры #Стратегии

Сегодня в качестве разминки отличная классическая задачка! Сможете найти простое и красивое решение? Выпуклый n-угольник разбит на треугольники непересекающимися диагоналями, причём в каждой его вершине сходится нечётное число треугольников. Докажите, что n делится на 3. #ГеометрияДляВсех #Комбинаторика

“Как уральские дети Эйлера перехитрили” Возможно первая олимпиадная задача, которую я встретил в своей жизни, была следующей. Дело было в детском саду в СССР. Посмотрите на первую картинку (открытый конверт). Нарисуйте её карандашом, не проводя по одной линии дважды и не отрывая карандаша от листа бумаги. Справились? А теперь попробуйте сделать то же самое для “запечатанного конверта” (второй рисунок). Великий математик Леонард Эйлер давным-давно доказал, что этого сделать нельзя. Действительно посмотрим на 4 вершины такого конверта. Из каждой из этих четырёх вершин выходит по 3 линии (нечётное число). С другой стороны, для любой вершины, кроме начала и конца нашего пути, мы входим в вершину по одной линии, а выходим по другой, то есть линии встречаются парами и количество таких линий (математики их называют рёбрами графа) чётно. В итоге, у нас может быть не более двух вершин, из которых выходит нечётное число линий (начало и конец пути), тогда как у “запечатанного конверта” таких нечётных вершин четыре. Однако хитрые уральские дети всё же предложили способ нарисовать “запечатанный конверт”, не проводя по одной линии дважды и не отрывая карандаша от листа бумаги. Как же они это сделали😁? Предлагайте свои способы, но не забывайте их скрывать (оборачивать в Spoiler)! #Комбинаторика #ЗадачиИзЖизни

Друзья! Напоминаем, что сегодня последний день, когда действует скидка 10% по промокоду Kvantland на летнюю математическую школу Квантландия 24-28 августа для поступивших в 5-7 классы. Осталось 4 места! Как это будет и почему стоит участвовать: 1. В первый день диагностика уровня участника и распределение в одну из мини-групп своего уровня. 2. Специально для Вас мы собрали уникальную команду преподавателей, авторов олимпиадных задач и авторов Квантландии. 3. Расскажем основные идеи, которые работают в каждом из четырёх разделов: Геометрия (М.А. Евдокимов), Комбинаторика (А.В. Грибалко), Логика (И.А. Эльман), Числа (И.Т. Русских). 4. Эти преподаватели работают в каждой из мини-групп. 5. Кроме этого будут мастер-классы, различные активности и игры, которые подготовили наши ассистенты с мехмата МГУ. 6. Занятия пройдут в абсолютно новом здании лицея им. С. Нюберг недалеко от центра Москвы (Павелецкая набережная, 8с24). Мы будем первыми, кто будет учиться в этом здании! 7. Лицей обеспечивает трёхразовое питание и комфортные условия (охраняемая территория в центре Москвы). 8. ЛМШ это хорошая возможность познакомиться с олимпиадной математикой или повысить свой уровень. 9. Хорошая возможность начать свой учебный год интересно! 10. Но самое важное - это новые друзья и впечатления! Делитесь этой информацией с друзьями. Подробности и регистрация здесь: https://nyberg.school/kvantlandiya-math-school #Новости

Сегодня в качестве утренней разминки симпатичная задачка про карточки (автор А. Грибалко) с новой картинкой от нашего художника ❤️. Антон, Боря, Витя, Глеб и Дима сидят за круглым столом именно в таком порядке по часовой стрелке. Им раздали по карточке, на которых написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, каждый видит только своё число. Саша задал всем вопрос: «Твоё число больше, чем у твоих соседей?», и мальчики ответили в указанном порядке. Известно, что Глеб ответил «Не знаю». Какое число может быть на карточке у Глеба? #УтренняяРазминка #Логика

“Дабромат” проводит серию бесплатных онлайн-лекций по геометрии для всех желающих. В основном это лекции для старших школьников, но большинство задач моего занятия “Необычные построения” доступны и ученикам 7-8 класса! Разберём интересные задачи, некоторые из которых были на нашем канале, а также некоторые новые задачки. Приходите, будет интересно! Подробности и запись на лекции здесь: https://clck.ru/3V7yxP 10.08 Д.Бродский. Кубика произведений 12.08 Д.Дёмин. Эллиптические кривые в криптографии 13.08 М.Евдокимов. Необычные построения 18-19.08 П.Бибиков. Геометрия Лобачевского 2 21.08 М.Волчкевич. Неравенства в геометрии и задачи на максимум-минимум 23.08 А.Заславский. Кубические кривые и элементарная геометрия 25.08 В.Болбачан. Эллиптические кривые и алгебраическая геометрия #Новости #ГеометрияДляВсех

