Знаменатель - Олимпиадная математика

Что пригодится дошкольнику для занятий олимпиадной математикой Дошкольники могут заниматься в группе первого класса, но чаще я советую родителям начать с моих листочков дома. В этом возрасте олимпиадная математика состоит в основном из головоломок, картинок, последовательностей, простых схем и задач на логику. Рядом нужен взрослый, который прочитает условие, объяснит правила и задаст хороший вопрос, если ребёнок застрял. Читать лекцию у доски про великую силу треугольника обычно не требуется. Кажется, что для начала достаточно знать цифры и считать в пределах десяти. Это действительно пригодится, но олимпиадные задачи проверяют не только счёт. Ребёнку гораздо важнее уметь рассматривать, сравнивать, замечать закономерности и не падать духом, если ответ не появился через три секунды. 🍉Сравнивать предметы и замечать признаки Ребёнку полезно видеть, чем объекты похожи и чем отличаются: цветом, формой, размером, расположением или количеством деталей. Можно взять два яблока и выяснить, что одно большое, красное и круглое, а другое маленькое, зелёное и вытянутое. А потом спросить: "Что у них всё-таки общего?" Так ребёнок учится не просто смотреть на картинку, а выделять признаки и сравнивать их. Именно это умение понадобится в задачах, где нужно найти лишнюю фигуру, продолжить ряд, распределить предметы по группам или догадаться, по какому правилу построена картинка. ☘️Видеть целое и детали Полезно понимать, что один и тот же объект можно рассматривать на разных уровнях. На картинке изображён шкаф со сладостями — это целое. Полки, коробки, печенье, леденцы и подозрительная банка, которую лучше не открывать, — его части и детали. Это помогает в геометрических мозаиках, задачах на составление фигур и любых заданиях, где нужно сначала увидеть общую конструкцию, а потом разобраться, из чего она состоит. 🦋Ориентироваться в пространстве Для занятий пригодятся слова "справа", "слева", "выше", "ниже", "между", "рядом", "перед" и "за". Причём хорошо бы понимать их не только сидя ровно перед листом. Если картинку повернуть или персонаж смотрит в другую сторону, привычное "право" внезапно начинает убегать, как кот при виде переноски. Можно выкладывать игрушки в ряд, менять их местами, просить ребёнка поставить мопса между зайцем и динозавром или определить, кто стоит вторым справа. Такие игры готовят к задачам на порядок, маршруты, схемы и расположение предметов. 🙂Слушать условие и удерживать несколько правил В головоломке часто нужно помнить не одно условие, а сразу два или три. Например: красный треугольник не может стоять рядом с синим, круг должен быть левее квадрата, а зелёная фигура занимает последнее место. Не страшно, если ребёнок пока забывает часть условий. Можно перечитать задачу, подчеркнуть важное или нарисовать схему. Умение пользоваться внешней опорой гораздо полезнее, чем героически держать всё в голове, а потом тихо дымиться. 🧩Пробовать разные варианты Дошкольник не обязан сразу видеть правильный ответ. Переложить фигурку, заметить, что не получилось, вернуть её обратно и попробовать иначе — это не провал, а нормальный способ решения. Очень полезно спрашивать: "Почему этот вариант не подходит?", "Что можно изменить?" или "Какое правило здесь нарушилось?" Тогда случайные попытки постепенно превращаются в рассуждение. Мне вообще важнее не то, насколько быстро ребёнок дал ответ, а то, умеет ли он рассматривать задачу, проверять свою идею и пробовать ещё раз. Именно из этого потом вырастает математическое мышление. Счёт в пределах десяти тоже нужен, но сам по себе он эту телегу далеко не увезёт. Листочки для занятий с дошкольниками можно найти в файлах канала или по хэштегам #0класс и #Листочки. Начать можно с 10-20 минут в игровой форме. Если ребёнок увлёкся и хочет продолжать — прекрасно. Если начал ёрзать, угадывать всё подряд и смотреть в окно с выражением человека, которого предало государство, лучше остановиться. И хвалить полезнее не абстрактным "ты молодец", а за конкретное действие: "Ты заметил важную деталь", "Ты проверила свой вариант", "С первого раза не получилось, но ты придумала другой способ". Главная цель первых занятий — не собрать коллекцию правильных ответов, а показать ребёнку, что думать, пробовать и находить решение может быть интересно.

