Высшая математика | LAPLAS

Нет «чистой» математики – модели надо уметь строить и математикам, и физикам, и инженерам. Курс «УМФ» (как и курс «Мат. моделирование») построен по определённой логике: практическая задача → мат. модель → теория для решения задачи → численные методы, если аналитика не помогла. О том, какая теория будет на «УМФ», мы уже рассказывали, дополним лишь, что на курсе будут ещё элементы функционального анализа и вариационного исчисления. Подробная программа представлена на сайте: laplascourses.ru. В этом посте мы хотим подробней остановиться на переходе: задача → мат. модель. Бывает такое, что в универах просто дают уравнение, показывают, как решать, и всё. А откуда оно взялось — дело физиков. Кстати, так ещё могут рассуждать и «чистые математики», а точнее те, кто верит, что такая математика есть. Мы используем такой подход: выводить уравнения не просто нужно, это полезно! Чем? Известно, что большинство диффур, которые возникают «в жизни», не решаются аналитически и приходится их исследовать численно (ЧМ) и качественно (ФА). Оказывается, что сам вывод уравнения уже может подсказать, какой численный метод будет применим к диффуру. Продемонстрируем это на простом примере — уравнении теплопроводности. Более хитрые случаи будут рассматриваться в курсе «УМФ. Продвинутые модели», который начинается 15 августа. Запись на курс открыта до 20.08.2026.

Нелинейные дифференциальные уравнения. Увы, но именно такие уравнения вам чаще всего будут попадаться на практике (если уже не попадаются!). Больно, неприятно, но таков наш нелинейный мир (например, сила сопротивления среды нелинейно зависит от скорости, можно забыть про F = -kV). Можно, конечно, рассматривать линеаризованные уравнения, но это – плюс к погрешности (а она будет увеличиваться как снежный ком). Да и зачем сходу применять приближения, если не все так плохо, ведь есть методы решения нелинейных уравнений. Подробно мы их будем изучать в курсе УМФ, который начинается 15 августа. Помимо нелинейных уравнений мы расскажем и покажем, как строить сложные мат. модели, как вычислять обобщенные производные и решать диффуры в L₂. Численные методы тоже будут – на Python. Полная программа курса тут: laplascourses.ru. Ну а мы, в преддверии старта курса, найдем частное решение уравнения Гинзбурга-Ландау, которое используется для нахождения плотности сверхэлектронов и магнитного поля вблизи температуры перехода.

Математическая модель – как правильно ее составить? Под математическим моделированием часто понимают применение математики для решения задач – описать изгиб балки или транспортный поток, а не просто решить диффур из задачника. Хотя процесс моделирования творческий, мы рекомендуем нашим ученикам придерживаться следующей схемы при построении мат. модели, чтобы она получилась корректной и адекватной: 1. Собираемся с духом. Нужно четко сформулировать цель: какую величину или параметр вы хотите описать, насколько точно модель должна соответствовать реальному процессу, чем можно пренебречь. 2. Вводим переменные, выбираем пространство, в котором будем «жить» (для дифференциальных операторов – это уже полдела!). 3. Самый сложный этап – строим мат. модель. Зачастую это диффур, но получается он из знания предметной области, например, выводится из нескольких известных законов физики. Не забываем основополагающий принцип: приращение = вход – выход. 4. Решаем математическую задачу. Снова, если это диффур, то есть смысл попробовать решить его аналитически или заменами привести к известному уравнению (привет модели Блэка-Шоулза и уравнению теплопроводности). Не получилось? Применяем численные методы. Только помните – ЧМ не панацея, они все проистекают из «теории» и имеют условия применимости (а то был бы один численный метод, который решает все диффуры – вот здорово!). ЧМ дают количественное исследование, что годится далеко не для всех задач, поэтому не забывайте исследовать диффур качественно – вам помогут УМФ и ФА – это самые мощные инструменты прикладника. Мат. пакеты – тоже хорошо, но тот же Matlab считает несобственные интегралы с ошибкой. 5. Интерпретация результатов (именно так Эйнштейн стал знаменит). Нужно оценить, ведет ли себя модель адекватно при изменении некоторых параметров или условий, например, остается ли она устойчивой (и снова, тут ЧМ не помогут и нужно обратиться к УМФ и ФА). На этом же шаге оцениваем точность модели и область ее применимости. 6. Валидация, оценка и итерация, если потребуется. Мат. моделирование – процесс итерационный и это нормально, что по этой схеме придется пройтись несколько раз. Алгоритм рабочий – это подтверждают наши ученики, которые непосредственно применяют это в своей работе: проектируют здания, системы радиосвязи, обучают алгоритмы рекомендаций различных сервисов и моделируют различные газодинамические процессы. Все приходит с опытом, поэтому на курсе УМФ мы с учениками строим мат. модели в контексте разных областей физики и инженерии, живем не только в C², но и в соболевских пространствах, и, конечно, применяем различные численные методы, реализованные на Python. Весь этот инструментарий уменьшает количество итераций приведенного алгоритма и позволяет сразу построить корректную и адекватную модель – если струна есть сплав двух кусков из различных металлов, то модель сразу строим в L₂, а не в C². А что еще будет в курсе УМФ мы рассказали тут: laplascourses.ru.

