Фулл и точка

#геом_разминка #medium #9 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с центром вписанной окружности 𝐼, и вписанная окружность касается стороны 𝐵𝐶 в точке 𝐷. Точки 𝐸, 𝐹 таковы, что 𝐵𝐸 ‖ 𝐴𝐼 ‖ 𝐶𝐹 и ∠𝐵𝐸𝐼 = ∠𝐶𝐹𝐼 = 90°. Если прямые 𝐷𝐸 и 𝐷𝐹 пересекают вписанную окружность в точках 𝐸′ и 𝐹′ соответственно, докажите, что 𝐸′𝐹′ ⊥ 𝐴𝐼.

#геом_разминка #medium #9 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — выпуклый четырёхугольник, в котором 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. Биссектрисы внутренних углов ∠𝐷𝐵𝐴 и ∠𝐶𝐵𝐷 пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐷𝐴𝐶 и 𝐷𝐸𝐹 касаются.

#геом_разминка #medium #9 Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 пусть 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶, а 𝑁 — середина отрезка 𝐴𝑀. Окружность, проходящая через 𝑁 и касающаяся прямой 𝐴𝐶 в точке 𝐴, пересекает отрезок 𝐴𝐵 повторно в точке 𝑃. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐵𝑃𝑀 касается прямой 𝐴𝑀.

Публикуем задачи с IMC 2026 — Международной студенческой олимпиады по математике 👨‍🎓 Иван Кухарчук был тимлидом сборной НИУ ВШЭ на этой олимпиаде. Вот результаты ребят: 🥇 Александр Климчук, студент 3 курса ПМИ — 71 балл 🥇 Айнур Махмутов, студент 1 курса ПМИ — 62 балла 🥇 Никита Золин, студент 3 курса ПМИ — 62 балла 🥇 Алексей Поздеев, студент 2 курса матфака — 60 баллов 🥇 Андрей Кандрашкин, студент 1 курса ПМИ — 59 баллов 🥇 Артемий Бакаев, студент 2 курса ПМИ — 57 баллов 🥈 Михаил Далингер, студент 1 курса ПМИ — 47 баллов 🥈 Таисия Липатова, студент 2 курса матфака — 47 баллов 🥈 Роман Прозоров, студент 1 курса ПМИ — 46 баллов 🥉 Карим Аляутдинов, студент 2 курса бакалавриата «Экономика и анализ данных» — 40 баллов 🥉 Василий Сильвестров, студент 3 курса ПМИ — 40 баллов Сборная Вышки попала в топ-10 лучших команд мира! 🌍🏆 Поздравляем ребят! Кстати, мы продолжаем сотрудничать с ФКН ВШЭ: полным ходом идет набор в бесплатный кружок по олимпиадной математике для детей из регионов. Занятия по субботам, онлайн. Подробности на 👉 странице кружка 👈 До окончания отбора осталось совсем немного времени, успейте подать заявку!

#геом_разминка #medium #10 Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴-вневписанная окружность касается 𝐵𝐶 в точке 𝐷 и пересекает описанную окружность в двух точках 𝐹 и 𝐺. Прямые 𝐷𝐺 и 𝐷𝐹 пересекают среднюю линюю треугольника 𝐴𝐵𝐶 параллельную 𝐵𝐶 в точках 𝑃 и 𝑄 Докажите, что 𝐴𝑃 = 𝐴𝑄.