🙂Две недели до школы: что действительно стоит восстановить За две недели до школы у родителей иногда просыпается внутренний завуч. Он обнаруживает, что ребёнок забыл таблицу умножения, пишет как курица в состоянии душевного кризиса, ложится спать после полуночи и за лето не решил ни одного примера. Хочется срочно купить тетради, повторить программу прошлого года и устроить небольшие учебные сборы. Но за две недели невозможно заново пройти весь класс. Зато вполне можно вернуть несколько вещей, от которых в сентябре будет гораздо больше пользы. В первую очередь я бы восстанавливала не знания, а ритм жизни. Если ребёнок всё лето ложился в час ночи и просыпался к обеду, не стоит ждать вечера перед первым учебным днём и торжественно объявлять отбой в девять. Лучше постепенно сдвигать сон и подъём. Не обязательно сразу жить по школьному расписанию, но хорошо, если к началу занятий утро уже перестанет быть неожиданным стихийным бедствием. Можно даже один раз устроить репетицию школьного утра: проснуться по будильнику, умыться, одеться, позавтракать и проверить, сколько времени всё это занимает. Обычно именно в этот момент выясняется, что носки исчезают, ребёнок ест бутерброд двадцать семь минут, а рюкзак последний раз видели в июне под надувным кругом. Заодно стоит проверить простую бытовую самостоятельность. Может ли ребёнок собрать свои вещи, открыть бутылку с водой, переодеться, найти нужную тетрадь, вспомнить, куда положил ключи или пропуск? Умеет ли попросить о помощи, если не понял задание, потерялся или ему стало плохо? В сентябре эти навыки иногда оказываются важнее, чем идеально повторённые безударные гласные. Учебную деятельность тоже можно понемногу вернуть, но без попытки за четырнадцать дней вырастить нового человека. Почитать вслух несколько страниц. Написать короткую записку или список покупок. Посчитать сдачу в выдуманных медных пандах. Решить пару задач, судоку или головоломку. Порисовать по клеточкам, что-нибудь вырезать, собрать танграм. Не устраивать полноценный урок, а просто напомнить рукам, глазам и голове, что иногда нужно несколько минут заниматься одним делом. После длинного отдыха детям бывает трудно не потому, что они всё забыли, а потому, что отвыкли сидеть, читать условие до конца и удерживать внимание на задаче. Это возвращается довольно быстро. Особенно если не сопровождать каждую ошибку словами: "Как же так, ты ведь это знал!" Если очень хочется что-нибудь повторить, лучше выбрать несколько базовых вещей, которые ребёнок уже изучал, но делает неуверенно. Счёт, состав числа, таблица умножения, простые вычисления, чтение условия. Не новая тема, не программа следующего класса и не сорок одинаковых примеров на скорость. Сейчас задача не в том, чтобы прийти первого сентября самым подготовленным человеком в здании. Задача в том, чтобы знакомые действия снова перестали требовать огромных усилий. Для детей, которые учатся не на родном языке, можно немного вернуть школьную лексику: названия предметов, действий, геометрических фигур, фразы вроде "прочитайте условие", "сравните", "объясните решение". Но и здесь не нужно за две недели пытаться выучить весь язык страны. Полезнее вспомнить те слова, которые ребёнок уже встречал и которыми скоро снова начнёт пользоваться. А вот заранее проходить учебник, пугать контрольными и ежедневно проверять, что ребёнок забыл за лето, я бы не стала. Забывание после каникул нормально. Школа не предполагает, что первого сентября дети входят в класс с торжественно распакованной в голове программой прошлого года. Первые недели как раз нужны, чтобы втянуться и многое вспомнить. Ещё хорошо заранее вернуть немного предсказуемости. Посмотреть расписание, если оно уже есть. Вспомнить дорогу до школы. Узнать, во сколько нужно выходить. Купить недостающие вещи и дать ребёнку самому выбрать хотя бы какую-нибудь папку, ручку или дурацкий ластик в виде авокадо. Не потому, что ластик обеспечит академический успех, а потому, что знакомые и приятные мелочи немного уменьшают тревогу перед возвращением. И я бы обязательно оставила в этих двух неделях лето. Прогулки, игры, поездки, валяние с книжкой и бессмысленное разглядывание жуков не нужно срочно отменять ради подготовки к школе. Ребёнку не требуется пройти курс молодого бойца. Ему нужно постепенно вспомнить режим, несколько привычных учебных действий и ощущение: "Я это уже делал. Я примерно понимаю, что меня ждёт. Если что-то забыл, вспомню по дороге". Это вполне достаточная подготовка. Остальное сентябрь догрызёт сам.