📌 Уравнения математической физики 🖇 Вы научитесь не только моделировать сложные физические процессы, сводящиеся к дифференциальным уравнениям в частных производных (ДУЧП), но и строить числовые модели на Python. 📒 Вы познакомитесь с многочисленными дифференциальными уравнениями, описывающими окружающий вас мир. Научитесь решать и анализировать дифференциальные уравнения в частных производных. В список моделей и уравнений входят волновые уравнения, уравнение диффузии, некоторые уравнения гидрогазодинамики, уравнения Максвелла, уравнение Гельмгольца, уравнение Шрёдингера и многие другие. Все указанные уравнения можно классифицировать на: гиперболические, параболические, эллиптические и смешанные. Каждая глава курса посвящена рассмотрению некоторой физической задачи, сводящейся к решению ДУЧП определенного типа. ❗️ Так как занятия проходят в мини-группах в формате диалога, то количество мест ограничено. 🏁 Запись на курс открыта до 20.08.2026 🌏 Подробная программа курса и формат тут 👉 https://laplascourses.ru/

Уравнение Лапласа и уравнение диффузии. Эти два уравнения будут подробно изучаться в предстоящем курсе «УМФ. Продвинутые мат. модели». Казалось бы – классика, изученная вдоль и поперек, зачем ей уделять внимание? Рассказываем. Помимо того, что на курсе будут изучаться обобщенные производные, соболевские пространства, спектральные методы и даже численные методы решения УрЧП (реализованные на Python), особое внимание будет уделено тому, как получить ту самую пресловутую мат. модель. Возможно, именно построение корректной модели есть главный навык прикладника. Действительно, не все, но многие реальные процессы неплохо описываются стандартными уравнениями УМФ, особенно если «жить» в L2. Поэтому перед тем, как козырять численными методами (и чтобы было где), прикладнику надо уметь составить корректную мат. модель и по возможности привести ее к одному из «классических» уравнений. Вот и выходит, что остывание супа и цена на опционы описываются одним и тем же уравнением – уравнением теплопроводности. Поэтому смело можно утверждать, что в первую очередь «мат. модельеру» нужно уметь составлять модели и знать «классику». В качестве дополнительной иллюстрации приведем ниже физические процессы, которые описываются уравнением Лапласа и уравнением диффузии. Ну а подробнее какие модели будем изучать на курсе УМФ, рассказали тут: laplascourses.ru.

Уравнение Лапласа и уравнение диффузии. Эти два уравнения будут подробно изучаться в предстоящем курсе «УМФ. Продвинутые мат. модели». Казалось бы – классика, изученная вдоль и поперек, зачем ей уделять внимание? Рассказываем. Помимо того, что на курсе будут изучаться обобщенные производные, соболевские пространства, спектральные методы и даже численные методы решения УрЧП (реализованные на Python), особое внимание будет уделено тому, как получить ту самую пресловутую мат. модель. Возможно, именно построение корректной модели есть главный навык прикладника. Действительно, не все, но многие реальные процессы неплохо описываются стандартными уравнениями УМФ, особенно если «жить» в L2. Поэтому перед тем, как козырять численными методами (и чтобы было где), прикладнику надо уметь составить корректную мат. модель и по возможности привести ее к одному из «классических» уравнений. Вот и выходит, что остывание супа и цена на опционы описываются одним и тем же уравнением – уравнением теплопроводности. Поэтому смело можно утверждать, что в первую очередь «мат. модельеру» нужно уметь составлять модели и знать «классику». В качестве дополнительной иллюстрации приведем ниже физические процессы, которые описываются уравнением Лапласа и уравнением диффузии. Ну а подробнее какие модели будем изучать на курсе УМФ, рассказали тут: laplascourses.ru.

