Логика и метаматематические исследования

3.     Опровержение канторовской диагонализации: Ключевым результатом работы стало выявление уязвимости в методе диагонального доказательства Кантора. Автор продемонстрировал, что через произвольное перераспределение характеристик элементов бесконечной последовательности (инверсию значений в таблице) можно установить взаимно однозначное соответствие между любым множеством бесконечных множеств и множеством натуральных чисел. 4.   Авторская идея и перспективы: Основной вывод исследования заключается в том, что утверждение о существовании несчетно бесконечных множеств является необоснованным. Это снимает принципиальный запрет на полноту и непротиворечивость исчислений предикатов высших порядков. Следовательно, открывается теоретическая возможность для синтаксического выделения и устранения любых негативных самореференций в семантических конструкциях, что критически важно для проектирования безупречных правовых и управленческих систем.

Заключение В ходе проведенного исследования была проанализирована проблема негативной самореференции в правовых нормах, логике и эпистемологии. На основании полученных результатов сформулированы следующие выводы: 1.     Систематизация парадоксов: Установлено, что проблема самореференции является сквозной для социогуманитарного и формального знания — от античного парадокса Эпименида до современных коллизий в конституционном праве (парадокс самоизменения основного закона). Выявлено, что правосознание традиционно обходит эти парадоксы через внешние парадигмы (естественное право, право сильного), не решая их на формальном уровне. 2.     Критический пересмотр ограничений: Рассмотрен основной барьер для создания полных и непротиворечивых систем — теорема Гёделя о неполноте и связанный с ней феномен негативной самореференции доказательств. Работа Гёделя долгое время служила обоснованием невозможности синтаксического исключения семантических парадоксов в социальных и правовых нормах.

С нашей точки зрения, это будет означать, что доказательство Кантором существования несчетно бесконечных множеств содержит уязвимость, а любое множество бесконечных множеств может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие множеству натуральных чисел, то есть является не более, чем счётным.

В современной научной и образовательной парадигмах канторовский диагональный метод рассматривается как решающее, наглядное и настолько очевидное доказательство существования несчетно бесконечных множеств, что выдающиеся логики и математики современности популяризируют его представления для школьников [14]. Между тем, так было не всегда. Как глубокомысленно замечает Клини: «Приведенные … результаты относительно применения понятия 1-1-соответствия к бесконечным множествам могли бы остаться в истории математики как любопытные курьезы, не замеченные до Кантора (или замеченные, но потом забытые) и никому особенно не нужные и после него, если бы оказалось, что 1-1-соответствие можно установить между любыми двумя бесконечными множествами … Однако … существуют и несчетные множества, которые нельзя поставить в 1-1-соответствие со множеством натуральных чисел» [8, с.212-213].

с которого начинаются доказательства ставших сегодня хорошо известными теорем о неполноте формальных систем, и в котором Гёдель прямо упоминает парадокс Лжеца. «Неверно, что доказуемая формула R(n) с номером n доказуема» – так буквально читается формула (1). Для доказательства того, что число n может отсутствовать при пересчете одноместных предикатов R(n), обычно пользуются канторовским диагональным методом, и далее мы докажем, что в этой процедуре рассуждения Кантора скрывается уязвимость, а значит – у нас есть надежда, что не только исчисление высказываний и исчисление одноместных предикатов, но и исчисления двух- и более местных предикатов могут быть полными и непротиворечивыми, а следовательно, у нас вполне обоснованно сохраняется надежда на возможность синтаксического выделения любых негативных самореференций, а значит – и возможностей их избежать в семантических конструкциях – в частности, в правовых нормах.

В этой работе мы сделаем акцент на положении (1) гёделевской работы:

Всеобщая благодушная уверенность в справедливости доказательства Гёделем вышеуказанного тезиса воцарилась если не сразу, то достаточно стремительно – во многом благодаря тому авторитету, который приобрели его работы после доказательства теоремы о полноте исчисления предикатов. Формалисты во главе с Гильбертом некоторое время пытались сопротивляться, а логицисты Рассел и Уайтхед сдались почти сразу. Однако были и те, кто считал, что Гёдель в данной работе просто производит утонченную подмену синтаксиса семантикой, и что арифметические формулы, выражающие тезис о доказуемости собственной недоказуемости, сами по себе не свидетельствуют об этом, а выступают лишь последовательностями знаков для интерпретаторов, которые принимают (придерживаются) или не принимают подобную интерпретацию – таков был Витгенштейн, но этот его фрагмент при его жизни не был опубликован.