🙂Что делать, если непонятно, как подойти к задаче В школьной математике ребёнок часто заранее знает, какой способ от него требуется. Если на странице написано "Деление в столбик", интриги немного: скорее всего, сейчас придётся делить в столбик. С олимпиадными задачами всё устроено хитрее. Они не прикладывают к условию табличку "Здесь используйте чётность", а иногда ещё и маскируются под простую историю о котах, конфетах или людях, которые зачем-то опять переправляются через реку. Универсальной математической вундервафли, которая решает любую задачу, не существует. Зато есть разные подходы: способы посмотреть на условие, когда первая идея не пришла или уже пришла и торжественно умерла при проверке. Это не алгоритм, который нужно механически перебрать от первого пункта до одиннадцатого. Скорее ящик с инструментами. Чем больше ребёнок решает, тем лучше понимает, когда доставать рисунок, когда искать крайний случай, а когда подозревать, что в задаче что-то упорно не меняется. Вот несколько подходов, которыми я часто пользуюсь на занятиях. 1️⃣ Уменьшить задачу Если в условии сто предметов, попробуйте сначала взять три. Если нужно разобраться с большой фигурой, найдите самый маленький фрагмент, в котором сохраняется главная проблема. На маленьком примере легче перебрать варианты, нарисовать картинку и заметить закономерность. Иногда полезно проверить случаи с нулём или единицей, но не ради математического обряда, а чтобы увидеть, где вообще начинает работать условие. 2️⃣ Посмотреть шире Иногда задача становится понятнее, если временно забыть часть ограничений и спросить: а что происходит в общем случае? Например, вместо исследования только чётных чисел можно посмотреть на все натуральные. Если правило работает для более широкой группы, нужный нам случай окажется её частью. А иногда именно при расширении становится видно, какое условие действительно важно, а какое просто стоит рядом и делает загадочное лицо. 3️⃣ Вспомнить похожую задачу Похожесть бывает не только в тексте. У задач может совпадать рисунок, расположение объектов, способ перебора или главная идея. Здесь важно не пытаться натянуть старое решение целиком. Лучше спросить: что в этих задачах устроено одинаково, а что изменилось? Возможно, знакомый способ сработает после небольшой переделки. 4️⃣ Найти узкое место В некоторых задачах почти всё можно расположить как угодно, кроме одного особенно неудобного места. С него и стоит начать. На рисунке это может быть угол, край, перешеек или клетка с необычно малым числом соседей. В логической таблице — строка, для которой осталось меньше всего вариантов. В задаче про числа — элемент, на который наложено больше всего ограничений. Не обязательно сразу решать всё. Сначала разберитесь с тем местом, где задача почти не оставляет свободы. 5️⃣ Взять крайний элемент Рассмотрите самый большой объект, самый маленький, самый левый, верхний или ранний. Крайний элемент часто находится в особом положении: у него меньше соседей, вариантов или способов взаимодействовать с остальными. Например, в таблице удобно начать с угла, а в расстановке — с самого левого предмета, потому что слева от него уже точно никого нет. Наконец-то отсутствие чего-либо приносит пользу. 6️⃣ Поискать симметрию Если условие выглядит одинаково после отражения или поворота, этим можно воспользоваться. Иногда достаточно решить одну половину и отразить результат. Иногда нужно повторять ходы соперника симметрично. А иногда решение проще увидеть, если мысленно перевернуть саму картинку. Правда, симметрия должна сохранять условия задачи. Просто нарисовать красивую вторую половину недостаточно, как бы убедительно она ни блестела. 7️⃣ Повернуть решение Это мой любимый "метод вентилятора". Если у фигуры есть центр и удалось разобраться с одним углом, лучом или сектором, попробуйте повернуть найденный фрагмент несколько раз. Одно маленькое решение раскроется вокруг центра, как лопасти вентилятора, и заполнит всю фигуру. Для полной отработки этого приёма у меня есть отдельная тетрадь с задачами на метод вентилятора. Там одна и та же идея встречается в разных условиях, чтобы ребёнок учился узнавать сам метод, а не только знакомую картинку. 8️⃣ Скопировать удачный фрагмент Иногда достаточно решить задачу для одного небольшого участка, а затем повторить этот участок много раз. Работает и обратный ход: если нарисовать несколько одинаковых фрагментов рядом, можно внезапно увидеть, как они соединяются и какое общее правило за ними прячется. Математические обои иногда оказываются полезнее, чем выглядят. 9️⃣ Растянуть или перевернуть Если в задаче важны связи, порядок или соседство, а точные размеры не имеют значения, рисунок можно деформировать: вытянуть, сжать или перевернуть. После этого сложная фигура иногда превращается в гораздо более знакомую. Но сначала нужно проверить, что при растягивании не исчезло важное условие. Если задача зависит от длин и углов, превращать квадрат в печальную лапшу обычно нельзя. 1️⃣0️⃣ Разбить на части Большую задачу можно разделить на несколько маленьких и решать их по очереди. Иногда удобно делить множество пополам, иногда объединять предметы в пары или тройки, а иногда отделять уже понятную часть от оставшейся. Способ разбиения зависит от самой задачи: чашечные весы любят группы с одинаковым количеством предметов, а геометрические фигуры — части, которые удобно переставлять и сравнивать. 1️⃣1️⃣ Найти то, что не меняется Это подход с грозным названием "инвариант". В задаче разрешают выполнять какие-то операции: перекладывать фишки, менять числа, переворачивать карточки или перекрашивать клетки. Всё вокруг суетится, но какое-то свойство может оставаться неизменным. Это может быть общая сумма, чётность, остаток от деления, количество предметов определённого цвета или разница между двумя величинами. Если начальное и конечное состояния отличаются по свойству, которое не должно меняться, значит, получить требуемый результат невозможно. Ни один из этих подходов не гарантирует, что задача немедленно сдастся и выдаст ответ. Иногда придётся соединить несколько идей: сначала уменьшить задачу, потом заметить симметрию, а затем скопировать найденный фрагмент. Но постепенно у ребёнка появляется насмотренность. Он уже не просто сидит перед незнакомым условием с мыслью "мы такого не проходили", а начинает задавать вопросы: можно ли взять случай поменьше? Где здесь самое ограниченное место? Что будет, если повернуть рисунок? Что в этой задаче вообще не меняется? И вот это уже важный навык: не знать готового способа, но уметь начать поиск.