“Три задачи на засыпку” Иногда нас упрекают, что на канале мало простых задач. Внимание! Мы исправляемся и сегодня аж три такие задачи. Но в каждой есть маленькая хитрость😁 Итак, у Вас три минуты на три задачи. Ответы можно писать в комментариях, но не забывайте их скрывать. А если Вам нравится новая рубрика, то обязательно поставьте ❤️ 1. Сколько граней у нового шестигранного карандаша? 2. На стоянке такси стояло 7 машин. Передняя отъехала с пассажиром. Сколько машин осталось на месте? 3. Возможно ли объявить двойной шах двумя одноименными фигурами? Возможно Вас удивила сегодняшняя картинка? Так выглядит “задача на засыпку” по мнению GigaChat😁 #ЗабавныеВопросы

Друзья! 1. Напоминаем Вам, что сейчас идут турниры с интерактивными задачами по математике https://math.kvantland.com/ и по физике https://phys.kvantland.com/ Участие бесплатное, победители получат призы! Проходить нужно на ноутбуке (не мобильных устройствах) и регистрироваться на турнир лучше не с gmail-почтой, а с альтернативной. Решать можно в любое удобное время. По математике мы продлили турнир до 31 августа, по физике планируем продлить до 30 сентября. 2. Сейчас готовим турнир по информатике! Надеюсь, что скоро запустим! 3. Также полным ходом идёт IT-разработка задач финального турнира по математике. В этот раз мы подготовили сюрприз и также делаем турнир для 1-3 класса! 4. 24-28 августа проводим летнюю математическую школу Квантландия для поступивших в 5-7 классы с авторами олимпиадных задач в центре Москвы. Вся прибыль пойдёт на разработку новых бесплатных онлайн-турниров. До 10 августа включительно действует скидка 10% по промокоду Kvantland. Осталось 5 мест. Подробности и регистрация здесь: https://nyberg.school/kvantlandiya-math-school Делитесь этой информацией с друзьями! #Новости

Однажды в журнале “Квантик” была опубликована задача по геометрии ученика 4 класса! Вот эта задача: На каждой из сторон треугольника ABC выбраны красная и синяя точки так, что красная точка делит сторону в отношении 2 : 1, а синяя – в отношении 1 : 2 (если обходить треугольник по часовой стрелке). Через красные точки провели окружность, и через синие – тоже. Докажите, что отрезок, соединяющий центры этих окружностей, проходит через точку пересечения медиан треугольника ABC. Это был ученик 4 класса Петя Ким. Пётр ещё учится в школе, но уже представляет свой проект на Летней Конференции Турнира Городов, который проходит в эти дни в Москве🔥. С проектом можно познакомиться здесь: https://turgor.ru/lktg/2026/4/index.html #ГеометрияДляВсех #ГеометрияНеДляВсех

Сегодня День Рождения у автора замечательных задач Константина Кнопа. Поздравляем! И по этому поводу в качестве вечерней разминки отличный математический фокус (автор К. Кноп): Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 12 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему выбору. Затем возвращается фокусник. Помощник открывает одну шкатулку, в которой нет монетки. Далее фокусник указывает на 4 шкатулки, и их одновременно открывают. Цель фокусника – открыть обе шкатулки с монетками. Предложите способ, как договориться фокуснику с помощником, чтобы этот фокус всегда удавался. #Фокусы #ВечерняяРазминка

“Пусть будет так.” Cегодня в качестве разминки моя новая числовая задачка, которая совсем недавно была на турнире Савина. Члены жюри считали задачу несложной, но многие участники с ней не справились. DeepSeek в режиме “умного поиска” также не справился. Долго что-то писал, а потом выдал: “Пусть будет так” (см. скрин).😁 В режиме “глубокого мышления” получил верный ответ, но решение заняло страниц 10. Тем не менее есть очень короткое решение! Сможете его найти? На доске написано натуральное число, все цифры которого различны. Если стереть несколько первых цифр этого числа, то оно уменьшится ровно в 2026 раз. Какое наибольшее число могло быть написано на доске? #Числа #ИскусственныйИнтеллект

Раньше мнимые “вечные двигатели” выставляли в витринах часовых магазинов для привлечения внимания. Забавную историю рассказывает Яков Перельман в своей книге: “Один рекламный вечный двигатель доставил мне однажды немало хлопот. Мои ученики-рабочие были им настолько поражены, что оставались холодны к моим доказательствам невозможности существования вечного двигателя. Вид шариков, которые, перекатываясь, вращали колесо и тем же колесом поднимались вверх, убеждал их сильнее моих доводов: они не хотели верить, что мнимое механическое чудо приводится в действие электрическим током от городской сети.” Как же Перельману удалось убедить учеников в своей правоте? #ЗадачиИзЖизни #Физика

“При чём здесь вечный двигатель?” Ещё в школе мне встретилась любопытная задача: Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, опущенных из внутренней точки M выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне, а не на её продолжении. Физики предложили такое решение. Предположим, что все основания перпендикуляров падают на продолжение стороны, а не на саму сторону. Построим “колесо” в форме нашего многоугольника и прикрепим груз так, чтобы центр масс оказался в точке M. Так как перпендикуляр из центра масс не проходит через опору, то наша конструкция опрокинется, потом ещё раз опрокинется и т.д. Наше “колесо” придёт в движение и получится “вечный двигатель”. Но вечного двигателя не существует. Противоречие. Как вам такое решение😁? А сможете придумать строгое математическое доказательство? #ГеометрияДляВсех #Физика