Если произвольной категории стрелка является мономорфизмом и эпиморфизмом, то является ли она изоморфизмом?

Какое расписание занятий на курсах? «Нас часто спрашивают», что называется. На сайте laplascourses.ru у каждого курса есть своя страница, пролистав любую из них вниз, к расписанию, вы найдете раздел «Как проходит курс». В нем указана примерная длительность курса, количество занятий (на данный момент на всех курсах проводится два занятия в неделю по 90 минут), наличие домашних заданий и контрольных работ, а также отмечено, что расписание занятий преподаватель обсуждает с группой. Давайте подробнее разберем, что это означает и как проходит такое обсуждение. Дата старта курса. Она указана на постере и в описании курса. Значит ли это, что именно в этот день будет проведено первое занятие? Нет. В этот день преподаватель присылает в учебный чат «голосовалку» с предлагаемыми днями занятий. Обычно это будние дни после 19.00 или выходные. При выборе расписания преподаватель ориентируется на большинство голосов и предлагает лидирующие варианты в качестве расписания. Если есть ученики, которым эти дни ну совсем не подходят и подстроиться не получается, то обсуждение продолжается и преподаватель предлагает другие дни или время. Обычно всегда удается найти компромисс, даже если ученики живут в разных часовых поясах, что для нас не редкость. Такую «маневренность» в выборе расписания обеспечивает небольшой размер групп. Конечно, основная цель такого подхода – качественное обучение, чтобы преподавателя «хватало» на всех, но помимо этого, в небольшой группе возможно выбрать оптимальное расписание. Все это мероприятие с выбором расписания занимает несколько дней, в течение которых еще можно записаться на курс и поучаствовать в формировании расписания. Можно, в принципе, записаться на курс и после того, как на нем уже прошло 5-6 занятий (они будут доступны в записи), но тогда придется подстраиваться под уже утвержденное расписание. Поэтому если вы не успели записаться, например, на Теорию категорий, то это еще можно сделать на сайте laplascourses.ru. Расписание остается неизменным в течение всего курса? Если кратко, то нет. У учеников меняются обстоятельства, нагрузка (например, во время сессии или летом) и бывает, что изначально выбранное расписание уже не актуально. В этом случае ученики просто предлагают выбрать новое время для занятий. Бывало такое, что расписание менялось 3-4 раза за курс (каждый раз выбирается оптимальное расписание, чтобы все могли подключиться к занятиям).

Выбираемся в offline! Уже два года мы проводим встречи учеников Laplas в Москве (и немного в Питере). Так полторы недели назад мы с учениками и выпускниками посетили усадьбу Тютчева в Мураново. Поездку планировали за 3-4 недели. В этот раз мы решили не просто пообщаться и прогуляться, а устроить настоящее культурное мероприятие. Электричка, местное такси (Матвей – пешком) и встреча в 14:00. Пока ждали сбор всей компании, прогулялись по окрестностям усадьбы, покатались на качелях. До экскурсии было чуть меньше часа, поэтому, как только все собрались, мы прошли на территорию усадьбы. Ученики обсуждали у кого как пишется докторская, кто на каких курсах учился и какая математика нужна для физики плазмы. Подошло время экскурсии. Полтора часа пролетели незаметно – заслуга экскурсовода, потомка Ф. И. Тютчева. После экскурсии мы зашли подкрепиться в кафе на территории усадьбы и там состоялась вторая, незапланированная, часть культурной программы (которая в некоторой степени затмила первую). Кто-то упомянул чай и оказалось, что Борис когда-то писал научную работу про чай и у него даже была презентация. Мы не уверены, что сами китайцы знают про чай столько, сколько Борис! (Про ДНК чая уж точно.) Борис любезно рассказал про свою работу, прошелся по презентации и даже ответил на вопросы слушателей. Кроме Бориса, в нашей компании нашлись еще два чаевода. Наступил вечер, и мы стали собираться домой. Замечательное место, прекрасная компания. Фото прилагаем.

Сегодня разбираем интересную задачу по математическому анализу — одну из тех, что решают ученики курса Высшая Математика в ДЗ 📚