Флекс с комбой

Каждое ребро полного графа с 101 вершиной помечено числом 1 или -1. Известно, что абсолютная величина суммы чисел на всех рёбрах меньше 150. Докажите, что в графе существует путь, проходящий через каждую вершину ровно один раз (гамильтонов путь), такой что сумма чисел на всех рёбрах этого пути равна нулю.

Пусть p > 5 - простое число. Докажите, что множество {1,2,...,p - 1} можно разделить на два непустых подмножества таким образом, чтобы сумма всех чисел в одном подмножестве и произведение всех чисел в другом подмножестве давали одинаковый остаток по модулю p.

Существует 2^n аэропортов, пронумерованных двоичными строками длины n. Любые две станции, номера которых отличаются ровно на одну цифру, соединены рейсом, цена которого одинакова в обоих направлениях. Сумма цен всех n рейсов, отправляющихся с любой станции, не превышает 1. Докажите, что между любыми двумя аэропортами можно проехать, заплатив не более 1.

Докажите, что для любого натурального числа n существует (не обязательно выпуклый) многоугольник, у которого никакие три вершины не лежат на одной прямой, и который имеет ровно n различных триангуляций.

Каждая точка плоскости с целыми координатами раскрашена в белый или чёрный цвет. Докажите, что есть треугольник площади n с тремя одноцветными вершинами.

Докажите, что число представлений натурального числа n в виде суммы 4 квадратов (с учётом порядка и знаков) равно 8 * (на сумму делителей n не кратных 4)

Единичный квадрат разрезан на n > 1 прямоугольников так, что их стороны параллельны сторонам квадрата. Любая прямая, параллельная стороне квадрата и пересекающая его внутреннюю часть, также пересекает внутреннюю часть некоторого прямоугольника. Докажите, что…

Единичный квадрат разрезан на n > 1 прямоугольников так, что их стороны параллельны сторонам квадрата. Любая прямая, параллельная стороне квадрата и пересекающая его внутреннюю часть, также пересекает внутреннюю часть некоторого прямоугольника. Докажите, что в этом разрезе существует прямоугольник, ни одна точка которого не лежит на границе квадрата.

Дорогие друзья, всем привет! Мы очень рады сообщить, что открываем регистрацию на летнюю смену школы "Комбинаторика и Алгоритмы", которая пройдёт на базе Берендеевы Поляны с 17 по 27 августа 2026 года! Регистрация: https://combalg.ru/schools/summer26/register/ 🤩Приезжайте сами и зовите друзей, которым тоже было бы тоже интересно погрузиться в науку! 👀 Подробную информацию можно найти на нашем сайте. ❤️ Ждём вас в Комбалге!

(Майский перерыв ВСЁ) Выясните, при каких натуральных n ⩾ 4 клетки таблицы 1 × (2n + 1) можно заполнить числами 1, 2, 3, . . ., 2n + 1 так, чтобы выполнялись такие условия: каждое из чисел 1, 2, 3, . . ., 2n + 1 встречается ровно в одной клетке; в любом прямоугольнике 1 × 3 одно из чисел равно среднему арифметическому двух других; число 1 находится в средней клетке таблицы.

(Я забыл предупредить новых подписчиков, что в этом канале в мае перерыв, вот вам моральная компенсация) Докажите, что существует двудольный граф с равномощными долями в котором ровно k совершенных паросочетаний.

В ряд выложено n монет решкой вверх. За раз можно выбрать любые две монеты между которыми ровно k других и перевернуть их. При каких n можно перевернуть все монеты орлом вверх?

Моя задача с финала ВсОШ этого года. Буду рад если напишите свой отзыв о ней. Также интересно есть ли какие-то решения отличные от моего.

Докажите, что для любого k, найдётся такое n, что среди любых n точек общего положения найдётся k образующих выпуклую фигуру.

В компании 2n мальчиков и 2n девочек. Для любых двух мальчиков есть ровно n девочек, которых знает ровно один из них. Докажите, что для любых двух девочек есть ровно n мальчиков, которых знает ровно одна из них.

(Задач давно не было, их выпуск замедлил РКН и ФизТех) В гостинице a > 1 этажей, на каждом этаже b одноместных номеров. На математический конгресс приехали ab математиков. Каждому математику на каждом этаже нравится ровно 1 номер. Докажите, что число способов поселить всех математиков в гостиницу, так чтобы каждому математику нравился его номер, чётно

Бесконечную возрастающую последовательность a_1 < a_2 < a_3 < ... положительных целых чисел назовём центральной, если для каждого положительного целого n среднее арифметическое первых a_n членов последовательности равно a_n. Докажите, что существует бесконечная последовательность положительных целых чисел b_1, b_2, b_3, ... такая, что для любой центральной последовательности a_1, a_2, a_3,... существует бесконечно много n, что a_n = b_n

Дан конечный набор точек на плоскости, каждая из которых имеет целочисленные координаты. Всегда ли возможно раскрасить точки в красный или белый цвет таким образом, чтобы для любой прямой линии L, параллельной одной из координатных осей, разница между количеством белых и красных точек на L не превышает 1.