☄️Циркуль и геометрия Мне нравится знакомить детей с геометрией задолго до того, как в школе появляются аксиомы, доказательства и чертёж, на котором точка B почему-то обязана лежать именно там, где её велел поставить учебник. Для этого не нужен полный курс и даже не обязательно начинать с определений. Иногда достаточно выдать ребёнку циркуль, показать, как сохранять один и тот же радиус, и посмотреть, что получится из пересечения окружностей. Например, можно поставить иглу циркуля на окружность и шаг за шагом откладывать тот же радиус. Окружность разделится на шесть равных частей, а внутри появятся правильный шестиугольник, равносторонние треугольники и множество узоров, которые выглядят так, будто ребёнок внезапно получил профессию архитектора средневекового собора. Ребёнок ещё не знает названий всех свойств, но уже видит их руками. Одинаковый раствор циркуля создаёт равные отрезки. Точки пересечения не возникают где попало. Симметрия получается не потому, что мы постарались нарисовать две похожие половины, а потому, что само построение устроено симметрично. В вальдорфской педагогике мне нравится похожий ход. В младших классах дети много работают с формами и симметричными рисунками, затем переходят к геометрии от руки, а позже — к точным построениям с циркулем и линейкой. Сначала форма проживается и исследуется, а уже потом получает строгое определение. Это не единственный правильный порядок изучения геометрии и не причина немедленно переводить ребёнка в другую школу. Мне просто близка сама идея: прежде чем сообщать готовое свойство, дать возможность его заметить. Школьную геометрию часто связывают с Евклидом. Он не придумал всю геометрию с нуля и не был первым человеком, который догадался рассматривать треугольники. В "Началах", созданных около 300 года до нашей эры, были собраны и выстроены в единую систему знания, накопленные греческими математиками до него. Главное достижение Евклида не в том, что он первым увидел окружность или доказал каждую вошедшую в книгу теорему. Он организовал материал как последовательное рассуждение: определения, исходные предположения, а затем утверждения, которые выводятся из них шаг за шагом. В начале этой цепочки находятся постулаты и общие положения — то, что принимается без доказательства внутри выбранной системы. Например, Евклид допускает, что между двумя точками можно провести прямую и что из любого центра можно описать окружность заданного радиуса. Это не ошибка системы и не досадный тупик, который математики оставили детям из вредности. Если каждое утверждение доказывать через предыдущее, однажды всё равно придётся спросить, на чём стоит самое первое доказательство. Аксиомы и постулаты как раз задают основание, от которого можно двигаться дальше. Но ребёнку они действительно могут показаться искусственными, если до этого геометрия существовала для него только как набор фраз, которые нужно переписать в тетрадь. Совсем другое дело, когда он уже строил окружности, соединял точки пересечения, получал равные отрезки и замечал, какие фигуры появляются при одном и том же правиле. Тогда формальное определение прикрепляется к знакомому опыту, а не висит в воздухе одинокой табличкой. Классические геометрические построения выполняют циркулем и линейкой без делений. Эти два простых инструмента позволяют делить отрезки и углы, строить перпендикуляры, переносить расстояния и получать правильные многоугольники. Но с маленькими детьми можно начать даже с одного циркуля. Я составила два разных занятия с окружностями: одно для малышей, другое для ребят постарше. Младшие могут исследовать узоры, симметрию и пересечения, а старшие — уже обсуждать, почему построение каждый раз даёт именно такой результат. Мне хочется, чтобы первая встреча ребёнка с геометрией происходила не в момент, когда ему велели выучить формулировку. Пусть сначала он покрутит циркуль, наставит дырок в бумаге, получит цветок из окружностей и обнаружит, что за красивым рисунком прячется строгое правило. А когда позже появятся определения, аксиомы и доказательства, им уже будет куда приземлиться.