С тех пор научная парадигма, вооружившись гёделевской нумерацией как способом обоснования невозможности одновременного доказательства полноты и непротиворечивости формальной системы – исчисления предикатов, в символизме которой могут быть представлены любые содержательные теории, как математические, так и правовые, управленческие, экономические и другие, уверенно дает отрицательный ответ на этот вопрос, который вполне устраивает не только ученое сообщество (включая правоведов), но и юристов, и сотрудников правоохранительных органов. Однако комфорт социальной конвенции скрывает фундаментальную уязвимость – если никто (следуя Гёделю) не может дать нам абсолютной уверенности в аподиктической безупречности социальных норм, то, где гарантии того, что кто-нибудь не сможет воспользоваться этими уязвимостями вопреки интересам общества? На это нам могут возразить, что «хакеры социальной реальности» уровня Гёделя – крайне маловероятный феномен, но, с другой стороны, историческим фактом считается рассказ Эйнштейна о том, что в день или за день до собеседования при подаче заявления на гражданство США, Гёдель рассказал ему, что нашел конституционный способ, как США из демократического государства превратились бы в диктатуру. Эйнштейн просил Гёделя не упоминать об этом факте на собеседовании, тот его благоразумно послушался и в итоге, получил искомое гражданство.

Отрицательный ответ о возможности полного синтаксического исключения семантических парадоксов негативной самореференции Однако, в 1931 году появляется работа Гёделя «О формально недоказуемых высказываниях Principia Mathematica и родственных ей систем», в которой обосновывается, что формальной системе Principia Mathematica и ей подобным – то есть, в исчислении предикатов, могут существовать доказуемые формулы, утверждающего собственную недоказуемость – будем называть этот феномен негативной самореференцией доказательств.

Таким образом, у нас появляется возможность построить полную и непротиворечивую систему, в которой формульные переменные не содержат дополнительных параметров (предметных переменных), и такая система – исчисление высказываний. Когда формульные переменные могут содержать ровно один дополнительный параметр – предметную переменную, мы получаем исчисление одноместных предикатов, которое тоже полно и непротиворечиво – ближайшим образом потому, что мы можем проиндексировать все элементарные предикатные переменные с одной приданной предметной переменной, и записать их уникальными простыми высказываниями. На этом уровне у нас появляется новый класс выражений – предикатные формы различной местности с приданными предметными переменными, количество которых соответствует местности предиката. Заметим, что предикатные формы определенной местности с соответствующим количеством предметных переменных являются значимыми выражениями – формулами, истинностные значения которых при построении моделей (интерпретаций) тоже невозможно определить – для этого нам надо будет вместо предметной переменной подставить предметную константу (индивидный символ), либо, как говорят, «связать» предметную переменную квантором – знаком формальной системы, выражающим, какому количеству предметов, обозначенных переменной, приписывается признак, выражаемый предикатной формой.

В 1910-13 годах именно для решения парадоксов самореферентных инвертированных понятий и самореферентных инвертированных высказываний Рассел и Уайтхед строят формальную систем и теории типов в трехтомнике Principia Mathematica. Выход этого произведения ознаменовал возрождение парадигмы логицизма – концепции, согласно которой всё научное знание выводимо из базовых понятий и принципов логики, впрочем, Рассел и Уайтхед, в отличие от античных стоиков, Декарта, Лейбница и Гегеля, претендовали только на то, что не всё научное знание, а только вся математика должна быть таковой. Краеугольным камнем формальной системы PM является теория типов, в которой никакое множество никоим образом не может быть элементом самого себя. Кроме того, все значимые выражения формальной системы используются автонимно – то есть обозначают исключительно сами себя, возникновение парадоксов Эвбулида и Эпименида просто невозможно. Простейшие выражения формальной системы – это знаки (символы), некоторые из них являются переменными – вместо них мы можем подставлять другие значимые выражения, а некоторые – константами – вместо них подстановка невозможна, зато они сами могут быть подставлены вместо каких-либо переменных. Сложные значимые выражение представляют собой непустую последовательность простых значимых выражений, построенную по заранее сформулированным правилам – правилам образования, и обычно называются формулами.