Представляем вашему вниманию 👀 второй тур олимпиады Шарыгина 📐🥇 Задача 9.5. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 биссектрисы 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 пересекаются в точке 𝐼, 𝑂₁ и 𝑂₂ — центры окружностей, вписанных в треугольники 𝐵𝐹𝐼 и 𝐶𝐼𝐸 соответственно. Докажите, что ∠𝑂₁𝐴𝐵 = ∠𝑂₂𝐴𝐶. Задача 9.7. Точки 𝐵′ и 𝐶′ являются отражениями вершин 𝐵 и 𝐶 относительно сторон 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶. Прямая 𝐵′𝐶′ пересекает стороны 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Описанные окружности треугольников 𝐵𝐵′𝐹 и 𝐶𝐶′𝐸 пересекаются в точках 𝑋, 𝑌. Докажите, что ∠𝐵𝑋𝐶 = ∠𝐵𝑌𝐶 = 60°. Задача 10.8. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶. Точки 𝐵₁ и 𝐶₁ взяты на сторонах 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 так, что ∠𝑀𝐵₁𝐶 = ∠𝑀𝐶₁𝐵 = 60°. Докажите, что прямые Эйлера треугольников 𝐴𝐵₁𝐶₁, 𝐵𝑀𝐶₁ и 𝐶𝑀𝐵₁ пересекаются в одной точке.

#геом_разминка #medium #8 Задача. Четырёхугольник 𝑄₁ вписан в окружность 𝜔. Биссектрисы углов между его диагоналями пересекают 𝜔 в четырёх точках, образующих четырёхугольник 𝑄₂. Докажите, что прямые, соединяющие середины диагоналей четырёхугольников 𝑄₁ и 𝑄₂, перпендикулярны.

Публикуем задачи первого тура олимпиады Шарыгина🔥 Задача 8.3. Вписанная окружность неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 касается сторон 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 в точках 𝐴′, 𝐵′ соответственно. Прямые 𝐴𝐴′ и 𝐵𝐵′ пересекаются в точке 𝐺, а высоты треугольника — в точке 𝐻. Докажите, что 𝐴, 𝐵, 𝐺, 𝐻 лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда ∠𝐴𝐺𝐶 = ∠𝐵𝐺𝐶. Задача 8.4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 провели симедианы 𝐵𝐵₁, 𝐶𝐶₁ и отметили их середины 𝑀, 𝑁 соответственно, а также середину 𝐴₀ стороны 𝐵𝐶. Прямая 𝐴₀𝑀 пересекает прямую 𝐶𝑁 в точке 𝑃, прямая 𝐴₀𝑁 пересекает прямую 𝐵𝑀 в точке 𝑄. Докажите, что окружность 𝐴₀𝑃𝑄 касается 𝐵𝐶. Задача 9.4. Вневписанные окружности неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 касаются отрезков 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 в точках 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁ соответственно. Точка 𝐴′ симметрична 𝐴 относительно серединного перпендикуляра к отрезку 𝐵₁𝐶₁. Аналогично отметим точки 𝐵′ и 𝐶′. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴′𝐵′𝐶′ касаются.

#геом_разминка #medium #9 Задача. В четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 углы 𝐵 и 𝐷 прямые. Прямые 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝐸, а прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐹. Прямая, проходящая через 𝐵 параллельно 𝐶𝐷, пересекает описанную окружность 𝜔 треугольника 𝐴𝐵𝐹 в точке 𝐾, а отрезок 𝐾𝐸 пересекает 𝜔 в точке 𝑃. Докажите, что точки 𝐴, 𝑃 и середина 𝐶𝐸 лежат на одной прямой.

#геом_разминка #medium #10 Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Лучи 𝐵𝐴 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑃. Прямая, проходящая через 𝑃 и параллельная касательной к окружности в точке 𝐷, пересекает в точках 𝑈 и 𝑉 касательные, проведённые к окружности в точках 𝐴 и 𝐵. Докажите, что окружности, описанные около треугольника 𝐶𝑈𝑉 и четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, касаются.

#imo_2026 Тренер сборной США по математике Эван Чен опубликовал на своём сайте заметки с решениями задач межнара этого года. Кроме решений можно найти забавные факты: например, последнюю задачу автор придумал, сидя в массажном кресле 🛋 Желаем и вам внезапных прозрений 👀 Сайт Эвана Чена содержит много заметок, полезных олимпиаднику. А еще там есть сложные головоломки)