Зачем я смотрю "Друзей" на языке, которого почти не знаю Иногда я включаю знакомую серию "Друзей" на грузинском. Или на болгарском, польском, украинском — смотря какая языковая обсессия поселилась у меня в голове на этой неделе и требует немедленно выдать ей десять сезонов ситкома. Грузинский я уже более-менее знаю. Во всяком случае, могу поддержать разговор, а если речь зашла о собаках, то мой словарный запас внезапно становится особенно богатым. Обсудить характер, возраст и пищевые привычки встреченного в парке мопса я способна гораздо увереннее, чем некоторые бытовые вопросы. С другими языками отношения бывают сложнее. Иногда я понимаю отдельные слова и устройство фразы. Иногда мой уровень находится примерно между "кажется, это вопрос" и "в этой сцене точно упомянули Джоуи". Зачем тогда смотреть целый сериал? Именно потому, что я уже его знаю. Я много раз смотрела "Друзей" и "Теорию большого взрыва". Мне не нужно судорожно следить за сюжетом и пытаться понять, почему эти люди вдруг поссорились, кто с кем встречается и откуда в квартире взялась обезьяна. Я помню, что происходит в сцене, поэтому могу слушать сам язык. Вот знакомая реплика стала длиннее. Вот шутка закончилась словом, которое я уже слышала в прошлой серии. Вот один персонаж говорит быстро и проглатывает половину звуков, а другой произносит всё так отчётливо, словно подозревает, что его слушает женщина с учебником на соседнем диване. Иногда я угадываю значение слова по сцене. Потом оно встречается снова, и догадка становится увереннее. Иногда мне интересно найти перевод. Иногда я просто слушаю интонации и не устраиваю расследование. Это не разработанная система изучения языка. У меня нет таблицы, плана на три месяца и нормы новых слов за вечер. Я не останавливаю каждую реплику, не выписываю грамматические конструкции и не сдаю себе контрольную после серии. Если так делать, любимый сериал очень быстро превратится в работу, а у меня и без того есть работа. Мне нравится находиться внутри языка, даже когда я понимаю далеко не всё. Слышать, какие звуки в нём повторяются, где заканчиваются слова, как строится вопрос, какие кусочки фразы начинают постепенно узнаваться. Наверное, здесь есть что-то от моего удовольствия при решении задач. Сначала перед тобой набор непонятных деталей. Потом одна из них повторяется, вторая цепляется за знакомый контекст, между ними появляется связь — и вот ты уже немного лучше понимаешь, как всё устроено. Но я не хочу срочно доказывать, что просмотр "Друзей" на болгарском развивает память, тренирует мозг и через пять лет обязательно повысит мою стоимость на рынке труда. Возможно, я запомню несколько слов. Возможно, однажды смогу понять простую фразу. А возможно, через неделю переключусь на польский и оставлю болгарский лежать посреди комнаты недоученным. Мне всё равно было интересно. Взрослым тоже бывает трудно позволить себе оставаться новичками. Если уж учить язык, то обязательно до свободного владения. Если вязать, то продавать вещи. Если решать задачи, то готовиться к олимпиаде. Если смотреть сериал, то хотя бы с пользой, иначе вечер официально потрачен впустую и должен быть сдан в бухгалтерию. С детьми это происходит ещё чаще. Ребёнок заинтересовался динозаврами - пора выяснить, можно ли сделать из этого будущую профессию. Начал рисовать - нужно срочно найти курс и измерить прогресс. Выучил три слова на новом языке — хорошо бы теперь заниматься регулярно, а не бросать. Но интерес не обязан немедленно превращаться в достижение. Можно увлечься языком, послушать его несколько недель, узнать десяток слов и уйти дальше. Можно любить сам момент, когда вчерашний непонятный шум начинает распадаться на знакомые кусочки. Мне нравится пробовать языки без обещания когда-нибудь заговорить на каждом из них. Нравится замечать закономерности, ошибаться в догадках и радоваться одному внезапно понятому предложению. Сегодня я смотрю "Друзей" по-грузински. Завтра, возможно, по-польски. Никакого экзамена в конце не будет. Всё идёт по плану.