Спустя более, чем 2000 лет Расселом был обнаружен и парадокс самореферентных инвертированных понятий – множества всех множеств, не являющихся элементом самого себя, о чем он в 1902 году написал в письме к Готлобу Фреге – известному логику, стоявшему у истоков создания исчисления предикатов. В 1925 Фрэнк Рамсей в «Основаниях математики» проводит четкое различие между (в его классификации) логико-математическими парадоксами (самореферентными понятиями) и семантическими – парадоксами самореферентных высказываний, утверждающих собственную ложность.

История науки и эпистемологии складываются таким образом, что некоторые их вехи можно обозначить достаточно точно, указав время эмпирического открытия, которое впоследствии будет вписано в научную теорию и станет научным фактом, или год публикации, содержащей сообщение о такой систематизации и классификации исследуемых объектов, которая станет содержательным базисом новой теории, расширяющей объяснительные возможности прежней, или работы, где формулируется проблема, которая приобретет фундаментальный для науки характер, или решение такой проблемы или метод такого решения. Так, первое упоминание проблемы негативной самореференции – парадокс Эпименида (6-7 века до н.э), мы обнаруживаем в Новом Завете, в Деяниях апостолов, в Послании к Титу. Критянин Эпименид говорит: «Все критяне – лжецы», а значит – и он сам. А если он сам лжец, то всё, что он говорит – ложно, а следовательно, высказывание «Все критяне – лжецы» тоже ложно. Однако, если оно ложно, значит, существуют критяне, не являющиеся лжецами, возможно, среди них Эпименид. Однако, если он не лжец, а говорящий правду, то он говорит правду и о том, что все критяне – лжецы, а значит, он сам – лжец.

Примечательно, как правосознание обходит этот парадокс в разных парадигмах: 1) позитивного права – полагая, например, что на данном историческом этапе развития общества условия его (общества) существования, складываются таким образом, что это должно найти своё закрепление в обновленном (измененном) основном законе; 2) естественного права – например, основной закон, существующий на данный момент времени в данном государстве, не соответствует высшей ценности – естественным правам, а потому должен быть изменен; 3) права сильного – основной закон – это волеизъявление сильнейшего, а потому может быть изменен по его произволу в любое время. Отметим, что эти уклонения позволяют привычным, традиционным, обычным образом осуществлять правотворческую и правоприменительную деятельность, однако они не приносят формального разрешения, и это создает возможности адаптации данной формальной уязвимости к предельно общим предписаниям социальных норм. Таким образом, перед нами следующая проблема: можно ли избежать коллизий негативной самореференции в социальных нормах и управлении социальными организациями и процессами по этим нормам на формальном (синтаксическом) уровне?

Негативная самореференция: определение понятия, постановка проблемы и её генезис Самореференция собственных имен социальных норм – ссылка нормы саму на себя в собственном тексте. Например, Конституция РФ, как и множество других нормативных актов России, в частности, Гражданский и Уголовный кодекс и т.д., как и множество правовых актов других государств, содержат указания на самих себя в себе самих. Один из вариантов негативной, или инвертированной самореференции – установление условий отмены или прекращения действия данной социальной нормы – также весьма распространенная практика правовых норм разных государств. Здесь возникает парадокс правовой системы максимального уровня – если основной закон государственного образования не может установить условия собственного изменения, значит он – не основной, так как есть ещё более значимые социальные установки, чем он, а если в нем могут быть установлены условия его собственного изменения, значит – он не основной в силу подчинения этим условиям. (Максимального – поскольку подзаконные акты нижеследующих уровней должны ссылаться на высший).

Выполнение исследования имеет следующую последовательность 1. Постановка проблемы: определение понятия негативной самореференции в праве и фиксация парадокса «основного закона». 2. Генезис и ретроспективный анализ: прослеживание истории проблемы от античных парадоксов до кризиса логицизма в XX веке. 3. Теоретический обзор: анализ теорем Гёделя как обоснования невозможности синтаксического исключения парадоксов. 4. Собственное исследование (доказательство): детальный разбор и инверсия таблицы характеристик в диагональном методе Кантора с целью опровержения существования несчетных множеств. 5. Синтез и выводы: обоснование возможности построения полных и непротиворечивых систем для устранения коллизий в социальных нормах.