Олимпиадная геометрия

Проект конференции тургора "Геометрия окружностей"

Всем привет! Если вы хотите посмотреть лекцию про теорему Птолемея, но забыли зарегистрироваться на конференцию Профиматики, вы можете посмотреть ее на канале Олимпиадной геометрии. Если все пойдет по плану, то она начнет стримиться приблизительно через 98 минут https://youtube.com/live/8GgEKiQXp-A?feature=share

Согласился 1-го августа прочитать лекцию про теорему Птолемея. Готовлю презентацию. Вот доказательство методом пристального вглядывания.

IMO-2026, Problem 2. Let ABC be a triangle and let points M and N be the midpoints of sides AB and AC, respectively. Let points K and L be chosen inside triangles BMC and BNC, respectively, such that K lies inside the angle LBA, L lies inside the angle ACK, and ∠ KBA= ∠ ACL, ∠ LBK= ∠ LNC, ∠ LCK= ∠ BMK Let O be the circumcentre of triangle AKL. Prove that OM = ON. (Proposed by Mykhailo Shtandenko, Ukraine)

Задача 87: Точки P и Q изогонально сопряжены в треугольнике ABC.Касательная в точке A к окружности (APQ) пересекает (ABC) в точке K.Оказалось, что PQ проходит через точку пересечения медиан M, докажите, что тогда окружность (KPQ) проходит через центр (ABC)

Во вписанном четырехугольнике ABCD точки M и N — середины сторон AD и BC соответственно. На стороне AD отмечена точка K и на стороне BC отмечена точка L такие, что ∠KCD=∠ABM и ∠LAB=∠CDN. Докажите, что прямая KL проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника.

Переводчику геометрической терминологии на заметку... Humpty Dumpty Шалтай Болтай Хитун Бовтун Ханьці Данці Шалам Балам Goggel Moggel Eilein Weilein Zanco Panco Wańka Wstańka Lilleri Lalleri Lille Trille Dingi Dungi Undi Dundi Tombolo Dondolo Uomo Uovo Rondu Pondu Oliņš Boliņš Kuugel Muugel Rafadan Kafadan ალთა ბალთა Hompie Kedompie خی، خی پریم קֶשֶׁת דַּבֶּשֶׁת

по мотивам классики. синий - правильный шестиугольник, желтый - правильный пятиугольник. найдите угол

желтый и синий — квадраты. докажите касание

Geometry that whispers. Number theory that shouts. Combinatorics that lies. из текста про Ивана Часовских, переопубликованного тут

иллюзии, с которыми стоило бы расстаться начинающему автору геометрических задач: 1. у задачи, которую я придумал, очень сложное счетное решение, никто считать ее не будет 2. задача, которую я придумал, новая и свежая, никто о таком раньше не думал 3. чем сложнее задача/конструкция, тем лучше, красивее и оригинальнее 4. простые задачи придумывать легко

(а) Докажите, что в любом остроугольном треугольнике есть замкнутая бильярдная траектория. (б) Докажите, что в любом треугольнике с углами меньше 100 градусов есть замкнутая бильярдная траектория. (в) Докажите, что в любом треугольнике есть замкнутая бильярдная траектория. Бильярдная траектория - траектория полета шара, при которой угол падения на сторону равен углу отражения. Можно считать, что в вершину шар не залетает.

Можно даже еще чуть-чуть обобщить

Еще одно обобщение теоремы Штейнера

Вопросу из комментариев посвящается. Обобщение теоремы Штейнера. Докажите, что отношение площадей зеленых треугольников равно отношению площадей красных.