Разбор занятия №2. 5-6 класс. Признаки делимости. https://drive.google.com/file/d/1UOUkm2-jN-GmKYZcbMF28qehjgc-lM_C/view?usp=drive_link

Разбор занятия №2. 5-6 класс. Разные задачи. https://drive.google.com/file/d/1qherDrpNyKmX5lt_qj_3ctGSeuy6pw61/view?usp=drive_link

Разбор занятия №2. 4 класс. Чётность.https://drive.google.com/file/d/18gXzYHnD-I3Y4OqOSOBqrw4aOIOaAXXc/view?usp=drive_link

Разбор занятия №2. 4 класс. Разные задачи. https://drive.google.com/file/d/1uheKTtPehDWI-CB6yILdyJNEcBlrHUbR/view?usp=drive_link

Разбор занятия №2. 3 класс. Чётность. https://drive.google.com/file/d/15Q49kmRpDGkb-qXBH82FvjQOtB3qIxC5/view?usp=drive_link

Разбор занятия №2. 3 класс. Разные задачи. https://drive.google.com/file/d/1MGmb5g9QBEwIDWezvFNYfyrbOVH-3Znu/view?usp=drive_link

Разбор занятия №2. 2 класс. Числа. https://drive.google.com/file/d/12zjqDhK_LnTZFeK5xe-tWJKYqJ-qJSTe/view?usp=drive_link

Разбор занятия №2 2 класс Разные задачи https://drive.google.com/file/d/1DV5xiNtU6fI0tEwHEieb_C6j9VXtNPuQ/view?usp=drive_link

Разбор занятия №2 0-1 класс. Разрезание на известные части. https://drive.google.com/file/d/1zNoKMrhW1PCxWA1iuhew4-zFd4PB-_TS/view?usp=drive_link

Разбор занятия №2 0-1 класс. Разные задачи https://drive.google.com/file/d/1u_UXHRJlIjtu-CUGQF4fCp2ofTTCqSGE/view?usp=drive_link